广西专版2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课后训练新人教A版必修第一册

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课后·训练提升基础巩固1.已知命题p:∀x∈R,x2=5,则该命题的否定是()A.∀x∉R,x2=5 B.∀x∈R,x2≠5C.∃x∈R,x2=5 D.∃x∈R,x2≠5答案D2.命题“∃x∈{x|x>0},|x-1|=x-1”的否定是()A.∀x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1B.∀x∈{x|x>0},|x-1|=x-1C.∃x∈{x|x>0},|x-1|≠x-1D.∃x∉{x|x>0},|x-1|=x-1答案A3.命题“高一(3)班全部的男生都爱踢足球”的否定是()A.高一(3)班至多有一名男生爱踢足球B.高一(3)班至少有一名男生不爱踢足球C.高一(3)班全部的男生都不爱踢足球D.高一(3)班的全部同学都不爱踢足球答案B4.下列四个命题中,为真命题的是()A.∀x∈R,x+1xB.∃x∈R,x3=7C.∃x∈R,|1-x|<0D.∀x∈R,|x+5|>0答案B解析选项A,当x<0时,x+1x≥2不成立,所以A中命题为假命题;选项C,肯定值恒大于等于0,故C中命题为假命题;选项D,当x=-5时,|x+5|=0,所以D中命题为假命题.故选B5.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ()A.随意一个有理数,它的平方是有理数B.随意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是无理数答案B6.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p的否定为()A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n答案C解析因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.7.下列命题的否定是假命题的是()A.有理数不是实数B.存在一个被5整除的整数,末位数字是3C.二次函数的图象都开口向上D.存在一个能被5整除的数是奇数答案D8.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为;此命题的否定是(用符号表示),是命题(填“真”或“假”).

答案∃x,y∈R,x+y>1∀x,y∈R,x+y≤1假解析命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为“∃x,y∈R,x+y>1”,此命题的否定是全称量词命题:“∀x,y∈R,x+y≤1”,明显命题的否定是假命题.9.已知命题“∃x∈R,使ax2+2x-1≤0”,是否存在a∈R,使该命题的否定是真命题?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解∵“∀x∈R,ax2+2x-1>0”是真命题,∴a>0综上,这样的a不存在.10.已知命题p:∀x∈R,(x-2)2-1>a,其中a∈R,命题q:∃x∈R,x2-4x-a=0.命题p是真命题,且命题q的否定是真命题,求a的取值范围.解当x∈R时,(x-2)2-1的最小值为-1,所以由命题p是真命题,可得a<-1.命题q的否定:∀x∈R,x2-4x-a≠0.因为命题q的否定是真命题,所以Δ=16+4a<0,解得a<-4.综上所述,所求a的取值范围是a<-4.实力提升1.命题“∀x>0,x2>x”的否定是()A.∀x>0,x2≤xB.∀x≤0,x2≤xC.∃x>0,x2≤xD.∃x≤0,x2≤x答案C2.(多选题)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有()A.∃x∈R,x2-x+14<B.全部的正方形都是矩形C.∃x∈R,x2+2x+2≤0D.至少有一个实数,使x3+1=0答案AC解析命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故解除B.再依据命题的否定为真命题,即原命题为假命题.又D为真命题,故选AC.3.已知p:∀x∈R,2x2+2x+12<0,q:∃a∈R,函数y=x2-x+a的图象与x轴有交点,则下列推断正确的是 (A.p是真命题B.q是假命题C.p的否定是假命题D.q的否定是假命题答案D解析在命题p中,当x=-12时,2x2+2x+12=0,故p为假命题,p为真命题;在命题q中,当a=0时,函数y=x2-x的图象与x轴有交点,故q为真命题,q是假命题.4.已知下列说法:①命题“等圆的面积相等,周长相等”是全称量词命题;②命题“∀x∈Z,x2∈N”是假命题;③命题“∃x∈N,x∈N”的否定是“∀x∈N,x∉N”;④命题“存在一个梯形,有两个内角为90°”的否定是真命题.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析①③正确,②④错误,故选B.5.已知命题“对随意一个实数x,m≠x2+1”的否定是真命题,则m的取值范围是.

答案m≥1解析该命题的否定:存在一个实数x,m=x2+1,且为真命题.因为x2+1≥1,所以m≥1.6.推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.写出它们的否定,并推断命题的否定的真假.(1)矩形的对角线相互垂直;(2)存在一个集合,它的子集个数是2;(3)∀a,b∈R,关于x的方程ax=b有唯一