江苏省镇江市外国语学校2025届数学九上期末考试模拟试题含解析

江苏省镇江市外国语学校2025届数学九上期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．小明利用计算机列出表格对一元二次方程进行估根如表:那么方程的一个近似根是（）A． B． C． D．2．已知x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0的根，则该方程的另一个根是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣13．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A． B． C． D．4．如图，，，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A．3对 B．5对 C．6对 D．8对5．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A．图象经过点(-1,-1) B．图象在第一、三象限C．当时， D．当时，y随着x的增大而增大6．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A． B．2 C． D．7．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度8．下列方程中，没有实数根的方程是（）A．(x-1)2=2C．3x29．如图，的正切值为（）A． B． C． D．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是()A． B． C． D．11．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．12．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点．若点,则的坐标为__________．14．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为____.

15．计算：＝_____．16．已知正六边形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为______．17．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则cosα＝_____．18．如图，点、、…在反比例函数的图象上，点、、……在反比例函数的图象上，，且，则（为正整数）的纵坐标为______．（用含的式子表示）三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．20．（8分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程；（1）；（2）．21．（8分）已知二次函数（、为常数）的图像经过点和点.（1）求、的值；（2）如图1，点在抛物线上，点是轴上的一个动点，过点平行于轴的直线平分，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线上的一动点，以为圆心、为半径的圆与轴相交于、两点，若的面积为，请直接写出点的坐标.22．（10分）如图，是⊙的直径，是⊙的弦，且，垂足为．（1）求证：；（2）若，求的长．23．（10分）在平行四边形中，为对角线，，点分别为边上的点，连接平分.（1）如图，若且，求平行四边形的面积.（2）如图，若过作交于求证:24．（10分）在一个不透明的盒子中装有张卡片，张卡片的正面分别标有数字，，，，，这些卡片除数字外，其余都相同．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数的卡片的概率是多少？（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的张卡片上标有的数字之和大于的概率（画树状图或列表求解）．25．（12分）光明中学以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨举办首届《诗词大会》，九年级2班的马小梅晋级总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：横扫千军、你说我猜、初级飞花令，（分别用）表示；第二环节：出口成诗、飞花令、超级飞花令、诗词接龙（分别用表示）.（1）请用画树状图或列表的方法表示马小梅参加总决赛抽取题目的所有可能结果；（2）求马小梅参加总决赛抽取题目都是飞花令题目（初级飞花令、飞花令、超级飞花令）的概率.26．如图，在中，，点在边上，点在边上，且是的直径，的平分线与相交于点.（1）证明：直线是的切线；（2）连接，若，，求边的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据表格中的数据，0与最接近，故可得其近似根.【详解】由表得，0与最接近，故其近似根为故答案为C.【点睛】此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.2、D【分析】设方程的另一根为t,根据根与系数的关系得到3＋t＝2,然后解关于t的一次方程即可.【详解】设方程的另一根为t,

根据题意得3＋t＝2,

解得t＝﹣1.

即方程的另一根为﹣1.

所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系:是一元二次方程的两根时,,.3、B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判定即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，也是中心对称图形B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故答案为B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称和中心对称概念的区别是解答本题的关键．4、C【分析】根据相似三角形的判定即可判断.【详解】图中三角形有：，，，，∵，∴共有6个组合分别为：∴，，，，，故选C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.5、D【解析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【详解】解：A、x=-1，y==-1，∴图象经过点（-1，-1），正确；B、∵k=1＞0，∴图象在第一、三象限，正确；C、∵k=1＞0，∴图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＞1时，0＜y＜1，正确；D、应为当x＜0时，y随着x的增大而减小，错误．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，当k＞0时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值的增大而减小．6、D【解析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，

