适用于新教材2025版高中数学课时素养检测二十九直线与直线垂直新人教A版必修第二册

PAGE二十九直线与直线垂直(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满意l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故解除A，B，C，选D.2．设P是直线l外肯定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A．有多数条 B．有两条C．至多有两条 D．有一条【解析】选A.如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的全部母线都与l成30°角．3．如图是一个正方体的平面绽开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交 B．平行C．异面而且垂直 D．异面但不垂直【解析】选D.将绽开图还原为正方体，如图所示．4．(多选题)如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中成立的是()A．EF⊥BB1 B．EF⊥BDC．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面【解析】选ABC.连接A1B，因为E，F分别是AB1，BC1的中点，所以EF是△A1BC1的中位线，所以EF∥A1C1，故D错误，ABC正确．二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在正方体ABCD­EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线；以上四个说法中，正确说法的序号是__________.【解析】在①中，直线BM与ED为异面直线，故①不正确．在②中，由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线，故②正确．在③中，由条件可得四边形BCNE为平行四边形，故CN与BE平行，故③不正确．在④中，由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线，故④正确．综上②④正确．答案：②④6．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，所以MN＝5.答案：5三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2024·福鼎高一检测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点P为DD1的中点．(1)证明：直线BD1∥平面PAC；(2)求异面直线BD1与AP所成角的正弦值．【解析】(1)如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，连接PO，因为P是DD1的中点，所以PO∥BD1，又因为PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以直线BD1∥平面PAC.(2)由(1)知：PO∥BD1，所以异面直线BD1与AP所成角即为PO与AP所成角，即∠APO为BD1与AP所成角，因为PA＝PC＝eq\r(5)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)，且PO⊥AC，在直角△APO中，sin∠APO＝eq\f(AO,AP)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)，所以BD1与AP所成角的正弦值为eq\f(\r(10),5).8．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.【解析】连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°，因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AB＝BC＝2eq\r(3)，所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC.因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，所以AC＝2eq\r(3)×sin60°×2＝6，所以AD1＝eq\f(\r(2),2)AC＝3eq\r(2)，所以AA1＝eq\r(ADeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－A1Deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(（3\r(2)）2－（2\r(3)）2)＝eq\r(6).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)1．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成θ角的取值范围是()A．0°<θ<90° B．0°<θ≤90°C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°【解析】选D.如图，连接CD′，则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ＝60°，当P点无限接近D′点时，θ趋近于0°，由于是异面直线，故θ≠0°.2．(2024·包头高一检测)在三棱锥S­ABC中，若SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2eq\r(3)，SA⊥BC，设异面直线SC与AB所成角为α，则cosα＝()A．－eq\f(1,8)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,4)【解析】选B.分别取BC，SB，SA的中点E，F，G，连接AE，SE，EF，EG，FG，因为SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，E为BC的中点，则AE⊥BC，SE⊥BC，且AE＝SE＝eq\r(SB2－BE2)＝2eq\r(3)，因为G为SA的中点，则EG⊥SA，且EG＝eq\r(AE2－AG2)＝3，因为E，F分别为BC，SB的中点，所以EF∥SC且EF＝eq\f(1,2)SC＝2，同理可得FG∥AB且FG＝eq\f(1,2)AB＝2，所以，异面直线SC与AB所成角为∠EFG或其补角，由余弦定理可得cos∠EFG＝eq\f(EF2＋FG2－EG2,2EF·FG)＝eq\f(22＋22－32,2×2×2)＝－eq\f(1,8)，因此，异面直线SC与AB所成角的余弦值为eq\f(1,8).3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)【解析】选C.如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋DDeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(5)，所以OM＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为eq\f(\r(5),5).4．(多选题)一个正方体纸盒绽开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是()A．AB⊥EFB．AB与CM所成的角为60°C．EF与MN是异面直线D．MN∥CD【解析】选AC.把正方体平面绽开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有AC正确．二、填空题(每小题5分，共20分)5．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ.其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________．【解析】结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.答案：60°6．如图，在四面体A­BCD中，AC＝BD＝a，AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．【解析】取BC的中点E，连接EM，EN，因为M，E分别为AB，BC的中点，所以ME∥AC且ME＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(a,2)，同理可得EN∥BD且EN＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(a,2)，所以∠MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角，则∠MEN＝60°或120°.在△MEN中，EM＝EN＝eq\f(a,2).若∠MEN＝60°，则△MEN为等边三角形，此时，MN＝eq\f(a,2)；若∠MEN＝120°，由余弦定理可得MN＝eq\r(EM2＋EN2－2EM·ENcos120°)＝eq\f(\r(3),2)a.综上所述，MN＝eq\f(a,2)或eq\f(\r(3),2)a.答案：eq\f(a,2)或eq\f(\r(3),2)a7．空间中∠A的两边和∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．【解析】因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°.答案：70°或110°8．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________．【解析】如图，取AC的中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C，EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角)，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA是该棱锥的高，且OA⊥AD，OA⊥AC，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O­ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．【解析】(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，所以，四棱锥O­ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，因为(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，所以△DEM为直角三角形，所以tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).10．如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD