2025届高考数学二轮专题复习与测试小题基础练三不等式

小题基础练(三)不等式1．(2024·惠州模拟)已知实数a>b>0>c，则下列结论肯定正确的是()A．eq\f(a,b)>eq\f(a,c) B．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))cC．eq\f(1,a)<eq\f(1,c) D．a2>c2解析：A选项，因为a>b>0>c，所以eq\f(a,b)>0>eq\f(a,c)，故A选项正确；B选项，因为函数y＝(eq\f(1,2))x在R上单调递减且a>c，所以(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,2))c，故B选项错误；C选项，因为a>0>c，则eq\f(1,a)>0>eq\f(1,c)，故C选项错误；D选项，若a＝1，c＝－2，满意a>0>c，但a2<c2，故D选项错误．故选A.答案：A2．(2024·广州黄埔区校级模拟)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以a和b为负数且a>b，所以a2<b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab<b2，故B正确；由a和b为负数可得a＋b<0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选D.答案：D3．(2024·临沂二模)若a>0，b>0，且eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)＝1，则a＋b的最小值为()A．2eq\r(2)－1 B．2eq\r(2)＋2C．2 D．4解析：因为a>0，b>0，且eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)＝1，则a＋b＝(a＋1＋b)(eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b))－1＝2＋eq\f(b,a＋1)＋eq\f(2a＋2,b)≥2＋2eq\r(2)，当且仅当b＝eq\r(2)(a＋1)且eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)＝1，即a＝eq\r(2)，b＝2＋eq\r(2)时取等号．故选B.答案：B4．(2024·菏泽一模)设实数x，y满意x＋y＝1，y>0，x>0，则eq\f(2,|x|)＋eq\f(|x|,y)的最小值为()A．2eq\r(2)－2 B．2eq\r(2)＋2C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1解析：因为y>0，x＋y＝1，x>0，所以eq\f(2,|x|)＋eq\f(|x|,y)＝eq\f(2（x＋y）,|x|)＋eq\f(|x|,y)＝eq\f(|x|,y)＋eq\f(2y,|x|)＋eq\f(2x,|x|)，eq\f(|x|,y)＋eq\f(2y,|x|)＋eq\f(2x,|x|)≥2eq\r(2)＋2(当且仅当eq\f(2y,|x|)＝eq\f(|x|,y)取得等号)；所以eq\f(2,|x|)＋eq\f(|x|,y)的最小值为2eq\r(2)＋2.故选B.答案：B5．(2024·龙口模拟)若正实数x，y满意x＋y＝1，且不等式eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)<m2＋eq\f(3,2)m有解，则实数m的取值范围是()A．m<－3或m>eq\f(3,2) B．m<－eq\f(3,2)或m>3C．－eq\f(3,2)<m<3 D．－3<m<eq\f(3,2)解析：因为x＋y＝1，所以(x＋1)＋y＝2，所以eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)(eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y))·[(x＋1)＋y]＝eq\f(1,2)(4＋eq\f(4y,x＋1)＋eq\f(x＋1,y)＋1)≥eq\f(1,2)·(5＋2eq\r(4))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\f(4y,x＋1)＝eq\f(x＋1,y)，即x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)时，等号成立，此时eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)取得最小值eq\f(9,2)，原不等式有解，可转化为eq\f(9,2)<m2＋eq\f(3,2)m成立，即2m2＋3m－9>0，所以m<－3或m>eq\f(3,2).故选A.答案：A6．(多选题)(2024·普宁校级二模)已知正数x，y满意x＋y＝2，则下列选项正确的是()A．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是2B．xy的最小值是1C．x2＋y2的最小值是4D．x(y＋1)的最大值是eq\f(9,4)解析：对于A，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(y,2x)＋eq\f(x,2y)＋eq\f(1,2)≥1＋2eq\r(\f(y,2x)·\f(x,2y))＝2，当且仅当eq\f(y,2x)＝eq\f(x,2y)，即x＝y＝1时等号成立，故选项A正确．对于B，xy≤(eq\f(x＋y,2))2＝1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项B错误．