热点09相似三角形(原卷版+解析)

热点09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性质及判定三角形相似的证明及计算相似三角形与四边形、圆的综合运用相似三角形与函数的综合运用满分技巧满分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【注意】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。位似（1）位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（2）位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.基础训练基础训练A卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），点、分别为、的中点，则（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．4．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（）A． B． C． D．5．(2023·湖南永州·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（

）A． B．25 C．35 D．636．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（

）A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C． D．7．（2015·湖南株洲·统考中考真题）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(

)A． B． C． D．二、填空题8．(2023·湖南娄底·中考真题）若，则________．9．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．10．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．11．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）12．(2023·湖南郴州·统考中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．13．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：_____．14．(2023·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．15．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____．16．(2023·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．三、解答题17．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．（1）求n的值；（2）求反比例函数的解析式．18．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．（1）求证：CD是的切线；（2）求AD的长.19．(2023·湖南永州·中考真题）如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．20．(2023·湖南湘西·中考真题）如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径的长．21．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．①求证：；②设与相交于点P，求证：．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南永州·中考真题）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．(2023·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（）A． B． C． D．3．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（

）A．20 B．22 C．24 D．264．(2023·湖南湘西·统考中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或5．（2015·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④6．（2017·湖南长沙·中考真题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（）A． B．C．D．随点位置的变化而变化二、填空题7．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.8．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．9．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．11．（2011·湖南益阳·中考真题）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．12．(2023·湖南岳阳·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②扇形OBC的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．三、解答题13．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．（1）求过点的反比例函数的解析式；（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．14．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．（1）求证：与相切；（2）若，求的长；（3）请用线段、表示的长，并说明理由．15．(2023·湖南怀化·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．16．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，点A在以为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N．（1）求证：与⊙相切；（2）试给出之间的数量关系，并予以证明．17．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．18．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．（1）如图1，若，则线段与的数量关系是________，________；（2）如图2，在（1）的条件下，过点作交于点，连接，．①试判断四边形的形状，并说明理由；②求证：；如图3，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．20．(2023·湖南长沙·统考中考真题）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个大小不同的正方形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．

（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．热点09相似三角形考察方向考察方向中考中，相似三角形主要考察相似三角形的基本概念、性质及判定三角形相似的证明及计算相似三角形与四边形、圆的综合运用相似三角形与函数的综合运用满分技巧满分技巧相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.【注意】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【注意】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。位似（1）位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．（2）位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；

（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.基础训练基础训练A卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）在中（如图），点、分别为、的中点，则（

）A． B． C． D．答案:D分析：证出是的中位线，由三角形中位线定理得出，，证出，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【详解】解：点、分别为、的中点，是的中位线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．2．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（

）A． B． C． D．答案:C分析：由题意易得，，则有，然后可得，然后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．(2023·湖南衡阳·统考中考真题）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．答案:B分析：设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴

∴，即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选：B．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4．(2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（）A． B． C． D．答案:D分析：由题意易得，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵是的中点，∴，即，∵，∴，∵四边形是菱形，∴；故选D．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键．5．(2023·湖南永州·中考真题）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（

）A． B．25 C．35 D．63答案:B分析：在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．【详解】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．6．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（

）A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C． D．答案:C分析：直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，，∴C选项错误，符合题意．故选C．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．7．（2015·湖南株洲·统考中考真题）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(

