全等三角形的七大模型压轴题训练(二)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型压轴题训练（二）1．已知:AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，点E，F分别在AB和CD(1)如图1，EF过点P，且与AB垂直，求证:PE=PF.(2)如图2，EF过点P，求证:PE=PF.2．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？3．如图,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=α.(1)当α=60°,如图则，∠DPE的度数______________(2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示）(3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证：EC⊥BF4．如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）如图1，求证：∠PAC=∠PBC；（2）如图2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，则=；（3）如图3，若M、N分别是边AC、BC上的点，且∠MPN=∠APB，则线段AM、MN、BN之间有何数量关系，并说明理由．5．如图,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②,当CQ在∠ACB外部时,求证AD-BE=DE；（3）在（1）的条件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．（直接写结果）6．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，点P在射线AC上，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，AN交直线BC于M．（1）如图1．若点P与点C重合，则AM：MN=；MC：AP=（直接写出结果）：（2）如图2，若点P在线段AC上，求证：AP=2MC；（3）如图3，若点P在线段AC的延长线上，完成图形，并直接写出MC：AP=7．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．8．如图1，在正方形中，分别是上的点，且，则有结论成立；如图2，在四边形中，分别是上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．若将中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明9．阅读材料：如图1，中，点，在边上，点在上，，，，延长，交于点，，求证：．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交于(如图2)②小白的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交的延长线于(如图3)经验拓展：等边中，是上一点，连接，为上一点，，过点作交的延长线于点，，若，，求的长(用含，的式子表示)．10．如图1，在中，分别为上一点，且，，.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，将绕顺时针旋转至如图2所示位置（不动），连，取中点，连,为射线上一点，连，求的最小值.11．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连接DF，过点B作BG⊥BC，交FC的延长线于点G，求证：BG＝BE．12．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系．(1)如图，当点在边、上，且时，试说明．(2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”．(3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．全等三角形的七大模型压轴题训练（二）1．已知:AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，点E，F分别在AB和CD(1)如图1，EF过点P，且与AB垂直，求证:PE=PF.(2)如图2，EF过点P，求证:PE=PF.答案:（1）见解析；（2）见解析.分析：（1）过P作PM⊥BC于点M，证明△PBM≌△PBE，△PCM≌△PCF，即可得到PE=PM=PF；（2）在BC上截取BN=BE，连接PN，证明△PBN≌△PBE，△PCN≌△PCF，即可得到PE=PN=PF.【详解】证明：（1）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴∠PFC=90°∵BP平分∠ABC，∴∠PBM=∠PBE，在△PBM和△PBE中∴△PBM≌△PBE（AAS）∴PE=PM同理可证△PCM≌△PCF∴PM=PF∴PE=PF（2）如图所示，在BC上截取BN=BE，连接PN，∵BP平分∠ABC，∴∠PBN=∠PBE，在△PBN和△PBE中∴△PBN≌△PBE（SAS）∴PE=PN，∠PNB=∠PEB∵AB∥CD，∴∠PEB+∠PFC=180°又∵∠PNB+∠PNC=180°，∴∠PNC=∠PFC∵CP平分∠BCD，∴∠PCN=∠PCF，在△PCN和△PCF中∴△PCN≌△PCF（AAS）∴PN=PF，∴PE=PF.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，运用“截长补短”构造辅助线是解题的关键.2．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？答案:（1）CD和BE始终相等，证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解.分析：（1）根据SAS即可判断出△ACD≌△CBE，由该全等三角形的判定定理可以推知CD=BE；（2）易知CE=AD，∠EAB=∠DBC，根据SAS推出△BCD≌△ABE，求出∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可求出答案；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证明AD=DG=CE，然后证明△DGF和△ECF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，∵AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：如图2，根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，，∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即∠CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG为等边三角形，∴AD=DG=CE，∵CE=AD，∴DG=CE在△DGF和△ECF中，，∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；题目属于信息给予题，读懂题目提供的信息，根据所提供的思路寻找条件是完成题目证明的关键，也是解答题目的捷径和最简洁的思路，主要运用三角形全等的判定和全等三角形的性质．3．