1m=-（n-1）1+5，n=，∴m=，

∵m＜0，

∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+=．7、C【解析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．8、D【解析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：A、方程化为一般形式为：x2-2x-1=0，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B、方程化为一般形式为：2x2-x-3=0，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9、A【分析】根据圆周角定理和正切函数的定义，即可求解．【详解】∵∠1与∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2，∴tan∠1=tan∠2=，故选A．【点睛】本题主要考查圆周角定理和正切函数的定义，把∠1的正切值化为∠2的正切值，是解题的关键．10、A【解析】由勾股定理，得AC=，由正切函数的定义，得tanA=，故选A．11、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12、C【分析】设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【详解】设这种植物每个支干长出个小分支，依题意，得：，解得：（舍去），．故选C．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，根据相似比即可求得位似图形对应点的坐标.【详解】由题意，得和是以坐标原点为位似中心的位似图形，相似比为2则的坐标为，故答案为：.【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系，熟练掌握，即可解题.14、1【解析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=1．【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，∴AD=OA=1．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=1，∴AB=AD=1．即该船航行的距离（即AB的长）为1．故答案为1．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15、【详解】解：原式=．故答案为．16、【解析】解：如图，连接OA、OB，OG．∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故答案为．【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．17、【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求cosα的值．【详解】∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即AC2＋（7＋AC）2＝132，整理得，AC2＋7AC−60＝0，解得AC＝5，AC＝−12（舍去），∴BC＝＝12，∴cosα＝=故填：.【点睛】本题考查了勾股定理的证明，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．18、【分析】先证明是等边三角形，求出的坐标，作高线，再证明是等边三角形，作高线，设，根据，解方程可得等边三角形的边长和的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点、、…在轴的上方，纵坐标为正数，点、、……在轴的下方，纵坐标为负数，可以利用来解决这个问题．【详解】过作轴于，∵，，是等边三角形，，，和，过作轴于，∵，是等边三角形，设，则，中，，，∵，解得：（舍），，，，即的纵坐标为；过作轴于，同理得：是等边三角形，设，则，中，，，∵，解得：（舍），；，，即的纵坐标为；…（为正整数）的纵坐标为：；故答案为；【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．三、解答题（共78分）19、（1）y＝﹣x2﹣2x+3（2）（﹣，）（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.20、（1）；（2）x=1【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴，，，解得：；（2）∵，∴，∴，∴，解得：x1=-1，x2=1，经检验，x=1是原无理方程的根，x=-1不是原无理方程的根，即方程，的解是x=1．【点睛】本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验．21、（1），；（2）；（3）或或【分析】(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b，c的二元一次方程组求解即可(2)过点作，过点作.证明△CMD相似于△AME，再根据对应线段成比例求解即可(3)根据题意设点P的纵坐标为y，首先根据三角形面积得出EF与y的关系，再利用勾股定理得出EF与y的关系，从而得出y的值，再代入抛物线解析式求出x的值，得出点坐标.【详解】解：(1)把和代入得：解方程组得出：所以，，(2)由已知条件得出C点坐标为，设.过点作，过点作.两个直角三角形的三个角对应相等，∴∴∴∵解得：∴(3)设点P的纵坐标为y,由题意得出，，∵MP与PE都为圆的半径，∴MP=PE∴整理得出，∴∵∴y=1,∴当y=1时有，，解得，；∴当y=-1时有，，此时，x=0∴综上所述得出P的坐标为：或或【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.22、（1）见解析；（2）1．【分析】（1）先根据垂径定理得出，然后再利用圆周角定理的推论即可得出；（2）先根据勾股定理求出AB的长度，然后利用的面积求出CE的长度，最后利用垂径定理可得CD=2CE，则答案可求．【详解】（1）证明：∵为⊙的直径，，，；（2）解：∵为⊙的直径，∴，，，又∵∴．∵，即，解得，∵为⊙的直径，，∴．【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键．23、（1）50；（2）详见解析【分析】（1）过点A作AH⊥BC，根据角平分线的性质可求出AH的长度，再根据平行四边形的性质与∠B的正弦值可求出AD，最后利用面积公式即可求解；（2）截取FM=FG，过F作FN⊥AF交AC延长线于点N，利用SAS证明≌，根据全等的性质、各角之间的关系及平行四边形的性质可证明，从而得到为等腰直角三角形，再利用ASA证明与全等，最后根据全等的性质即可证明结论．【详解】解：（1）过作，∵平分且，∴，∵四边形是平行四边形，∴∠B=∠D，∴sinB=sinD=，又∵，，∴，∴；（2）在上截取，过作交延长线于点，∵平分，∴，在和中，，∴≌（SAS），∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，又∵平行四边形中：，且