四川省观音片2025届九年级数学第一学期期末联考模拟试题含解析

四川省观音片2025届九年级数学第一学期期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（）A．18 B．16 C．14．已知，是抛物线上两点，则正数（）A．2 B．4 C．8 D．165．图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（）A．主视图 B．俯视图C．左视图 D．主视图、俯视图和左视图都改变6．已知，则=（）A． B． C． D．7．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．无法确定8．已知关于的方程（1）（2）（3）（4），其中一元二次方程的个数为（）个．A．1 B．2 C．3 D．49．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断10．如图，正六边形的边长是1cm，则线段AB和CD之间的距离为（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm11．计算的结果等于（）A．-6 B．6 C．-9 D．912．下列事件中，是必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯二、填空题（每题4分，共24分）13．若点A(m，n)是双曲线与直线的交点，则_________．14．如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，，，，…在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为，则______.15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为________.16．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab=．17．如图，与中，，，，，AD的长为________.18．如图,在△ABC中,AB≠AC．D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)

三、解答题（共78分）19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝1．（1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根．20．（8分）（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．21．（8分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．（1）求证：∠HEA=∠CGF；（2）当AH=DG时，求证：菱形EFGH为正方形．22．（10分）如图，在等腰直角三角形MNC中，CN＝MN＝，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O.(1)∠NCO的度数为________；(2)求证：△CAM为等边三角形；(3)连接AN，求线段AN的长．23．（10分）如图，在中，，点是边上的动点（不与重合），点在边上，并且满足.（1）求证：；（2）若的长为，请用含的代数式表示的长；（3）当（2）中的最短时，求的面积.24．（10分）如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，、在边上．（1）求证：∽；（2）若，则面积与面积的比为．25．（12分）如图，反比例函数的图象过点A（2，3）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过A点作AC⊥x轴，垂足为C．若P是反比例函数图象上的一点，求当△PAC的面积等于6时，点P的坐标．26．已知锐角△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于点D．（1）若∠BAC=60°，⊙O的半径为4，求BC的长；（2）请用无刻度直尺画出△ABC的角平分线AM．（不写作法，保留作图痕迹）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】由于反比例函数的图象在某象限内随着的增大而增大，则满足，再解不等式求出的取值范围即可．【详解】∵反比例函数的图象在某象限内，随着的增大而增大∴解得：故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握图象在各象限的变化情况跟系数之间的关系是关键.2、B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．【详解】解：∵∽，相似比为1：1，∴与的周长的比为1：1．故选：B．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．3、B【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是16故选B.考点：简单概率计算.4、C【分析】根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．【详解】解：∵，是抛物线上两点，∴，∴且n为正数，解得，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．5、A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．【详解】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．6、B【分析】由得到x=,再代入计算即可.【详解】∵,∴x=,∴=.故选B.【点睛】考查了求代数式的值，解题关键是根据得到x=，再代入计算即可.7、B【详解】试题分析：∵当k＜0时，y=在每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选B.考点：反比例函数增减性.8、C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【详解】解：（1）ax2+x+1=0中a可能为0，故不是一元二次方程；（2）符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程；（3），去括号合并后为，是一元二次方程；（4）x2=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；所以是一元二次方程的有三个，

故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以．9、C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∴6＞5，即：d＜r．∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．10、B【分析】连接AC，过E作EF⊥AC于F，根据正六边形的特点求出∠AEC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠EAF的度数，由特殊角的三角函数值求出AF的长，进而可求出AC的长．【详解】如图，连接AC，过E作EF⊥AC于F，∵AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∴AF=CF，∵此多边形为正六边形，∴∠AEC==120°，∴∠AEF==60°，∴∠EAF=30°，∴AF=AE×cos30°=1×=，∴AC=，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形的应用，等腰三角形的性质和锐角三角函数，掌握知识点是解题关键．11、D【分析】根据有理数乘方运算的法则计算即可．【详解】解：，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握运算法则是解题的关键．12、C【解析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故A不符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C符合题意；

D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故D不符合题意；

故选：C．【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件，随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．二、填空题（每题4分，共24分）13、5【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，得出m，n的值，即可解决本题.【详解】解：联立两函数解析式：，解得：或，当时，，当时，，综上，5，故答案为5.【点睛】本题是对反比例函数和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及解一元二次方程知识是解决本题的关键.14、【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线BB1．易求得△ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1,B2，B3，…Bn在一条直线上．∴S△ABC1=×1×=∵B

B1∥AC1，∴△BD1B1∽△AC1D1，△BB1C1为等边三角形则C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1边上的高也为；∴S1=××=；同理可得；则=,∴S2=××=；同理可得：；∴=，Sn=××=．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15、【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案．【详解】∵，∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆，∵，，∴点M的坐标为：，半径为1，过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图：此时取得最小值，∵直线的解析式为：，∴，∴，∵，∴，∴最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键．16、【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：∵，，，，…，∴。17、【分析】先证明△ABC∽△ADB，然后根据相似三角形的判定与性质列式求解即可.【详解】∵，，∴△ABC∽△ADB，∴,∵，，∴，∴AD=.故答案为：.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．18、或【解析】因为，,，所以,欲使与相似，只需要与相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法点睛】在解决本题目，直接处理与，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过，与相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.三、解答题（共78分）19、（2）2；（2）见解析【分析】（2）将x=2代入方程中即可求出答案．（2）根据根的判别式即可求出答案．【详解】（2）将x=2代入原方程可得2﹣(m+2)+2m=2，解得：m=2．（2）由题意可知：△=(m+2)2﹣4×2m=(m﹣2)2≥2，不论m取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程，解答本题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．20、（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由详见解析；（3）.【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到CG＝BF＝13，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴，故答案为BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴，∴2AD2＝BD2+CD2；（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，则△FAG是等腰直角三角形，∴∠AFG＝45°，∵∠AFC＝45°，∴∠GFC＝90°，同理得：△BAF≌△CAG，∴CG＝BF＝13，Rt△CGF中，∵CF＝5，∴FG＝12，∵△FAG是等腰直角三角形，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）连接GE，根据正方形的性质和平行线的性质得到∠AEG=∠CGE，根据菱形的性质和平行线的性质得到∠HEG=∠FGE，解答即可；（2）证明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，证明∠GHE=90°，根据正方形的判定定理证明．【详解】解：（1）连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形．【点睛】本题考查的是正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．22、（1）15°；（2）证明见解析；（3）【解析】分析：（1）由旋转可得∠ACM=60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，即可得到AN=AD﹣ND=﹣1．详解：（1）由旋转可得∠ACM=60°．又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，∴∠NCO=60°﹣45°=15°；故答案为15°；（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，∴△CAM为等边三角形；（3）连接AN并延长，交CM于D．∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，∴NC=NM=，CM=2，AC=AM=2．在△ACN和△AMN中，∵，∴△ACN≌△AMN（SSS），∴∠CAN=∠MAN，∴AD⊥CM，CD=CM=1，∴Rt△ACD中，AD=CD=，等腰Rt△MNC中，DN=CM=1，∴AN=AD﹣ND=﹣1．点睛：本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．23、（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，进而可证得结论；（2）根据相似三角形的对应边成比例可得CE与x的关系，进一步即可得出结果；（3）根据（2）题的结果，利用二次函数的性质可得AE最短时x的值，即BD的长，进而可得AD的长和△ADC的面积，进一步利用所求三角形的面积与△ADC的面积之比等于AE与AC之比即得答案.【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴；（3）∵，∴时，的值最小为6.4，此时，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质和三角形的面积等知识，属于中档题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质与