对于C，x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥(x＋y)2－2(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(（x＋y）2,2)＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项C错误．对于D，因为x＋y＝2，所以x＋(y＋1)＝3，则x(y＋1)≤(eq\f(x＋y＋1,2))2＝eq\f(9,4)，当且仅当x＝y＋1＝eq\f(3,2)时等号成立，故选项D正确．故选AD.答案：AD7．(多选题)(2024·深圳模拟)已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是()A．(a＋4b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥9 B．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥6C．a2＋eq\f(5,2)>3a D.eq\f(a,a2－a＋1)≤eq\f(1,2)解析：A选项，因为a，b都是正实数，故(a＋4b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥1＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)＋4≥5＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9，当且仅当eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝b时，等号成立，B错误；C选项，a2－3a＋eq\f(5,2)＝(a－eq\f(3,2))2＋eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)>0，故a2＋eq\f(5,2)>3a恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故eq\f(a,a2－a＋1)＝eq\f(1,a＋\f(1,a)－1)，其中a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(a·\f(1,a))＝2，故eq\f(a,a2－a＋1)＝eq\f(1,a＋\f(1,a)－1)≤eq\f(1,2－1)＝1，当且仅当a＝eq\f(1,a)，即a＝1时，等号成立，D错误．故选AC.答案：AC8．(多选题)(2024·东莞模拟)下列说法正确的有()A．若x<eq\f(1,2)，则2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值是－1B．若x∈R，则eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值为2C．若a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝2，则eq\f(1,a＋b)＋eq\f(4,b＋c)＋eq\f(1,a＋c)的最小值是4D．已知a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，则a(b－1)最小值是3＋2eq\r(2)解析：对于A，由x<eq\f(1,2)可得1－2x>0，由基本不等式可得y＝2x＋eq\f(1,2x－1)＝－[(1－2x)＋eq\f(1,1－2x)]＋1≤－2eq\r(（1－2x）·\f(1,1－2x))＋1＝－1，当且仅当1－2x＝eq\f(1,1－2x)即x＝0时取等号，所以y＝2x＋eq\f(1,2x－1)的最大值为－1，故A正确；对于B，eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥2eq\r(\r(x2＋4)·\f(1,\r(x2＋4)))＝2，当且仅当eq\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))时等号成立，但此时x无解，等号无法取得，则最小值不为2，故B错误；对于C，由a＋b＋c＝2可得eq\f(1,a＋b)＋eq\f(4,b＋c)＋eq\f(1,c＋a)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,a＋b)＋eq\f(4,b＋c)＋eq\f(1,c＋a))(a＋b＋b＋c＋a＋c)＝eq\f(1,4)[6＋eq\f(b＋c,a＋b)＋eq\f(4（a＋b）,b＋c)＋eq\f(4（a＋c）,b＋c)＋eq\f(b＋c,c＋a)＋eq\f(a＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b,c＋a)]≥eq\f(1,4)[6＋2eq\r(\f(b＋c,a＋b)·\f(4（a＋b）,b＋c))＋2eq\r(\f(4（a＋c）,b＋c)·\f(b＋c,c＋a))＋2eq\r(\f(a＋c,a＋b)·\f(a＋b,c＋a))]＝4，当且仅当b＋c＝2(a＋b)＝2(c＋a)且a＋b＋c＝2，即a＝0，b＝1，c＝1时，等号成立，由于a，b，c均为正实数，则等号取不到，故C错误；对于D，由eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1可得ab＝2a＋b，代入到a(b－1)＝ab－a＝a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(2a,b))＝3＋2eq\r(2)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(2a,b)即a＝eq\r(2)＋1，b＝2＋eq\r(2)时，等号成立，故D正确．