第二章 一元二次函数、方程和不等式 综合测试（解析版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第二章一元二次函数、方程和不等式综合测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(2023·江苏扬州·高一统考阶段练习)使“”成立的一个充分不必要条件是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由，即，解得，因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件.故选：A2．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)的最小值等于(

)A．3 B． C．2 D．无最小值【答案】A【解析】因为，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于.故选：A3．(2023·高一校考课时练习)已知，，，则的最小值是(

)A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】，，(当且仅当时等号成立)，故选：C4．(2023·高一课时练习)若一元二次不等式的解集是，则一元二次不等式的解集是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由一元二次不等式的解集是可得是的两个根，且所以，所以可化为，即，解得或.故选：C5．(2023·高一课时练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是(

)

A．图象的对称轴是直线x=1B．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是－1，3C．当x>1时，y随x的增大而减小D．当-1<x<3时，y<0【答案】D【解析】由图象知函数图象与轴的两个交点的横坐标分别是和3，因此B正确；又，因此A正确；时，图象向右下，，y随x的增大而减小，C正确；在时，图象在轴上方，，D错误．故选：D．6．(2023·高一单元测试)若不等式对于一切恒成立，则的最小值是(

)A．0 B． C． D．【答案】B【解析】因为二次函数的图象开口向上，依题知，所以，则，所以的最小值是，故选：B.7．(2023·高一课时练习)若，则在①，②，③，④，这四个不等式中，不正确的有(

)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【解析】因为，对于①中，由，当且仅当时，等号成立，所以①正确；对于②中，由，当且仅当时，等号成立，所以，所以②不正确；对于③中，由不等式，可得，两边同除，可得成立，所以③成立；对于④，由，可得，即，所以成立，所以④正确.故选：B.8．(2023·江苏扬州·高一统考阶段练习)已知，若，则的最小值是(

)A．7 B．9 C． D．【答案】D【解析】因为，，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)已知关于的不等式的解集为或，则(

)A．B．C．不等式的解集是D．不等式与的解集相同【答案】AB【解析】因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得，故A正确，B正确；不等式即，所以，即，解得或，所以不等式的解集为，故C错误；不等式等价于，解得或，故不等式的解集为或，所以D错误；故选：AB10．(2023·浙江·高一期中)以下四个命题中，真命题的是(

)A．不等式的解集为B．若，则C．若，则D．若，，则【答案】ABD【解析】对于A选项，由可得，解得，所以，不等式的解集为，A对；对于B选项，若，则，，则，故，B对；对于C选项，若，则，所以，，则，所以，，可得，所以，若，则且，C错；对于D选项，当，时，对于函数，当时，随着的增大而减小，则，D对.故选：ABD.11．(2023·吉林长春·高一校考阶段练习)已知，，则下列不等式不正确的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】，，，，故A正确；，，，，故B不正确；设，则，，，，，，，，，，故C正确、D错误；故选：BD.12．(2023·湖南·高一校联考阶段练习)已知、为正实数，，则(

)A． B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为【答案】ABD【解析】因为、为正实数，，对于A选项，，当且仅当时，等号成立，A对；对于B选项，因为，则，故，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，B对；对于C选项，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C错；对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，D对.故选：ABD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(2023·江苏扬州·高一统考阶段练习)命题“,使”是假命题，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】由题意命题“，使”是假命题，故“，使”是真命题，当时,成立，故，则且,解得，综合得，故答案为:14．(2023·高一课时练习)当时，关于x的不等式的解集是__________．【答案】或【解析】∵，∴，由得或，故不等式的解集是或，故答案为：或15．(2023·高一单元测试)已知，，且，则b的最大值为__________．【答案】2【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以，.由已知可知，因为，所以，，整理可得，.令，则，解得.所以，.因为，所以，所以，有最小值4，所以，有最大值为2.故答案为：2.16．(2023·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期末)实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是______．【答案】【解析】因为实数，满足，所以，得，，因为不等式的解为一切实数为真命题，所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，所以△，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．(10分)(2023·高一课时练习)判断下列说法的正误，并说明理由：(1)的最小值是12；(2)当时，，等号成立当且仅当，即时，取到最小值.【解析】(1)错误，理由如下，由得，当时，，当且仅当即等号成立；当时，，当且仅当即等号成立；故错误；(2)错误，理由如下，当时，，当且仅当即等号成立，故错误.18．(12分)(2023·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习)已知关于的一元二次不等式的解集为R．(1)求函数的最小值；(2)求关于的一元二次不等式的解集．【解析】(1)关于一元二次不等式的解集为，，解得，，，当且仅当，即时，等号成立，函数的最小值为．(2)不等式，可化为，，，不等式的解集为或．19．(12分)(2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.【解析】(1)设甲工程队的总造价为元，则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.(2)由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.20．(12分)(2023·河南周口·高一周口恒大中学校考期末)(1)已知，则取得最大值时的值为？(2)已知，则的最大值为？(3)函数的最小值为？【解析】(1)，当且仅当，即时，取等号.故所求的值为.(2)因为，所以，则.当且仅当，即时，取等号.故的最大值为1.(3).当且仅当，即时，取等号.故函数的最小值为.21．(12分)(2023·江苏扬州·高一统考期中)已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①不等式的解集为；②；③函数的最大值为.(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出函数的解析式；(2)求关于的不等式的解集．【解析】(1)当时，不等式的解集不能为，且函数没有最大值，所以不成立.满足题意的两个条件是①③，

由的解集为，可令，的最大值为，所以，解得所以(2)不等式可化为当时，不等式等价于，解得，所以不等式的解集为；当时，对于一元二次方程，由于，方程有两个不相等的实数根，，不等式的解集为；当时，对于一元二次方程，，当时，，一元二次方程无实数根，所以不等式的解集为；当时，，一元二次方程有两个相等的实数根，此时不等式的解集也为；当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，所以不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.22．(12分)(2023·广东广州·高一校考阶段练习)已知函数.(1)若的解集是或，求实数