)A． B． C． D．答案:C分析：易证，根据相似三角形的性质可得=,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴，∴=,=，∴+=+==1.∵AB=1，CD=3，∴+=1，∴EF=．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．二、填空题8．(2023·湖南娄底·中考真题）若，则________．答案:分析：根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．【详解】由可得，，代入．故答案为．【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．9．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．答案:∠ADE=∠B（答案不唯一）．分析：已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．10．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．答案:8分析：根据三角形中位线定理求得DE∥BC，，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．11．(2023·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）答案:分析：根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．【详解】解：根据题意，添加条件，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．(2023·湖南郴州·统考中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在，间加绑一条安全绳（线段），量得，则________．答案:1.2分析：根据平行线分线段成比例定理，可得，进而即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，∴3，故答案是：1.2．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关键．13．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：_____．答案:△ADF∽△ECF【详解】分析：利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF，故答案为△ADF∽△ECF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.14．(2023·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到．已知，则点的坐标是__________．答案:．分析：直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．【详解】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：，即A1．故答案为：．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．15．(2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____．答案:．分析：由三角形的重心定理得出BF=2EF，得出BE=3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出，即可得出结果．【详解】∵点F是△ABC的重心，∴BF＝2EF，∴BE＝3EF，∵FG∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴，（）2，∴S1：S2；故答案为．【点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键．16．(2023·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．答案:．分析：如图，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论.【详解】如图，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12-x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴x=，故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．三、解答题17．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．（1）求n的值；（2）求反比例函数的解析式．答案:（1）1；（2）．分析：（1）将A的坐标为代入,然后根据三角形的面积即可求出n的值；（2）过点B作BQ⊥x轴于点Q，利用△BOQ∽△OAH求出QO的值，再表示出B点坐标，进而求出k2，即可求得y2的解析式．【详解】解：（1）∵A，且轴∴AH=，OH=n又∵的面积为．∴,即解得，；（2）如图：过点B作BQ⊥x轴于点Q，∵轴，∴BQ=AH=，又OH=1，则AO=2∵，∴∠AOH+∠BOQ=90°，又∠AOH+∠OAH=90°，∴∠OAH=∠BOQ，又∵∠OHA=∠BQO=90°，∴∴，即∴QO=3∵B位于第二象限∴B点的坐标为（-3，）∵B在反比例函数的图象上，∴∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及求反比例函数解析式，求出B(-3,)是解答此题的关键．18．(2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．（1）求证：CD是的切线；（2）求AD的长.答案:（1）证明见解析；（2）．分析：（1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．【详解】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAO，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）如图，连接BC，OE，∵E是BC的中点，，∴，∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，则，∴．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．19．(2023·湖南永州·中考真题）如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．答案:（1）见解析；（2）分析：（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，可得，即，即可证明是的切线；（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵是的直径，∴，则，∵是斜边上的中线，∴，∴，∵与相切，∴，即，∴，即，∴，∴是的切线；（2）连接OE，∵，∴，∴，即，∴，∵是的中位线，∴．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键．20．(2023·湖南湘西·中考真题）如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径的长．答案:（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长为4分析：（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABERt△CAE，利用对应边成比例即可求解．【详解】（1）连接AE，OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AC是圆⊙O的切线，∴AC⊥AB，在直角△AEC中，∵D为AC的中点，∴DE=DC=DA，∴∠DEA=∠DAE，∵OE=OA，∴∠OEA=∠OAE，∵∠DAE+∠OAE=90°，∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，∴OE⊥DE，∴DE

是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ACE中，CA=6，CE=3.6=，∴AE=，∴∠B+∠EAB=90°，∵∠CAE+∠EAB=90°，∴∠B=∠CAE，∴Rt△ABERt△CAE，∴，即，∴，∴⊙O的半径OA=．【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在中，，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接．（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、、、、得如图．①求证：；②设与相交于点P，求证：．答案:(1)见解析；(2)①见解析，②见解析．分析：（1）先用，且证明出四边形ATBN是平行四边形，得到△TAD≌△CND，用对应边相等与等量代换，从而得出结论．（2）①连接AM、MN，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出△OCM是直角三角形，证明出Rt△OAT≌Rt△OCM，得到对应角相等，则得到答案；②连接OP，由①中，得到∠OTM=∠OAP，点O、T、A、P共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出∠OPT=90︒，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论．【详解】证明：（1）∵，且∴，且，∴四边形ATBN是平行四边形，∴，∴∠DTA=∠DCN，∵∠ADT=∠NDC，∵点D为AN的中点，∴AD=ND，∴△TAD≌△CND（AAS）∴TA=CN，∵，∴BN=CN，（2）①如图所示，连接AM、MN，∵点N关于边的对称点为M，∴△ANC≌△AMC，∴∠ACN=∠ACM，∵AB=AC，点N为AC的中点，∴平行四边形ATBN是矩形，∴∠TAB=∠ABN=∠ACN=∠ACM，∠BAN=∠MAC=∠CAN，AT=BN=NC=MC，∵OA=OC，∴∠CAN=∠ACO，∴∠TAB+∠BAN=∠ACM+∠ACO=90︒，∴∠OAT=∠OCM=90︒，在Rt△OAT和Rt△OCM中，∵AT=CM，∠OAT=∠OCM，OA=OC，∴Rt△OAT≌Rt△OCM（SAS），∴∠AOT=∠COM，OT=OM，∴∠AOT+∠AOM=∠COM+∠AOM，∴∠TOM=∠AOC∵OA=OC，OT=OM，∵，∴；②如图所示，连接OP，∵，∴∠OTM=∠OAP，∴点O、T、A、P共圆，∵∠OAT=90︒，∴OT为圆的直径，∴∠OPT=90︒，∵OT=OM，∴点P为TM的中点，∵由（1）得△TAD≌△CND，∴TD=CD，∴点D为TC的中点，∴DP为△TCM的中位线，∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直角三角形全等，再证明三角形相似．难点突破难点突破B卷（建议用时：60分钟）一、单选题1．(2023·湖南永州·中考真题）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8答案:B分析：证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD＝2，BD＝6，∴BA＝8，∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC>0，∴AC=4，故选B．2．(2023·湖南郴州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接．已知，则（）A． B． C． D．答案:B分析：分别作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E，F，证明△AOE∽△OBF得到，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案．【详解】解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，则∠AEO=∠BFO=90°，∴∠AOE+∠OAE=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BOF+∠AOE=90°，∴∠OAE=∠BOF，∴△AOE∽△OBF，∴，即，∴∵，，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、三角形的面积，利用相似三角形的判定与性质表示出是解题的关键．3．(2023·湖南常德·统考中考真题）如图，在等腰三角形中，，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，的面积为42，则四边形DBCE的面积是（

