解直角三角形单元作业设计

初中数学解直角三角形单元作业设计

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学九年级第一学期沪科版解直角三角形

单元

用自然单元口重组单元

组织方

式

序号课时名称对应教材内容

1锐角三角函数第23.KP112-116)

2特殊角的三角函数值第23.KP117-119)

课时

信息3一般锐角的三角函数值第23.1(P120-122)

4解直角三角形第23.2(P124-125)

5解直角三角形的应用第23.2(P126-127)

解直角三角形的应用第

6/C\23.2(P127-128)

7解直角三角形的应用第23.2CP128-130)

二、单元分析

(-)课标要求

(数学课程标准2011版，第38页)1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐

角三角函数(sinA,cosA,tanA)，知道30。,45。,60。角的三角函数值。

2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对

应锐角。

3、能利用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问

题。

课标在“知识技能”方面指出：经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、

位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；参与综合实践活动，

积累综合运用数学知识、技能和方法的解决简单问题的数学活动经验。在“数学

思考”方面指出：通过用锐角三角形…等表示三角形边角关系的过程，体会模型

思想，建立数形结合思想；体会通过合情推理得出数学结论，运用演绎推理加以

证明结论强化推理能力，清醒地表达自己的想法；学会独立思考问题，体会数学

的基本思想和思维方式。

在“问题解决”方面指出：通过锐角三角函数解决边角关系的过程，学会从

数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强

应用意识，提高实践能力；体会获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验

1

解决问题方法的多样性，发展应用意识、创新意识；在知识的形成核应用过程中，

学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识。在“情感态度”方面指出：

通过实际问题引入的活动，使得学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知

欲；在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服苦难的意志，建立自信

心；通过类比学习，体会数学的特点，了解数学的价值；在问题解决过程中使学

生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯；形成坚持真理、修

正错误、严谨求实的科学态度。

（二）教材分析

1.知识网络

2.内容分析

解直角三角形是沪科版数学九年级上册的最后一章，是一类特殊三角形中的

边角之间关系主要研究锐角三角函数定义、性质和计算。它是在学生已经学习了

“全等三角形、相似三角形、勾股定理”等内之后安排的。在知识结构上，遵循

了数学的一般研究规律；在研究方法上，让学生经历了由实际问题一一研究特例一

一归纳性质一一运用知识解决实际问题等活动内容；渗透类比、从特殊到一般等

数学研究的思想和方法。发展了学生的数学抽象、数学运算、数学推理等能力。

通过本章知识的学习，学生能够建立起比较完善的直角三角形运算的知识结

构，进一步感受数形结合思想形成的一般路径。由于解直角三角形的知识广泛运

用于测量、建筑、工程技术与其他学科的融合中，从而使得实际问题的内容是多

种多样的，要把这些问题转化为解直角三角形的教学问题，主要是用来测量宽度、

高度、角度、行程等其充分体现了锐角三角函数与实际生活的紧密联系，使得数

学真正回归于生活，进而本章知识对于学生分析问题的能力要求较高，使得学生

感到解决问题困难，解直角三角形启着承上启下的作用，把实际问题中的数量关

系转化为直角三角形中个元素之间的关系，进而解决问题，这也是本章学习内容

中的重点难点。

（三）学情分析

从学生的认知规律来看：在“解直角三角形”这章，学生已经认识了勾股定

理，直角三角形的两角互余，相似三角形的对应边成比例等，在一定程度地认识

了直角三角形的边与边、角与角的关系，这些知识的学习都为本章的学习奠定了

2

基砒Io

i艮据学生学情给出以下学习指导建议：重视对基本概念的理解，本章知识的

生成和实际问题，坚持理论与实践的相结合，体会数学来源于生活又回归于生活。

在本章知识的学习过程中更多的是在积累了一定的数学学习活动经验上自主学习

和合作探究学习，使学生成为一个发现者、研究者、探究者。但是初中学生的思

维方式和习惯还不够完善，数学的运算和推理能力尚且不足。因此，让学生养成

严谨认真的学习态度，有条理地表达自己的想法，同时规范解题步骤，加强数形

结合，提升学生分析问题和解题的能力。

三、单元学习与作业目标

1.正确理解三角函数的概念，准确把握直角三角形中边、角的关系，通过作

业练习加深对“正弦、余弦、正弦”的认识，提升学生的数形结合意识；

2.掌握特殊角的三角函数值，会使用计算机进行一般角三角函数求值；3.

