新高考数学复习真题分类4-1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换练习含答案

专题四三角函数与解三角形4.1三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换考点1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD2OA.当OA=2,∠AOB=60°时,s=(A.11−3答案B连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=3,CD=2-3,∴s=2+(2−3)222.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ答案B本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以S△PAB=12·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=12·2β·22-12·4sinβ·2cosβ=4β-4sincosβ.故阴影部分的面积为S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故选B.思路分析本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,则()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0答案C由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正确;α取π3时,cos2α=2cos2α-1=2×122-1=-12<0,D评析本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=()A.45B.35C.-3答案D由三角函数的定义知cosα=−4(−4)5.(2015福建文,6,5分)若sinα=-513,且α为第四象限角,则tanα的值等于A.125B.-125C.5答案D∵sinα=-513,α为第四象限角∴cosα=1−sin2α=1213,∴tanα=6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.又∵c=tan35°=sin35°cos35°>sin35°=cos7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=102,则tanA.43B.34C.-3答案C(sinα+2cosα)2=52,展开得3cos2α+4sinαcosα=32,再由二倍角公式得32cos2α+2sin2α=0,故tan2α=sin2αcos2α=-评析本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=513,则cosA.-1213B.-513C.5答案A∵α是第二象限角,∴cosα<0.∴cosα=-1−sin2α评析本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.9.(2013广东文,4,5分)已知sin5π2+α=15A.-25B.-15C.1答案C∵sin5π2+α=sinπ2+α=cos10.(2023北京,13,5分,易)已知命题p:若α,β为第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=,β=.

答案13π6;π解析第一象限角的集合是θ2kπ<θ<π2+2kπ,k∈Z,函数y=tanx的单调递增区间是kπ-π2,kπ+π2(k∈Z),取α=13π6,β=π3即可符合题意.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-255,则y=答案-8解析P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sinθ=y16+y2,又sinθ=-255,∴y评析本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得y16+y212.(2023全国乙文，14）若，则________．【答案】【解析】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以.13.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ=答案1解析本题考查三角函数的诱导公式.由角α与角β的终边关于y轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=114.(2016四川文,11,5分)sin750°=.

答案1解析sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=12解后反思利用诱导公式把大角化为小角.评析本题考查了三角函数的诱导公式.15.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tanθ+π4=12,则sinθ+cos答案-10解析tanθ=tanθ+π4−π∴sinθ=-13cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得109cos2θ=1,∴cos2θ=910,又易知cosθ<0,∴cosθ=-31010,∴sinθ=1010,故sin考点2三角恒等变换1.（2023课标II，7）已知为锐角，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．2.（2023课标I，8）已知，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，而，因此，则，所以.故选：B3.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12A.1答案D解析解法一:cos2π12解法二:cos2π=cos=2=6=6+4.(2021全国甲理,9,5分)若α∈0,π2,tan2α=cosα2−sinα,则tanαA.15答案A解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan2α=cosα2−sinα,且α∴sin2α∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=14,∴cosα=154,∴tanα=1515.疑难突破将tan2α转化为sin2αcos25.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)sinA.-6答案Csinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθ·6.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1答案C因为sin(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,22cosα+π4sinβ=(2cosα-2sinα)sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)7.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sinα=13,则cosA.89B.C.-79D.-答案B本题考查三角恒等变换.由sinα=13,得cos2α=1-2sin2α=1-2×132=1-29=8.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sinA.-79B.-29C.2答案A∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=432=169,∴sin解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα进行转换.9.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cosA.-14B.14C.-1答案D本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos2x-1=2×34210.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tanα=34,则cos2α+2sinA.6425B.4825答案A当tanα=34时,原式=cos2α+4sinαcosα=cos2α+4sinαcosαsi解后反思将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tanα的式子,这是解决本题的关键.评析本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..11.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cosA.-45B.-15C.1答案D解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=co=1−tan2θ解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=±1因而cos2θ=1-2sin2θ=45评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.12.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-1答案D原式=sin20°cos10°+cos20°@sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选13.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tanπ5,则cosA.1B.2C.3D.4答案Ccosα−3π10sinα−π∵tanα=2tanπ5,∴cosα−3π14.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanA.17B.16C.5答案Atanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)−tanα15.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2αA.16B.13C.1答案Acos2α+π4=1+cos2α+π22=1−sin2α2,评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.16.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ4−α=35,A.725B.15C.-1答案D∵cosπ4−α∴sin2α=cosπ2−=2cos2π4−α-1=2×352思路分析利用诱导公式化sin2α=cosπ2−2一题多解cosπ4−α=22(cosα+sinα)=35⇒cosα+sinα=32∴sin2α=-725.故选导师点睛求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.17.(2022浙江,13,6分)若3sinα-sinβ=10,α+β=π2,则sinα=,cos2β=答案3解析设a=sinα,b=sinβ=cosα,则3a−b=10,a2+b2=1,解得a=310cos2β=1-2sin2β=1-2b2=4518.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.

答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+π19.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tanα−5π4=15,则答案3解析本题主要考查两角差的正切公式.tanα−5π4=tanα解得tanα=3220.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,则tan答案-4解析解法一:∵sinθ+π4=22×(sinθ+cos∴sinθ+cosθ=32∴2sinθcosθ=-725∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinθ由①②得sinθ=-210,cosθ=7210,∴tan∴tanθ−π4=tan解法二:∵θ+π4+π∴sinθ+π4=cosπ又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∴cosθ+π4=45,∴sin∴tanπ4−θ=sin∴tanθ−π4=-tanπ评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.21.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=答案2解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ422.(2015江苏