如图,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=α.(1)当α=60°,如图则，∠DPE的度数______________(2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示）(3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证：EC⊥BF答案:（1）60°；（2）α；（3）证明见解析．分析：（1）由SAS证明△ABE≌△CBD，得到∠AEB=∠CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得∠EPD=∠EBD即可；（2）与（1）同理可求∠DPE=∠DBE，即可得出结论；（3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明△AFB≌△DFK，得到AB=KD，∠ABF=∠DKF，进而得到BC=KD，KD∥AB，再证明∠BDK=∠4，得到△EBC≌△BDK，由全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，即可得出结论．【详解】（1）如图1，设BE和CD相交于M．∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABE=∠CBD．在△ABE和△CBD中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠CDB．在△PME和△BMD中，∵∠PME=∠BMD，∠AEB=∠CDB，∴∠EPD=180°－∠AEB－∠PME=180°－∠CDB－∠BMD=∠MBD=60°；（2）如图2，同理可求∠DPE=∠DBE=α；（3）如图3，延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．∵AF=DF，∠AFB=∠DFK，BF=KF，∴△AFB≌△DFK，∴AB=KD，∠ABF=∠DKF，∴BC=KD，KD∥AB，∴∠BDK+∠ABD=180°，∴∠BDK=180°－∠ABD=180°－（∠2+∠3+∠4+∠5）=180°－[（90°－∠4）+90°]=∠4．在△EBC和△BDK中，∵EB=BD，∠4=∠BDK，BC=DK，∴△EBC≌△BDK，∴∠1=∠2．∵∠2+∠EBK=90°，∴∠1+∠EBK=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目往往求解思路相同，证明三角形全等是解题的关键．4．如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA=PB．（1）如图1，求证：∠PAC=∠PBC；（2）如图2，作PE⊥BC于E，若AC=5，BC=11，则=；（3）如图3，若M、N分别是边AC、BC上的点，且∠MPN=∠APB，则线段AM、MN、BN之间有何数量关系，并说明理由．答案:（1）答案见解析；（2）3：8；（3）AM+MN=BN.分析：试题分析：（1）先利用角平分线定理判断出PE=PF，进而判断出Rt△PAF≌Rt△PEB，即可得出结论；（2）先判断出△PCF≌△PCE，进而得出CF=CE，而Rt△PAF≌Rt△PEB得出AF=BE即可得出AC+CF=BC﹣CE，进而求出CE=CF=3，即可求出结论；（3）先判断出△PMA≌△PQB，进而得出∠APB=∠MPQ，即可判断出△MPN≌△QPC，得出MN=QN即可得出结论．试题解析：解：（1）如图1，过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∵PC平分∠DCB，∴PE=PF，在Rt△PAF和Rt△PEB中，∵PF=PE，PA=PB，∴Rt△PAF≌Rt△PEB，∴∠PAC=∠PBC；（2）如图2，过点P作PF⊥AC于F，∵PE⊥BC，CP是∠BCD的平分线，∴PE=PF，∠PCF=∠PCE，∵PC=PC，∴△PCF≌△PCE，∴CF=CE，由（1）知，Rt△PAF≌Rt△PEB，∴AF=BE，∵AF=AC+CF，BE=BC﹣CE，∴AC+CF=BC﹣CE，∴5+CF=11﹣CE，∴CE=CF=3，∵△PFC≌△PEC，∴S△PFC=S△PEC，∵Rt△PAF≌Rt△PEB，∴S△PAF=S△PEB，∴S△PCE：S△PBE=S△PFC：S△PFA=CF×PF：AC×PF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如图3，在BC上截取BQ=AM，在△PMA和△PQB中，∵PA=PB，∠PAM=∠PBQ，MA=BQ，∴△PMA≌△PQB，∴PM=PQ，∠MPA=QPB，∴∠APM+∠QPB=∠APN+∠MPA，即：∠APB=∠MPQ，∵∠MPN=∠APB，∴∠MPN=∠MPQ，∴∠MPN=∠QPN，在△MPN和△QPC中，∵PN=PN，∠MPN=∠QPN，MP=QP，∴△MPN≌△QPN，∴MN=QN，∴BM=AM+MN．点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ，是一道中等难度的中考常考题．5．如图,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②,当CQ在∠ACB外部时,求证AD-BE=DE；（3）在（1）的条件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．（直接写结果）答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）24【详解】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）如图①，延长DA到F，使DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，∴∠ACF=∠BCE，∵在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）如图②，在AD上截取DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE，∵在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6，∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．【点睛】主要运用了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，点P在射线AC上，连接PB，将线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，AN交直线BC于M．（1）如图1．若点P与点C重合，则AM：MN=；MC：AP=（直接写出结果）：（2）如图2，若点P在线段AC上，求证：AP=2MC；（3）如图3，若点P在线段AC的延长线上，完成图形，并直接写出MC：AP=答案:（1）；（2）详见解析；（3）图见解析，．【详解】试题分析：（1）先求出∠C=∠CBN，再利用“AAS”证明△ACM≌△NBM，根据全等三角形对应边相等可得AM=MN，MC=MB，再求出AP=AC=2MC，然后求解即可；（2）如图2，过点N作NE⊥BC于E，根据同角的余角相等求出∠PBC=∠BNE，然后利用“AAS”证明△PBC≌△BNE，根据全等三角形对应边相等可得BE=PC，NE=BC，然后求出AP=CE，AC=NE，再利用“AAS”证明△ACM≌△NEM，根据全等三角形对应边相等可得MC=ME，整理即可得证；（3）如图3，过点N作NE⊥BC交CB的延长线于E，然后与（2）的求解方法相同．