能够运用准确的锐角三角函数来解直角三角形，并解决测量、建筑、工程技术与

物理学中的实际问题。进一步认识和体会实际问题变化与解直角三角形对应的思

维，领悟数形结合的思想。

四、单元作业设计思路

分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”（面向全体，体现课标，要求

学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性、可操作性，要

求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：

一常规作业

基础性作业------整合运用

J思雄柘展

作业设计体系L探究性作业

一个性化作业

发展性作业—

一实践性作业

跨学科作业

五、课时作业

第一课时（锐角三角函数）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

3

(1).如图所示，在RtZ\ABC中,NC=90°,AC=8,BC=6,则tanA的值()

⑵.在RtAABC中，若各边长都扩大为原来的2倍,则锐角A的正弦值()

A.扩大为原来的2倍B.不变

C.缩小为原来的2D.以上都不对

(3).如图，点AIBIC均在正方形网格的格点上，则cosNABC的值为

(4).2022年在北京举办第24届冬季奥运会结束后，一些学校也开展了冰雪项目

学习，一位同学乘滑雪板沿坡度为/T:3的斜坡滑行100米，则他下降的高度为

(5).如图，在4ABC中,NC=90°,AB是CD边上的中线,BD=2,AB=«5求NDAC

的各个三角函数。

2.时间要求(10分钟以内)

3.作业评价

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

4

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

等。

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题要求学生理解正切的概念，会在直角三角形中求锐角的正切。第(2)

题通过扩大边长，判断正弦值是否变化，巩固了正弦的概念，同时也可以让学生

思考，正切和余弦值是否也发生变化，让学生运用同种方法可以解决同类型题目。

第(3)题通过网格三角形求角的余弦，巩固在网格中构造直角三角形的方法及余弦

的概念。也可以使学生利用此方法求在网格三角形的正切和正弦。第(4)题以2022

年北京冬奥会为问题背景，通过画图解决实际问题，不仅巩固了坡度、坡角及正

切的概念，而且锻炼了学生的画图能力，领悟数形结合的思想，也让学生感受到

数学来源于生活，运用数学知识可以解决实际问题，也可以激发学生学习数学的

积极性。第(5)题通过利用中线，在直角三角形中利用勾股定理求出线段的长度，在

直角三角形中准确求出所求角的三角函数。巩固了三角函数的概念使学生养成良

好的学习习惯.

作业2(发展性作业)

1.作业内容

⑴.如图，ABC中，AC90，AB于。点，已知sin/BCD其，则的值

NA为()。B3cos

(2).正比例函数与反比例函数扁图象在第一象限内交于点p(3,m),若OP与x轴

正方向的夹角为a,求a的各个三角函数值。

5

⑶.如图，定义:在直角三角形中,锐角Q的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作

5

cota,BPcota=(:需'="根据上述角的余切定义，解下列问题:

©cot60°=.

2

②如图，已知tanA=3,其中/A为锐角，试求cotA的值.

③直接写出tana与cota关系.

2.时间要求(10分钟以内)

3.作业评价

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

4.作业分析与设计意图

通过同角的余角相等进行角的转化和勾股定理知识来解决此题，让学生熟练

掌握三角函数的定义以及各个知识点之间的联系，也体现了数学中的转化思想.第

(2)题通过在平面直角坐标系中，利用函数关系求点P的坐标，根据点的几何意义

构造直角三角形，然后准确求出锐角a的三角函数，不仅巩固了三角函数的概念，

而且使学生建立了数与形，函数与几何之间的联系。第(3)题以新定义问题为背景，

通过从定义中获得信息，并运用所学的正切概念来解决新的问题，不仅巩固正切

的概念及直角三角形的性质，而且让学生知道遇到新的问题，可以用学过的知识

来解决，用自己的储存知识来应对新的问题。

6

第二课时(特殊角的三角函数值)

作业1(基础性作业)

1.作业内容：

⑴.计算：①J&2sin45tan45

②.4sin30cos60tan30

⑵.已为锐角，且4sin2A30,则.

⑶.如losA-|WanB3|0,则AABC的形状是________.

里V2

(4).在RtaABC中，ZC=90°，cosB求sinA的值。--------------

若2

2.时间要求(10分钟以内)

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

AA-

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题考察学生运用特殊角三角函数值进行计算的能力，第⑵题首先利

用等式计算出NA的正弦值，根据锐角的正弦值为正数舍去负值，然后逆向思维

得到NA的度数。第(3)题根据已知条件可分别算出NA的余弦值和NB的正切值,

7

然后反向得到NA和NB的角度，由NA和NB互余可知aABC为直角三角形。

作业第(5)题根据互余角的三角函数间的关系：sin(900一a)=cosa,cos(900一a)

=sina解答即可。本题重在考察互余两角的三角函数关系，掌握当NA+NB=900时,

sinA=cosB是解题的关键。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1)若0°<ZA<45°,那么sinA-cosA的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

(2)如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形

AB'C'D',求图中阴影部分面积.

2.时间要求(10分钟以内)

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

A7r

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题：cosA=sin(90°-A),再根据余弦函数随着角的增大而减小进

8

行分析即可；学生需熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数值的增减性是

解题的关键。作业第（2）题：设B'C'与CD交于点E,由于阴影部分的面积=S

正方形ABCD-S四边形ABED,又因为S正方形ABCD=1,所以关键是求S四边形AB，ED。为此，连接

AEo根据HL易证aAB'E全等于4ADE得出NB'AE=/DAE=300.在直角

△ADE中，由正切的定义得出口£=人62!!/口雇=33,再利用三角形的面积公式求

出S四边形AB-ED=2SAADE。本题主要考察了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定

及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度。

第三课时（一般锐角的三角函数值）

作业1（基础性作业）

1.作业内容

⑴用计算器求tan63°5241"的值，按键顺序为：显示

所以tan63°5241”=（精确到0.0001）

（2）.已知三角函数值，用计算器求锐角A,角度精确到1"。

sinA=0.8979,

cosA=0.9781.

（3）.探究：itAABC中，ZC为直角，直角边a=3cm,b=4cm,求

sinA+sinB+sinC的值（利用计算器进行求解）。

2.时间要求（12分钟以内）

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

9

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

4.作业分析与设计意图

第(1)题利用计算器求tan63°52'41",取近似数，要求学生熟练应用计算器,

对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数。第(2)题让同

学们注意不同的计算器用法不同，要学会读懂计算器说明书，根据说明书正确使

用计算器。第(3)题解题思路在直角三角形中，可得sinA为字3,sinB为X,

ZC=90°,

用计算器求出sinC为1,通分计算得到答案。在直角三角形中，利用题目中给定

的数值计算正弦值，了解锐角三角函数的概念，能够正确应用正弦值表示不同的

角度或边长。加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数

学的兴趣。

作业2(发展性作业)

1.作业内容

(1).用不等号连结右面的式子：cos40°cos20°,

sin37°sin42°,

tan37°tan42°；

探究：Na与N0是锐角，且Na<NB；

试比较：sinasinB,

cosacosB,

tanatanB.

⑵.如图，在RtZ^ABC中，NABC=75°,在AC边上取一点D,使得CD=DB,

求tan75°的值(结果保留根号)。

2.时间要求(10分钟以内)

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

10

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

A/r

4.作业分析与设计意图

第(1)题首先通过使用计算器，比较锐角三角函数值的大小，在进一步探究正

弦值和正切值随锐角增大而增大、余弦值随锐角增大而减小的道理。掌握正弦，

余弦角度大小的比较方法，提高学生分析问题，解决问题和概括总结的能力。第

(2)题通过角度的关系，在不使用计算器的情况下就能得出一般三角函数值，促使

学

生在探索这个问题的过程中，自然地体会到学习数学的必要性，体验到数学与现

实生活的紧密联系。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础。

第四课时(解直角三角形)

作业1(基础性作业)

1.作业内容

(1).根据下列条件，解直角三角形：

①.在RtZSABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=6,求BC的长.