故选AD.答案：AD9．(多选题)(2024·东莞模拟)已知a，b∈R，满意ea＋eb＝4，则()A．a＋b≤2ln2 B．ea＋b≤3C．ab≥1 D．e2a＋e2b≥8解析：对于A，由ea＋eb＝4≥2eq\r(ea＋b)，得ea＋b≤4，所以a＋b≤2ln2，当且仅当a＝b＝ln2时等号成立，A正确；对于B，由ea＝4－eb>0，得ea＋b＝4＋b－eb且a，b∈(－∞，ln4)，令f(x)＝4＋x－ex(x<ln4)，则f′(x)＝1－ex，f′(x)>0解得x<0，f′(x)<0解得0<x<ln4，得f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln4)上单调递减，所以f(x)≤f(0)＝3，即ea＋b＝4＋b－eb≤3，B正确；对于C，当a＝0，b＝ln3时，满意ea＋eb＝4，ab＝0<1，C错误；对于D，e2a＋e2b＝eq\f(1,2)·2(e2a＋e2b)≥eq\f(1,2)(e2a＋e2b＋2eq\r(e2a·e2b))＝eq\f(1,2)(ea＋eb)2＝8，D正确．故选ABD.答案：ABD10．(多选题)(2024·济南二模)已知实数a，b，c满意a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是()A．eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c) B．a－c>2bC．a2>b2 D．ab＋bc>0解析：对于A，因为a>b>c，所以a－c>b－c>0，所以eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，A错误；对于B，因为a>b>c，a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以b＋c＝－a<0，a－b>0，所以a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；对于C，因为a－b>0，a＋b＝－c>0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误．故选BC.答案：BC11．(多选题)(2024·潍坊二模)已知实数a>b>0，则()A.eq\f(b,a)<eq\f(b＋2,a＋2) B．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)C．ab>ba D．lgeq\f(a＋b,2)>eq\f(lga＋lgb,2)解析：依据题意，依次分析选项：对于A，eq\f(b,a)－eq\f(b＋2,a＋2)＝eq\f(2（b－a）,a（a＋2）)<0，则有eq\f(b,a)<eq\f(b＋2,a＋2)，A正确；对于B，a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝(a－b)－(eq\f(1,a)－eq\f(1,b))＝(a－b)＋(eq\f(a－b,ab))＝(a－b)(1＋eq\f(1,ab))，又由a>b>0，则a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝(a－b)(1＋eq\f(1,ab))>0，必有a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，B正确；对于C，当a＝4，b＝2时，有ab＝ba，C错误；对于D，由于a>b>0，则eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，两边同时取对数可得：lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(lga＋lgb,2)，D正确．故选ABD.答案：ABD12．(2024·茂名模拟)已知0<x<eq\f(1,3)，则x(1－3x)的最大值是________．解析：令f(x)＝x(1－3x)＝－3x2＋x＝－3(x－eq\f(1,6))2＋eq\f(1,12)，其图象为开口朝下，且以x＝eq\f(1,6)为对称轴的抛物线，又因为0<x<eq\f(1,3)，所以当x＝eq\f(1,6)时，f(x)＝x(1－3x)取最大值eq\f(1,12).故答案为eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)13．(2024·茂名二模)已知实数a，b满意lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则a＋b的最小值是________．解析：因为lga＋lgb＝lg(a＋2b)，所以ab＝a＋2b，a>0，b>0，所以eq\f(1,b)＋eq\f(2,a)＝1，故a＋b＝(a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))＝3＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,b)≥3＋2eq\r(2)，当且仅当a＝eq\r(2)b时取等号．故答案为3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)14．(2024·广东模拟)已知正数a，b满意a＋2b＝1，则eq\f(5,a＋1)＋eq\f(1,b)的最小值为________．解析：因为正数a，b满意a＋2b＝1，所以a＋1＋2b＝2，则eq\f(5,a＋1)＋eq\f(1,b)＝eq\f(5,a＋1)＋eq\f(2,2b)＝eq\f(1,2)(eq\f(5,a＋1)＋eq\f(2,2b))(a＋1＋2b)＝eq\f(1,2)(7＋eq\f(10b,