试题解析：（1）解：∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，∴∠CBN=90°，BC=BN，∴∠C=∠CBN，AC=BN，在△ACM和△NBM中，∴△ACM≌△NBM（AAS），∴AM=MN，MC=MB，∴AP=AC=BC=MC+MB=2MC，∴；（2）如图2，过点N作NE⊥BC于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∴CE=2MC，∴AP=2MC；（3）如图3，过点N作NE⊥BC交CB的延长线于E，∴∠BNE+∠CBN=90°，∵线段PB绕点B逆时针旋转90゜得线段BN，∴∠PBC+∠CBN=90°，∴∠PBC=∠BNE，在△PBC和△BNE中，∴△PBC≌△BNE（AAS），∴BE=PC，NE=BC，∴AP=AC-PC=BC-BE=CE，AC=NE，在△ACM和△NEM中，∴△ACM≌△NEM（AAS），∴MC=ME，∵AP=AC+PC，CE=BC+BE=2MC，∴AP=CE=2MC，∴考点：全等三角形的判定及性质．7．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．答案:（1）见解析；（2）成立，证明见解析分析：（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；（2）如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；【详解】（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．∴OC＝OD，OA＝OB在△AOD与△BOC中∴△AOD≌△BOC（SAS）∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°∴OH＝HB＝∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝∵∠OAD＋∠ADO＝90°∴∠ADO＋∠BOH＝90°∴OH⊥AD（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE∵CH＝BH∴四边形BOCE是平行四边形∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE∴∠EBO＋∠COB＝180°∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°∴∠1＝∠COB∵∠AOD＋∠1＝180°∴∠AOD＝∠EBO∴△BEO≌△ODA∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD∴OH＝AD∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°∴OH⊥AD【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.8．如图1，在正方形中，分别是上的点，且，则有结论成立；如图2，在四边形中，分别是上的点，且是的一半，那么结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．若将中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明答案:（1）详见解析；（2）结论不成立，应为证明详见解析分析：（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据角的和差，然后根据三角形全等的判定定理与性质、线段的和差即可得；（2）先根据角的和差、邻补角的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据角的和差倍分得出，最后根据三角形全等的判定定理与性质、线段的和差即可得．【详解】（1）仍成立，证明如下：延长到，使，连接，，即，即；（2）结论不成立，应为，证明如下：在上截取，使，连接，，即．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角的和差倍分等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．9．阅读材料：如图1，中，点，在边上，点在上，，，，延长，交于点，，求证：．分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．①小明的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交于(如图2)②小白的想法是：将放到中，沿等腰的对称轴进行翻折，即作交的延长线于(如图3)经验拓展：等边中，是上一点，连接，为上一点，，过点作交的延长线于点，，若，，求的长(用含，的式子表示)．答案:①证明见解析；②证明见解析；[经验拓展]．分析：阅读材料：①先根据三角形全等的判定定理得出，再根据三角形全等的性质可得，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等量代换即可得证；②先根据三角形全等的判定定理得出，再根据三角形全等的性质可得，又根据角的和差、等腰三角形的性质得出两组相等的角，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，即得证；经验拓展：先根据等腰三角形的性质、邻补角的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，设，根据等腰三角形的性质、等边三角形的性质分别求出，然后根据角的和差可得，最后根据等腰三角形的判定与性质得出，从而根据线段的和差即可得出答案．【详解】阅读材料：①小明做法：作交于，则，，即；②小白做法：作交的延长线于，，即，即；经验拓展：延长至点，使得，连接是等边三角形，设是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．如图1，在中，分别为上一点，且，，.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，将绕顺时针旋转至如图2所示位置（不动），连，取中点，连,为射线上一点，连，求的最小值.答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）分析：（1）由可得，由可得，可证（2）延长至，使，连，在上截取，连，可证：可得，可证：可得，故即可证（3）延长至使，连，，延长，交于，交于可证：，故，，，由（2）知，由于故可得故，故.故可证，可得，可证为正三角形，故，由于故即可求出的最小值.【详解】（1）证明：又（2）证明：延长至，使，连，在上截取，连.∵BD=CD,∠BDF=∠CDS∴∵∠TCD=∠EBC∴∠TCD=∠DCS∵TC=SC,CD=CD∴.∴（3）解：延长至使，连，，延长，交于，交于∵M是AC的中点∴AM=MC∵∠CME=∠SMA,EM=MS∴，，，，由（2）知.在和中为正三角形，的最小值为【点睛】本题考查了三角形全等、等边三角形以及直角三角形斜边上中线等性质和判定，掌握三角形全等及辅助线的做法是解题的关键11．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是BC上一点，连接AE（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EH⊥AB于H，△EHB的周长为10m，求AB的长；（2）如图2，延长BC至D，使DC＝BC，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得线段AF，连