2025届高三数学二轮复习大题强化训练10含解析

Page12024届大题强化训练(10)1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cosB，b＝cosA．(1)求证：存在△ABC，使得c＝1；(2)求△ABC面积S的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）eq\f(3\r(,3),16)【解析】(1)因a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝\f(b,sinB)得eq\f(cosB,sinA)＝\f(cosA,sinB)，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B＜π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或eqA＋B＝\f(π,2)，当eqA＋B＝\f(π,2)时，eqC＝\f(π,2)，所以eqc\s\up6(2)＝cos\s\up6(2)A＋cos\s\up6(2)B＝cos\s\up6(2)A＋sin\s\up6(2)A＝1，即c＝1，所以存在△ABC，使得c＝1．(2)①当eqA＋B＝\f(π,2)时，eqS\s\do(△ABC)＝\f(1,2)cosAcosB＝\f(1,2)sinAcosA＝\f(1,4)sin2A≤\f(1,4)；②当A＝B时，eqS\s\do(△ABC)＝\f(1,2)cos\s\up6(2)Asin(π－2A)＝\f(1,2)cos\s\up6(2)Asin2A＝sinAcos\s\up6(3)A，所以eqS\s\up6(2)\s\do(△ABC)＝sin\s\up6(2)Acos\s\up6(6)A＝(1－cos\s\up6(2)A)cos\s\up6(6)A，令eqx＝cos\s\up6(2)A∈(0，1)，则eqS\s\up6(2)\s\do(△ABC)＝f(x)＝(1－x)x\s\up6(3)，所以f′(x)＝eq－x\s\up6(3)＋3(1－x)x\s\up6(2)＝x\s\up6(2)(3－4x)，当eqx∈(0，\f(3,4))时，f′(x)＞0；当eqx∈(\f(3,4)，1)时，f′(x)＜0，所以当eqx＝\f(3,4)时，eqf\s\do(max)(x)＝f(\f(3,4))＝\f(3\s\up6(3),4\s\up6(4))，即当eqcos\s\up6(2)A＝\f(3,4)，A＝\f(π,6)时，eq(S\s\do(△ABC))\s\do(max)＝\f(3\r(,3),16)，又eq\f(3\r(,3),16)＞\f(1,4)，所以△ABC面积的最大值为eq\f(3\r(,3),16)．2.在数列中，已知，，.（1）若，求数列的通项公式；（2）记，若在数列中，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，，得：，运用累加法：，，，，n=1时，也成立，∴；（2）由（1），，由题意，即，化简得：，当时，，即，当时，，即，即；综上，，.3.如图1所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC＝2，AD＝3，CD＝，边AD上一点E满意DE＝1，现将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使平面PBE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）求证：；（2）求平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）取BE中点O，连接AO，CO，CE，因为BC＝2，AD＝3，DE＝1，所以，又因AD//BC，所以AE//BC，所以四边形ABCE是平行四边形，因为所以，所以ABCE为边长为2的菱形，且，所以和都是正三角形，所以PO⊥BE，CO⊥BE，又因，所以BE⊥平面POC，又因为平面POC，所以PC⊥BE．（2）由于平面PBE⊥平面BCDE，且交线为，，所以平面，所以，由（1）知OB、OC、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，，∴，设平面PCE的法向量为，则，令得，由（1）知平面PBE的法向量为，所以平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值为．4.为了有针对性地提高学生体育熬炼的主动性，某中学须要了解性别因素是否对学生体育熬炼的常常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别熬炼不常常常常女生4060男生2080（1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系；（2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生常常参与体育熬炼，求他是男生的概率；（3）为了提高学生体育熬炼的主动性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）可以认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系，理由见解析（2）（3）【解析】（1），故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育熬炼的常常性有关系；（2）设从这200人中随机选择1人，设选到常常熬炼的学生为事务A，选到的学生为男生为事务B，则，则已知选到的学生常常参与体育熬炼，他是男生的概率；（3）设n次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，设，则，所以，解得：，所以，其中，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，故第次传球后球在甲手中的概率为.5.已知，为椭圆的左、右焦点，且A为椭圆上的一点.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.摸索究：是否存在数集D，对于随意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，，证明见解析【解析】（1）由题意知，为椭圆上的一点，且垂直于x轴，则，，所以，即，所以，故椭圆的方程为；（2）方程为，联立抛物线方程，得，整理得，则，则①，设，，，，则，，则，由的坐标为，则，，，，由与同向，与同向，则点在以线段为直径的圆内，则，则，则，即，则，即②，当且仅当，即，总存在使得②成立，且当时，由韦达定理可知的两个根为正数，故使②成立的，从而满意①，故存在数集，对随意时，总存在，使点在线段为直径的圆内．6.已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减；(2)【解析】（1）解：由题意得函数的定义域为，若，则，令，则，而，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）解：若恒成立，则，整理得，