②.在WABC中，已知NC=90°,NA、ZB所对的边分别为a、b,—3,

b=33，求NB的度数.

③.在放ABC中，ZC=90°,AB=8,cosA

cA

11

⑵.如图，已知ABC中，ABC30，45,AB.求ABC的面积。

4n

2.时间要求（10分钟以内）

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

4.作业分析与设计意图

作业第1、2题要求学生会运用直角三角形中各元素的关系解直角三角形，

第1题除直角外，已知NB=30°,斜边AB=6,可选择正弦或余弦来解决。第

2题除直角外已知两直角边，可选择正切来解决，方法不唯一。本题还穿插考察

了二次根式的分母有理化。可总结规律：有斜用弦，无斜用切。第3题是教材

例2的

变式，过点A作AD垂直于BC,垂足为点D,因AB30,45这样就

构造了两个特殊的直角三角形，进而便于求解。在解斜三角形时「二般通过作高

构造直角三角形来解。做高时不能盲目作，要根据题设条件特征，除了要注意特

殊角的保护与构造外，还要注意使构造出来的直角三角形有利。体现了数学中的

化归思想。

12

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）.如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是BC边上的高，若sinNCAD=

3

~5,

BC=25,求AC的长.

（2）.如图所示，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=3,D为BC边上一点，且

BD=2AD,ZADC=60°,求4ABC的周长.（结果保留根号）

（3）.（安徽中考题）如图，游客在点J处坐缆车出发，沿的路线可至山顶

。处.假设.曲和3。都是直线段，且.宓=BP=600冽，，，求DE

的长.

（参考数据：配，需F颐财，W浑:尧:%丽：3&,、尸+1.41）

（4）.举一个生活中运用三角函数解决问题的例子.

2.时间要求（10分钟以内）

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

13

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

A/r

4.作业分析与设计意图

作业第(1)题先根据同角的余角相等得出NB=NCAD,那么sinB=sinZCAD

3,

=可，再解Rt^ABC,根据正弦函数的定义即可求出AC的长.加深学生对三角

函数的理解，同时增强了解直角三角形的应用。要求学生具有一定的观察能力和

数学思维能力。第(2)题要求ABC的周长，只要求得BC及AB的长度即可.根据

RtADC中NADC的正弦值，可以求得AD的长度，也可求得CD的长度;再根据

已知条件求得BD的长度，继而求得BC的长度运用勾股定理可以求得AB的长

度，求得4ABC的周长.本题考查了解直角三角形中三角数的应用，要熟练掌握好

边角之间的关系。作业第(3)题通过利用两个锐角三角函数分别求解BC、DF的长

度，让学生感受解直角三角形的初步应用，培养学生实际运用锐角三角函数解决实

际问题的能力；第(4)题是开放题根据生活中的实际例子解答即可，也为下一节的

应用做好铺垫,同时也培养了学生理论联系实际的能力。

第五课时(解直角三角形的应用(1))

作业1(基础性作业)

1.作业内容

(1).如图，一学生要测量校园内旗杆的高度.他站在距离旗杆12m的E处，测得旗杆

的仰角53°,已知测角器的架高1.5m,问旗杆的高度为多少米?(精确到0.1m).(参

考数

43tan53°—34)

据：sin53°心5cos53°弋写

14

(2).如图，韩明在教学楼距地面10米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点

的仰角为37°,旗杆底部B点的俯角为45°,问旗杆的高度为多少米？

(参考数据：sin37°弋0.60,cos37°-0.80,tan37°心0.75)

(3).亳州薛阁塔又名薛家塔、位于亳州市观音山遗址公园内，整座塔为八角七层

楼阁式砖塔，，数学兴趣小组的同学欲测量薛阁塔AB的高度，他们先在D处测

得古塔顶端点B的仰角为45°,再沿着AB的方向后退25米至C处，测得

古塔顶端

点D的仰角为30°求薛阁塔的高度为多少米？(精确到1m,参考数据：3

^1.73)

