1.1.2 菱形的判定 教学设计 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

课题：菱形的判定科目：数学教学对象：八年级学生课时：一课时教师：袁健梅单位：民新学校（初中部）一、教学内容分析

《菱形的判定》是北师大版数学九年级上册第一章第二课时的内容，紧接着菱形的定义和性质进行学习，主要学习菱形判定定理的探索和应用，是平行四边形判定的延申，同时也为矩形的学习做好研究特殊四边形的框架作铺垫。二、教学目标1、掌握菱形的判定定理2、经历判定定理的探索过程，掌握菱形判定定理的证明，进一步发展合情推理的能力三、学习者特征分析此前学生们已经学习过平行四边形，经历过其性质定理和判定定理的探究过程，合情推理和演绎推理的能力有所提升，但尚未能熟练掌握。明晰平行四边形的研究方向，清楚平形四边形的所有性质和判定。班里的学生整体素质较好，只有个别基础较差的学生，学生平时的学习积极性较高，当有疑难问题时，会产生激烈的争论，如无法解决，会主动找教师来帮助他们解决。四、教学重点及难点重点：掌握菱形的判定定理（书本的三条）难点：菱形的判定定理的探索与证明五、教学过程教师活动学生活动设计意图一、导入1.复习导入菱形的定义是？菱形的性质有哪些？（抽签、点名、集体回答）2.等边三角形的判定说到判定，我们前面学习过平行四边形的判定，再前面，我们学过等边三角形的判定，那么等边三角形的判定大家还记得吗？回顾、回答、思考通过对菱形的定义和性质的复习，引出菱形的判定，使学生清楚从定义到性质再到判定，是一个严谨的研究框架。通过对等边三角形的判定的复习，引出对判定的相关分类，解释为什么我后面需要从平行四边形和普通四边形两个方面判断菱形。二、授新从平行四边形的角度出发1.定义法（判定1）同样，在周一的时候，我们画菱形的时候已经用到了第一个菱形的判定定理，就是它的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（板书）。那么接下来同样的，我们先从平行四边形出发，探索除了邻边相等，还可以添加什么条件？2、对角线相互垂直的平行四边形是菱形。探究：用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字架，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？已知：如图，平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD.求证：平行四边形ABCD是菱形证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∵AC⊥BD∴BA=BC（垂直平分线的性质）∴四边形ABCD是菱形（定义）练习：例2已知：如图，在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，AB=5,OA=2，OB=1.求证：平行四边形ABCD是菱形.证明：在△AOB中.∵AB=5,OA=2，OB=1.∴AB2=AO2+∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形。3、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形师：刚刚在平行四边形的基础上，我们分别添加一组邻边相等、对角线互相垂直就得到菱形，那么，我们还可以添加什么条件呢？师：可以发现，这个从“边”的条件，这个从“线”的条件出发，所以……生：我们从“角”的条件出发师：如果对于一个平行四边形来说，最简单的，我想证它两条邻边AB和AD相等来得到菱形，从角的条件出发，我们会想要怎么做？师：证两边相等你联想到什么方法？全等？等腰？生：用全等太复杂，试试等腰，先把对角线BD连起来师：连接对角线BD，我们就有一个等腰三角形ABD，现在有平行，有等腰，还差什么条件？生：角平分线师：好，谁是谁的角平分线？生：BD是角ABC（角ADC）的角平分线师：在这里，角ABC和角ADC都可以，为什么？生：对角相等师：那么下面我们就以平行四边形为前提，添加条件“BD是角ABC的角平分线”，证明平行四边形ABCD是菱形生：动手写证明过程师：这里角平分线平分角ABC的同时也平分角ADC，所以我们把它表述为“对角线平分一组对角”从四边形的角度出发：4、四边相等的四边形是菱形。操作题：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？小刚：圆心：A、C半径：大于12两条弧分别相交于点B,D,依次连接A、B、C、D,四边形ABCD看上去是菱形.思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？2.怎么验证四边形ABCD是菱形？注：该尺规作图的作法只有一个，作垂直的做法是错误的，要及时纠正学生的规范作图。2、证明不需要学生动手，详述思路即可。5、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。师：以四边形为限制条件，只要满足四条边相等就可以得到菱形，那么在这个限制条件下，还有什么条件可以使其直接得到菱形呢？生：对角线垂直且平分6、对角线平分两组对角的四边形是菱形。通过对比平行四边形的“角”的条件，引发从普通四边形出发还可以添加什么条件的思考：引导同学们明确已知和求证，并让学生动手证明（自主探究和小组讨论）已知：在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵在∆ABC和∆ADC中，∠1=∠2，∴∆ABC≌∆ADC（ASA）∴AB=AD，CB=CD同理∆ABD≌∆CBD（ASA）∴AB=CB，AD=CD∴AB=CB=CD=AD∴四边形ABCD是菱形注：这个证明在有时间的情况下才设计学生活动，没有的话可以放课后，然后下节课讲评，以保证能在课堂上给他们练习的空间。学生通过回顾和思考得出第一个判定定理，接着思考第二个。思考并回答PPT上的问题，观看教师演示几何画板。并证明该定理，且进行相关练习。思考、回答，并写出证明过程。尺规作图，并思考得到书本的都三条判定，然后口述证明思路。思考、回答猜想、探索、证明证明、讨论通过老师的归纳引导，让学生进行讨论，从而发现倒数的意义和倒数的正确叙述方法。这样可以加深学生的印象。引发学生猜想，并通过直观演示，从操作上验证了判定定理2，接着让学生寻找已知和求证，进行逻辑证明。通过练习学会运用判定定理2的几何语言。利用之前讲过的“平行+等腰=角平分线”引出角平分线的概念，再引出菱形的对角线平分对角的性质，从而自然得到判定。通过菱形作图，引导学生探索菱形的另一种判定方法。该定理比较简单，可以直接引出，节约课堂时间。老师要使学生始终有问题要思考，这样他们才会注意力集中，通过激发他们的求知欲，才能让他们在交流和讨论中获取新知识点。教师引导学生自己提出问题，再让他们自己去解决问题。培养他们发现问题和解决问题的能力。突出本节课的重点内容和必须掌握的知识点。三、练习（一）选择1.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（B）A.BA=BCB.AC，BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（C）A.AC⊥BD，AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC，AD=CD，AC⊥BDD.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（C）A.AB=ADB.AOC.AC=BDD.∠BAC=∠ACB（二）判断对错1、对角线互相垂直的四边形是菱形。（×）2、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（√）3、对角线平分一组对角的四边形是菱形。（×）4、对角线平分两组对角的平行四边形是菱形。（√）5、对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形。（×）6、一组邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（×）（三）解答题1、已知：如图，在ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O.求证：四边形AFCE是菱形.2、如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C‘处，折痕DE交BC于点E，连接C'E.你能确定四边形CDC'E的形状吗？证明你的结论。3、已知：如图，在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.秒杀题（20秒读题时间）对于难以判断的语句，学会寻找和画出反例。利用判定定理证明，注意证明的格式和语句的简洁。对本节课的内容进行更深层次的巩固。

四、课堂小结菱形的判定：