高中数学第三章三角恒等变换阶段提升课第四课三角恒等变换课件新人教A版必修4

阶段提升课第四章三角恒等变换

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题组训练一三角函数式求值

1.求值:【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,约去非特殊角,得到结果.【解析】原式2.(1)设α为锐角,若求的值.(2)已知0<β<<α<π,且

求cos(α+β)的值.【解析】(1)因为α为锐角且所以

所以(2)因为0<β<<α<π,所以

所以

所以

所以

3.已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先将条件式3sinβ=sin(2α+β)展开后求α+β的正切值.3.已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先将条件式3sinβ=sin(2α+β)展开后求α+β的正切值.【解析】因为3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),整理得2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.即tan(α+β)=2tanα.又4tan=1-tan2,所以tanα=tan(α+β)=2tanα=2×=1.又0<α<,0<β<,所以α+β∈所以α+β=.【方法技巧】三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,一般用已知角表示所求角.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再根据角的范围,确定角.【补偿训练】1.的值为 (

)

【解析】选B.原式=

2.已知求的值.【解析】因为

所以又因为所以

题组训练二三角函数式化简

1.化简:-2cos(α+β)=__________.

【解析】原式=

答案:

题组训练二三角函数式化简

1.化简:-2cos(α+β)=__________.

【解析】原式=

答案:

2.化简:【解析】原式=【方法技巧】三角函数式的化简,主要有以下几类:(1)对三角函数的和式,基本思路是降幂、消项和逆用公式;(2)对三角函数的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成整式或较简式子;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段,以实现三角函数式的化简.【补偿训练】已知sin(3π+θ)=,求的值.【解析】因为sin(3π+θ)=-sinθ=,所以sinθ=-,原式=

题组训练三三角恒等式的证明

证明:【证明】方法一:

方法二:【方法技巧】三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明,要认真分析等式两边三角函数式的特点,找出差异,化异角为同角,化异次为同次,化异名为同名,寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明,要认真观察条件式与被证式的区别与联系,灵活使用条件等式,通过代入法、消元法等方法进行证明.

【补偿训练】证明:【证明】方法一:左边==tanθ=右边.方法二:左边==右边.

方法三:左边=

==tanθ=右边.

题组训练四三角恒等变换的综合应用

1.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3,tan2B=tanA·tanC,则B=________.

【解析】tanB=-tan(A+C)=

所以tan3B=3,所以tanB=,又因为B为三角形的内角,所以B=.答案:

2.设函数f(x)=sin2x+cos.(1)求函数f(x)的最大值及此时x的取值集合.(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,已知cosB=,f=-,且C为锐角,求sinA的值.【解析】(1)因为f(x)=

所以当sin2x=-1时,f(x)max=,此时2x=2kπ-(k∈Z),x=kπ-(k∈Z),所以x的取值集合为(2)因为所以sinC=,因为C为锐角,所以C=.由cosB=,得

所以

【方法技巧】利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤(1)运用和、差、倍角公式化简.(2)统一把f(x)化成f(x)=asinωx+bcosωx+k的形式.(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.

【补偿训练】设平面向量b=(cosx,-1),函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的单调递增区间.(2)若锐角α满足求cos的值.【解析】(1)由题意得f(x)=a·b=sinx·cosx+-cos2x=sin2x-cos2x=sin所以f(x)的最小正周期为π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由(1)可得因为α为锐角，所以所以所以

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2.(1)设α为锐角,若求的值.(2)已知0<β<<α<π,且

求cos(α+β)的值.(2)因为0<β<<α<π,所以

所以

所以

【解析】因为3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),整