C

2时间要求(25分钟)

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

15

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题考查学生对仰角和正（余）弦公式公式的理解应用，以及解题

格式的规范性和学生的计算能力，初步学会把实际问题转化为数学问题，再利用

三角函数解直角三角形，渗透转化思想；第（2）题在第（1）题基础上，考查学

上把实际问题转化为数学问题能力，引导学生会主动发现隐含的条件辅助线CD

（直角三角形的边）构造直角三角形，分别解两个直角三角形从而把问题解决。

培养学生良好的运算习惯和抽象思维能力以及数形结合思想；第（3）题中的线段

CD不再是直角三角形的边，需学生会利用方程的思想结合两个直角三角形的边

角关系解决问题，解决问题的策略可以进行多维思考，提高学生分析问题和解决

问

题的能力。感受生活中处处有数学，体会转化和建构思想。

作业2（发展性作业）

1.作业内容

（1）.（安徽中考题）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直

放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上，

如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时

NAEB=NFED）.在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3。，平面镜E的俯角为45。，

FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：

tan39.3°~0.82,tan84.3%10.02）

（2）.“雪龙2号”是我国第一艘自主建造的极地科学考察破冰船，并在2021年顺

利完成我国第37次南极考察，“雪龙2”船上午9时在B市的南偏东25°方向

上的点A处，且在C岛的北偏东59°方向上，已知B市在C岛的北偏东28°

方向上，且距离C岛232km。此时，“雪龙2”船沿着AC方向以24km/h的速度

航行请你

计算“雪龙2”船大约几点钟到达C岛?（参考数据：sin31°^2-1cos31°七6

343tan53°七34）

tan31°心5sin53°%cos53°打5

16

（3）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小明测温时的实景图，图2是其侧面

示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直.

量得胳膊MN=26cm,MB=40cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为

25.3cm（即MP的长度），枪身BA=8.5cm.测温时规定枪身端点A与额头距离范围为

3~5cm.在图2中，若测得NBMN=68.6°,小红与测温员之间距离为55cm.问此时

枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由.（结果保留小数

点后一位）（参考数据：sin66.4°心0.92,cos66.4°"0.40,sin23.旷^0.40,

2^1.414）

D

2.时间要求（25分钟）

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

17

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

A/r

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题通过证明△FDEsaABE,利用相似三角形的判定与性质从而

得ABAE,在RsFEA中，由tanNAFE=AE,通过运算求得AB的值即可.本题不

DFEFEF

仅考查了解直角三角形的应用，同时也让学生巩固了相似三角形的有关知识，同

时让学生接触中考题，培养学生的计算能力和对知识的综合运用能力;作业第（2）

题是方位角问题，正确作出辅助线构造直角三角形，利用方程思想结合两个直角

三角形的边角关系是解题的关键，引导学生学会在复杂的情境分析问题和解决问

题，并积累处理此类问题经验，培养探究意识和克服困难的勇气，提升数学运算

和逻辑推理等素养，向学生展示科技的力量和祖国的强大，提升学生的爱国主义

情怀。第（3）题，以疫情防控维背景，学生会主动从大量的文字描述中获取数学

信息，作出辅助线构造直角三角形本题得以解决。积累数据处理技巧提升数据处

理能力，培养学生分析问题解的意识，解决问题的能力。学生明白祖国虽然强大

但仍然面临巨大的挑战。少年强则国强，加强学生为中华崛起而读书的信念。

第六课时（解直角三角形的应用（2））

作业1（基础性作业）

1.作业内容

（1）.随着亳州十河花海大世界的不断升级改造，近年吸引越来越多的游客来到药都

亳州欣赏春景，某摄影爱好者用无人机这一美景进行航拍.如图，在无人机镜头

C处，观测风景区A处的俯角为30。，B处的俯角为45。，已知A,B两点之间的距离

为

18

200米，则无人机镜头C处的高度CD为多少？（点A,B,D在同一条直线上，精确

到小数点后一位，行1.73）

（2）.每年的一月到七月为我国近海禁渔期，我渔政船在A处发现正北方向B处有一

艘可疑船只，测得A,B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45。方向航

行.我渔政船迅速沿北偏东30。方向去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦

截.求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）.