）A．20 B．22 C．24 D．26答案:D分析：利用得到，所以则，解得，从而得到，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【详解】如图，根据题意得，∴设，则，∴，解得，∴，∴四边形DBCE的面积．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．4．(2023·湖南湘西·统考中考真题）已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或答案:C分析：由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可．【详解】解：由题意得：当时，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∴；当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：∴，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，解得：，∴当时，则；当时，则，∴或；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．5．（2015·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE，对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④答案:D【详解】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴和不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故答案为①②④．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．6．（2017·湖南长沙·中考真题）如图，将正方形折叠，使顶点与边上的一点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为（）A． B．C．D．随点位置的变化而变化答案:B【详解】试题分析：设正方形ABCD的边长为2a，正方形的周长为m=8a，设CM=x，DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，∵∠EMG=90°，∴∠DME+∠CMG=90°．∵∠DME+∠DEM=90°，∴∠DEM=∠CMG，又∵∠D=∠C=90°△DEM∽△CMG，∴,即∴CG=△CMG的周长为CM+CG+MG=在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2即（2a-x）2+y2=（2a-y）2整理得4ax-x2=4ay∴CM+MG+CG==n．所以故选B．考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理二、填空题7．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.答案:6【详解】分析：由等腰三角形的性质可得∠C＝∠ABC，BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得.【详解】∵AB=AC，∴∠C＝∠ABC，又∵AD⊥BC于D点，∴BD=DC=BC，又DE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED=∠CFB=90°，∴△BED∽△CFB，∴DE：BF=BD：BC=1：2，∴BF=2DE=2×3=6cm，故答案为6.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题的关键.8．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．答案:①②③分析：依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明，可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时.【详解】∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到∴，∴即∴∵得：（SAS）故①对∵和是顶角相等的等腰三角形∴故②对∴即AD最小时最小当时，AD最小由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点故③对故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键.9．(2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，中，，将绕A点顺时针方向旋转角得到，连接，，则与的面积之比等于_______．答案:分析：先根据正切三角函数的定义可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：在中，，，由旋转的性质得：，，在和中，，，，即与的面积之比等于，故答案为：．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．(2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．答案:②④⑤分析：①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论；②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论；⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果．【详解】解:①∵DE是的垂直平分线∴为的直径，为的弦．故①不正确．②∵DE是的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正确．③连接OD的长为．故③错误．④∵DE⊥AB，F是的切线∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正确．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分线，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽Rt△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正确．综上所述：正确的有②④⑤．故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键11．（2011·湖南益阳·中考真题）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．答案:【详解】∵正六角星形A2F2B2D2C2E2边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，∴正六角星形A2F2B2D2C2E2面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．同理∵正六角星形A4F4B4D4C4E4边长是正六角星形A1F1B1D1C1E边长的，∴正六角星形A4F4B4D4C4E4面积是正六角星形A1F1B1D1C1E面积的．12．(2023·湖南岳阳·中考真题）如图，以AB为直径的⊙O与CE相切于点C，CE交AB的延长线于点E，直径AB＝18，∠A＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②扇形OBC的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．