10 立体几何（基础卷）（解析版）

2025年普通高等学校对口招生考试数学二轮复习单元专项卷第九章立体几何（基础卷）选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小.【详解】由于在正方体中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面,故，所以直线与直线所成角为，故选：A

2．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；设正方体棱长为2，易知，，，在中，满足，即，因此，所以.故选：B3．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（

）①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确；因，过直线b作平面，如图，则有，又，，于是得，从而得，④正确，∴给定命题正确的是③④.故选：D.4．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.【详解】由题意设底面半径为，母线为，圆柱的侧面积为.故选：C.5．设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，C．若，，则 D．若，，，则【答案】D【分析】依据线面垂直判定定理去判断各个选项即可解决.【详解】选项A：若，，则或或相交.判断错误；选项B：若，，则或或相交.判断错误；选项C：若，，则或或相交.判断错误；选项D：若，，则，又，则.判断正确.故选：D6．对于平面和两条直线，下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若与所成的角相等，则C．若，，则 D．若，，n在平面α外，则【答案】D【分析】根据空间线、面的位置关系即可判断A,B,C,利用线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若与所成的角相等，则相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，则相交、平行或异面，故C错误；对于D，若，，n在平面α外，则由线面平行的判定定理得，故D正确.故选:D.7．已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥底面的半径为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】设圆锥的底面圆半径为，母线为，根据圆的面积公式求出l，进而求出扇形的弧长，结合圆的周长公式计算即可求解.【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线为，则，解得，所以侧面展开图扇形的弧长为，有，解得，即圆锥的底面圆半径为1.故选：A8．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】借助正方体模型，通过空间想象即可判断.【详解】若，则，又，则.反之，如图，在正方体中，记平面为，平面为，分别为直线，则满足，，但不平行，所以是的充分不必要条件.故选：A.9．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项.【详解】,故选:A10．若某圆锥的母线与底面所成的角为，且其母线长为4，则该圆锥的体积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知圆锥的高与底面半径相等，再由母线长可求出高和底面半径，从而可求出圆锥的体积.【详解】因为该圆锥的母线与底面所成的角为,且其母线长为4，所以该圆锥的高与底面半径相等,且都等于,所以该圆锥的体积,故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为.【答案】【分析】利用圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】因为圆锥的母线长为，底面半径为，所以圆锥的侧面积为.故答案为：.12．在正方体中，与平面所成角的大小为.【答案】【分析】找到即为与平面所成角，求出大小.【详解】由于⊥平面，故即为与平面所成角，因为，所以，故与平面所成角为.故答案为：13．若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是.【答案】【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.【详解】这个圆柱的体积.故答案为：.14．已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为．【答案】/【分析】应用棱锥的体积公式求体积即可.【详解】由正三棱锥性质知：底面是边长为2的等边三角形，故底面积为，又三棱锥的高为1，故体积为.故答案为：15．已知球的表面积为，则该球的体积为．【答案】【分析】根据球体表面积计算公式求出球体半径，再根据球体体积计算公式求出球体体积即可.【详解】设球体的半径为，根据已知有：，解得，所以球体体积为：.故答案为：.三、解答题（本大题共7小题，满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.（1）求证：平面⊥平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明PC⊥平面ABC即可得到结论；（2）取BC的中点为O，连接MO，证明四边形PMOC为平正方形，则有，可求得结果.【详解】（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.（2）取BC的中点为O，连接MO，PM∥BC，又PM=BC=CO，∴四边形PMOC为平行四边形，∴PC∥MO，∵PC⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，∠AMO为AM与PC所成的角，即∠AMO=，∵AC=CO=1，∠ACO=，∴AO=，∴OM=1，则四边形PMOC为正方形，.【点睛】本题考查面面垂直的证明和求三棱锥的体积，其中求三棱锥体积经常运用切换顶点求体积，属中档题.17．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）如图，连接交于点，再连接,在中，为中点，为的中，所以,且平面，平面,所以平面.（2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于，所以点到平面的距离等于，根据等体积法可知.18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.(1)求三棱锥的体积；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.【详解】（1）平面，四边形为矩形，，.（2）证明：平面，，又，且点是的中点，，又，，，平面，又平面，，由，，，平面，平面，.19．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；(2)求证：平面．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分别求三棱柱每个面的面积相加即可；（2）利用线面平行的判定定理证明即可.【详解】（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，所以侧面，，均为矩形．因为，所以底面，均为直角三角形．因为，，所以．所以三棱柱的表面积为．（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点．因为为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．

20．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.【答案】(1)证明过程见解析；(2)【分析】（1）由中位线证明线线平行，从而线面平行；（2）得出该三棱锥为正四面体，求出边长为2的等边三角形的面积，再乘以4即可【详解】（1）因为E，F分别是AB，AP的中点，所以EF是三角形ABP的中位线，所以EF//PB，因为平面，平面，所以平面.（2）若三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为21．如图，在正方体中，，求：(1)异面直线与所成角的大小；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案；（2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为.【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角，因为，由勾股定理得，，故，所以；（2）连接交于，则，因为⊥平面，平面，所以，又因为，，平面，所以面，所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为.22．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，M，N分别是PA，PB的中点，求证：(1)平面ABCD；(2