新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题一概率与函数综合问题练习含答案

微专题一概率与函数综合问题1.(2024湖南邵阳第二次联考,16)为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为18,答对两道题的概率为P,求概率P的最小值附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解析(1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,∴a=0.02.样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.(2)∵μ=69,σ=10.5,∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈1−0.95452=0.02275∴能参加复试的人数约为40000×0.02275=910.(3)由题意有x2y=18答对两道题的概率P=x2(1-y)+C21x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+14令f(x)=x2+14x-38(0<x≤1),则f'(x)=2x-1∴当x∈0,12时,f'(x)<0,f(x)在0,当x∈12,1时,f'(x)>0,f(x)在1∴当x=12时,f(x)min=38.故概率P的最小值为2.(2024湖北武汉汉阳部分学校一模,17)某校为了丰富课余活动,同时训练学生的逻辑思维能力,在高中三个年级举办中国象棋比赛,经过各年级初赛,高一、高二、高三分别有3人,4人,5人进入决赛,决赛采取单循环方式,即每名队员与其他队员都要进行1场比赛(每场比赛都采取5局3胜制,初赛、决赛的赛制相同,记分方式相同),最后根据积分选出冠军,积分规则如下:比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分,失败的队员积0分;而在比赛中以3∶2取胜的队员积2分,失败的队员积1分.(1)从进入决赛的12人中随机抽取2人进行表演赛,这2人恰好来自不同年级的概率是多少?(2)初赛时,高三甲、乙两同学对局,设每局比赛甲取胜的概率均为p(0<p<1),记甲以3∶1取胜的概率为f(p),当f(p)最大时,甲处于最佳竞技状态.在决赛阶段甲、乙对局,而且甲的竞技状态最佳,求甲所得积分X的分布列及期望.解析(1)由题意可知这2人恰好来自不同年级的概率是P=C31C(2)由题意可知f(p)=C32p2(1-p)p=3p3-3p4,(提示:以3∶1取胜需满足前3局胜2局,第4所以f'(p)=3p2(3-4p),显然34<p<1时,f'(p)<0,即f(p)单调递减0<p<34时,f'(p)>0,即f(p)单调递增则p=34时,f(p)取得最大值由题意可知X的可能取值为3,2,1,0,则P(X=3)=343+C32342P(X=2)=C42×342×1−3P(X=1)=C42×342×1−3P(X=0)=1−343+C31×34×则X的分布列为X0123P132781189所以E(X)=0×13256+1×27512+2×81512+3×1893.(2024浙江杭州二模,19)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为p^=m(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).(注:Pp(Y=k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率)(i)完成下表:k0123P14(Y=271P34(Y=927(ii)在统计理论中,把使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p,作为p的估计值,记为p^,请写出p^(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值达到最大时的p作为p的估计值p^”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ)=0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为l(p)=i=1nXilni=1npi=1n+(1-Xi)ln(1-p),其中Xi=0,第i次摸出白球,解析(1)因为袋中这两种颜色球的个数之比为1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值为14或3(i)当p=14时,P14(Y=1)=C31p1(1-p)2=2764,P14(Y=2)=C3当p=34时,P34(Y=0)=C30p0(1-p)3=164,P34(Y=2)=C32表格为k0123P14(272791P34(192727(ii)由(i)中表可知Pp(Y=k)=C3kpk(1-p)3-当Y=0或1时,参数p=14的概率最大;当Y=2或3时,参数p=34所以p^=(2)对l(p)=i=1nXilnp+i=1n(1-Xi)ln(1-p)求导得l'(p)=1pi=1nX令1pi=1nXi-11−pi即1−pp=i=1n(1−X故p=1ni=1nXi,即当p∈0,1ni=1当p∈1ni=1nXi,1时故l(p)在0,1ni=1nXi上单调递增,在1ni=1nXi,1上单调递减,即当p=1ni=1因此,用最大似然估计的参数p^与频率估计概率的p^是一致的,4.(2024广东广州一模,19)某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由n(n≥3,n∈N*)位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下:若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.已知某团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12,且每位成员闯关是否成功互不影响,(1)若n=3,用X表示该团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数,求X的均值;(2)记该团队第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk,集合k∈N*pk<3128中元素的最小值为k0,规定团队人数n=k0+1,求n.解析(1)依题意,知X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=34×12=38,P(X=2)=14×38+34×12×12=932,P(X所以X的分布列为X123P3911数学期望E(X)=1×38+2×932+3×1132(2)由题意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成员上场且闯过第二关的概率为pk.依据“哪位成员成功闯过第一关”对所求事件A:“团队第k位成员上场闯过第二关”进行分类,记“第i(1≤i≤k)位成员成功闯过第一关且第k位成员闯过第二关”为事件Ai,则A=Ak+Ak-1+…+A1,A1表示第1位成员成功闯过第一关,且第1~(k-1)位成员均没有闯过第二关,最后由第k位成员闯过第二关,则P(A1)=34·1−12k−1·1同理,P(A2)=1−34·34·1−12k−2P(A3)=1−342·34·1−12k……Ai表示第1~(i-1)位成员没有闯过第一关,由第i位成员闯过第一关,然后第i~(k-1)位成员均没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ai)=1−34i−1·34·1−12……Ak-1表示第1~(k-2)位成员没有闯过第一关,然后第(k-1)位成员闯过第一关,没有闯过第二关,最后第k位成员闯过第二关,则P(Ak-1)=1−34k−2·34·1−12Ak表示第1~