北师大版九年级数学上册第四章第31课时相似三角形判定定理的证明课件

第四章图形的相似第31课时相似三角形判定定理的证明·上册·目录01温故知新02知识重点03对点范例04课本母题05母题变式06创新设计1.

如图S4－31－1，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（

C

）图S4－31－1C

（限时3分钟）温故知新A.

∠B＝∠ACDB.

∠ADC＝∠ACBD.

AC2＝AD·AB2.

如图S4－31－2，网格中相似的两个三角形是（

D

）图S4－31－2DA.

①与④B.

②与③C.

①与⑤D.

②与⑤

（1）两角分别

相等

⁠的两个三角形相似；

（2）两边

成比例且夹角

⁠相等的两个三角形相似；

（3）三边

成比例

⁠的两个三角形相似.相等

成比例且夹角

成比例

知识重点3.

如图S4－31－3，已知在△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，则添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（

D

）图S4－31－3DA.

∠CAB＝∠DC.

AD∥BC对点范例知识点1两角对应相等判定三角形相似【例1】（课本P102习题）已知：如图S4－31－4，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB.求证：AE2＝AD·AC.

课本母题图S4－31－4思路点拨：根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ACB，即可解题.证明：∵BE平分∠CBD，∴∠DBE＝∠CBE.∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB.∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE，∠AEB＝∠C＋∠CBE，∴∠ABD＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴AB∶AD＝AC∶AB，即AB2＝AD·AC.∵AE＝AB，∴AE2＝AD·AC.图S4－31－44.

如图S4－31－5，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为E.图S4－31－5母题变式（1）求证：CD2＝DE·AD；证明：（1）∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°.∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC.∴CD∶AD＝DE∶CD.∴CD2＝DE·AD.

图S4－31－5（2）求证：∠BED＝∠ABC.

证明：（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵CD2＝DE·AD，∴BD2＝DE·AD.∴BD∶AD＝DE∶BD.又∵∠BDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB.∴∠BED＝∠ABC.

图S4－31－5知识点2三边对应成比例判定三角形相似

课本母题图S4－31－6思路点拨：根据三组对应边的比相等的两三角形相似可判断△ADE∽△CAB，从而∠AED＝∠B，再根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.

图S4－31－6

图S4－31－7（1）∠DAB＝∠EAC；

母题变式（2）DB·AC＝AB·EC.

图S4－31－76.

（课本P102习题－创新题）如图S4－31－8，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s.如果P，Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？创新设计图S4－31－8解：设经过ts时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2tcm，BP＝（8－2t）cm，BQ＝4tcm.∵∠PBQ＝∠ABC，

图S4－31－8

图S4－31－87.

（创新变式）如图S4－31－9，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝16cm，AB＝8cm，动点D从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动.如果点E的运动速度为4cm/s，点D的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△ADE相似？图S4－31－9解：设同时运动ts时两个三角形相似.根据题意可知，AC＝16，AB＝8，AD＝