答案:①③④．分析：利用垂径定理对①进行判断；利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=60°，则利用扇形的面积公式可计算出扇形OBC的面积，于是可对②进行判断；利用切线的性质得到OC⊥CE，然后根据相似三角形的判定方法对③进行判断；由于AP•OP=-(OP-)2+，则可利用二次函数的性质对④进行判断．【详解】∵弦CD⊥AB，AB是直径，∴，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面积=，所以②错误；∵⊙O与CE相切于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正确；∵AP•OP=(9-OP)•OP=-(OP-)2+，当OP=时，AP•OP的最大值为=20.25，所以④正确，故答案为①③④．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件，熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.三、解答题13．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点的坐标为．（1）求过点的反比例函数的解析式；（2）连接，过点作交轴于点，求直线的解析式．答案:（1）反比例函数解析式为；（2）直线的解析式为．分析：（1）由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可．【详解】过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图，，，∵四边形OABC是菱形，，轴，，，，设过B点的反比例函数解析式为把B点坐标代入得，k=32,所以，反比例函数解析式为；（2），，，，，又，，，，解得，，设BD所在直线解析式为，把，分别代入，得：解得，∴直线的解析式为．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．14．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线，垂足为E．（1）求证：与相切；（2）若，求的长；（3）请用线段、表示的长，并说明理由．答案:（1）详见解析；（2）；（3），理由详见解析分析：（1）连，据题意得，根据平分线的性质，得，证明，再根据可得结果；（2）根据为的直径可得，证出，得到，代入数值求解即可；（3）由得，根据，得到，，联立即可得到结果；【详解】解：（1）连，据题意得，，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∴与相切．（2）为的直径可得：，据（1）且，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．（3）．由得，∵，∴，，，由得，∴．【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键．15．(2023·湖南怀化·中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：．答案:(1)见解析；(2)见解析．分析：(1)连接OC，∠CAD=∠D=30°，由OC=OA，进而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明；(2)证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE=CG，CF=CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【详解】解：(1)连接OC，如下图所示：∵CA=CD，且∠D=30°，∴∠CAD=∠D=30°，∵OA=OC，∴∠CAD=∠ACO=30°，∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)连接BC，如下图所示：∵∠COB=60°，且OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∠CBG=60°，又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，又∠GCD=60°，∴CB是∠GCD的角平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF=BG，又BC=BC，∴△BCG≌△BCF，∴CF=CG.∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，∴∠EAD=60°，又∠CAD=30°，∴AC是∠EAG的角平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB∴CE=CG，∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即，又，∴．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键.16．(2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，点A在以为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N．（1）求证：与⊙相切；（2）试给出之间的数量关系，并予以证明．答案:（1）见详解；（2）．分析：（1）根据直径所对的圆周角为90°，，以及是的角平分线，推导出各个角度之间的关系，等量代换即可证出；（2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出为等腰三角形，再根据以及（1）中的，进一步通过推导角度关系得到，为等腰三角形，再根据子母型相似得到∽，最终根据相似三角形的性质即可得出．【详解】（1）如图所示，∵,是的角平分线，∴，，又∵为直径，∴，∴,∴，即与⊙相切．（2）∵，∴，∴,∴，∴为等腰三角形，又∵，∴，∴，又∵，且由（1）可得，，∴，即，∴为等腰三角形，在和中，，∴∽，∴，∴，又∵，故：．【点睛】本题考查了圆的综合应用，切线的证明，等腰三角形的性质，直角三角形的性质及判定以及相似三角形的性质及判定等知识点，综合运用以上性质定理是解题的关键．17．(2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．答案:(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3)或或或．分析：（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：…①；(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，，∵，故有最大值，当时，其最大值为；(3)∵，∴，∵，故与相似时，分为两种情况：①当时，，，，过点A作AH⊥BC与点H，，解得：，∴CH＝则，则直线OQ的表达式为：…②，联立①②并解得：，故点或；②时，，则直线OQ的表达式为：…③，联立①③并解得：，故点或；综上，点或或或．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．18．(2023·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．（1）求抛物线的对称轴．（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．①求抛物线的解析式．②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