2.时间要求（20分钟以内）

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

19

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题通过两个俯角构造两个直角三角形AACD,ABCD,在AB已知的条

件下设BD边长，通过在直角三角形AACD中用边AD表示边CD,之后在直角三角形△

BCD中，用边BD表示边CD,进而列出方程求解边BD；也可以通过有一个为45°的直

角三角形是等腰直角三角形得出CD=BD来进行求解。本题三角函数的应用，熟练掌

握三角函数的定义及解直角三角形是关键。第（2）题通过在一般三角形中做辅助线

CD垂直于AB垂足为D,构造两个含特殊角的三角函数进行求解以BC,AC为斜边的两

个直角三角形BD,AD,进而得出AB之间的距离，在通过路程、速度、时间的关系

求出船只航行的平均速度。本题主要是让学生经历从一般到特殊的过程，掌握构

造直角三角形的方法，提升学生解决实际问题的能力，以及审题能力。

作业2（拓展性作业）

1.作业内容

（1）.（安徽中考题）如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC15米,

在

山脚下点6处测得塔底C的仰角CBD36.9，塔顶A的仰角

ABD42.求山

高（点ACD在同一条竖直线上）.（参考数据：/

tan36.90.75,sin36.90.60,tan42.00.兜、、）

⑵足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越

好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所

示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q,使得NCQA=NABQ（此时也有

ZDQB=ZQAB）时，恰好能使球门AB的张角NAQB达到最大值，故可以称点Q为直线

CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD

LAB于点。，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.

①.tanAAQB=.

（2）.已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围《

为2米，若临时守门员站在张

角NAQ8内,双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确俾防守成物中点与A8

的距离至少为米.

ABD

图120

(3).如图，神医华佗是亳州历史文化名人，在亳州老城门楼有一座令人敬仰、悬壶

济世的华佗像，雕塑由华佗像和基座两部分组成，现要求测出华佗像的高度，现

有工具：一根1m长的标杆，卷尺，和测角器。请同学们利用现有的工具，设计

一个测量华佗像高度的方案。具体要求如下：

①测量时数据尽可能少；

⑦画出你所设计的几何图形，并将所测得的数据标在相应的位置；

③根据你所测量的数据，计算出华佗像的高度。

2.时间要求(25分钟以内)

3.评价设计

作业评价表

评价指标等级备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题。

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。C

等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过

程。

综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、

AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C

21

4.作业分析与设计意图

作业第（1）题设山高CO=x米，先在中利用三角函数用含x的代数式

表示出8D,再在RtZiAB。中，利用三角函数用含x的代数式表示出AO,然后可得

关于x的方程，解方程即得结果.本题设计意图是为了进一步巩固学生对仰角、俯

角的掌握，会熟练运用锐角三角函数解直角三角形的一般步骤、一般方法；作业

第（2）题证明△BOQS^QDA,利用相似三角形的性质求出过点8作

于点从利用面积法求出8”,再利用勾股定理求出Q”,可得结论；第（2）问设

NM的中点为O,过点N作NKLA。于点K,根点。作OJLNK于点J.解直角三角形

求出AV,NK,可得结论.本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形

的判定和性质等知识，要求学生将已学的知识能够灵活运用、融会贯通。结合中

考命

题趋势，文字量加大，训练学生的阅读和理解题意，并从中提取准确的、有效的

数学信息的能力。教师在讲解本题时，最后再把角度固定的话，这一问可牵涉到

圆周角的引入，为以后学习圆周角做好铺垫；作业第（2）题主要让学生利用身边

的工具对未知物体进行测量高度，综合运用解直角三角形的知识，加深对知识的

理解和认识；在小组合作的过程中，积累数学活动经验，锻炼学生的语言表达能

力、动手实践能力、团队合作的能力及创新意识；在解决问题的过程中发展学生

的数据分析观念、数学建模思想。

第七课时（解直角三角形的应用（3