江苏省连云港市2024-2025学年高二数学上学期第一次检测试卷含部分解析

Page11江苏省连云港市2024-2025学年高二数学上学期第一次检测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．过点且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．2．已知直线与平行，则的值是（）A．B．C．或D．或3．直线截圆所得的弦长（）A． B． C． D．4．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内含C．外切D．内切5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6．双曲线的焦距等于（）A．B．C．D．7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．8．满意条件，的面积的最大值是（）A．B． C．D．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全对的5分，部分对的2分，有选错的0分．）9．下列说法中，正确的有（）A．直线过定点B．直线在y轴上的截距为C．点（1，3）到直线的距离为1D．直线x＝－2与eq\r(3)x－y＋1＝0的夹角为eq\f(π,3)10．已知直线和圆：，则（）A．直线与圆相交B．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，C．当时，圆上的点到直线的最远距离为D．若直线与圆相交于两点，则的中点的轨迹是圆的一部分11．已知直线，圆，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（）A．最短时，弦直线方程为B．最短时，弦长为C．的面积最小值为D．四边形的面积最小值为12．设椭圆左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A．以线段为直径的圆与直线相切B．△面积的最大值为C．D．离心率三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线，则其倾斜角为▲．14．设为实数，双曲线焦距为▲．15．若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A(2,0)，B(－2，－4)的距离之和最小，则点P的坐标为▲．16．如图，分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且，，则椭圆的标准方程是▲．四、解答题（共6小题，17题10分，18~22题各12分，共70分．）17．（本小题10分）已知的三个顶点分别为，，，求：（1）AB边中线所在的直线方程；（2）的外接圆的方程.18．（本小题12分）（1）若实数m满意的方程表示焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围；（2）若实数m满意的方程表示双曲线，求实数m的取值范围．19．（本小题12分）已知直线．（1）若直线不经过第四象限，求取值范围；（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程．20．（本小题12分）椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，焦距为2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）若AB⊥x轴，求△ABF2的面积．21．（本小题12分）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必需加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应当降低多少？（参考数据，精确0.01m.）22．（本小题12分）已知椭圆的离心率为，上顶点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，且，求的值．

答案1．A．解：设所求直线方程为x－2y＋c＝0.把点(2，2)代入可得2－2×2＋c＝0，所以c＝2，所求直线的方程为x－2y＋2＝0.故选A．2．B．3．C．解：（方法1：几何法）圆的半径r＝eq\r(5)，圆心(1,2)到直线的距离为d＝eq\f(|3－2－6|,\r(32＋－12))＝eq\f(\r(10),2)，则.（方法2：两点距离公式）由，消去得，解得或，直线与圆的交点,，则．（方法3：韦达定理）由，消去得，由韦达定理得，，，又，则．故选C．4．D．解：两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4，圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切．故选D．5．A．解：直线恒过点，且斜率为，因为，，画图可知且，所以.故选A．6．C．7．C．解：由曲线得，表示以原点为圆心，半径为的上半圆，如图，（1）当直线与半圆相切时，，则，此时直线．（2）当直线过点时，，此时直线．当直线夹在与之间（包括）时，直线与曲线C有两个公共点，b的取值范围是．故选C．8．D．解：以AB所在的直线为轴，AB中垂线为轴建系，，设，由得，，化简得，即C在以为圆心，为半径的圆上运动，．故选D．9．BC10．ACD．11．BC．12．ACD．13．eq\f(5π,6)．解：直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，设倾斜角为α，则tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈[0,π)，则α＝eq\f(5π,6).14．8．15．(－2,3)解：设点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点为A1(m，n)．则，解得，故A1(－2,8)．则直线A1B的方程为x＝－2．当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，PA＋PB最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2,3)．16．.【解析】将代入，解得，所以，由题意得，即，解得，所以椭圆方程为.17．解：（1）设AB中点为，，，，（1分）直线CM斜率，（3分）由点斜式得AB边中线方程为：.（5分）（2）设外接圆的方程为：，（6分）把，，代入圆的方程得：，（7分）解得，（9分）所求圆的一般方程为：，（10分）化为标准方程为：.（10分）（圆的方程写为一般方程或标准方程都正确）18．解：（1）由题意得，（3分）解得，即实数m的取值范围是．（6分）（2）由题意得，（9分）解得或，即实数m的取值范围是．（12分）19．解：（1）方程可化为，（2分）要使直线不经过第四象限，则，（4分）解得，所以k的取值范围为．（6分）（2）令得，取得，（8分）所以，（10分）当且仅当时，即时取等号，（11分）此时，直线的方程为.（12分）20．解：(1)由题意知，4a＝8，所以a＝2，（3分）由焦距为2，所以c＝1，所以b2＝22－1＝3，（5分）所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．（6分）(2)设直线AB的方程为x＝－1，由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，x＝－1，得y2＝，（8分）解得y1＝，y2＝－，（10分）所以＝c·|y1－y2|＝3（12分）21．解：（方法1）如图，以正常水位时河道中心为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为．（2分）桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为．为直角三角形，依题意得，（4分）解得，，则．圆的方程为，（6分）当船行驶在河道正中心，船顶最宽处点的坐标为，则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上．当时，．即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82，（8分）正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则，即要保证船顺当通过，水位上涨不能超过m．（1