2021年人教A版必修5数学第3章-不等式单元测试卷含答案

2021年人教A版必修5数学第3章不等式单元测试卷含答案

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一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分，）

1.若不等式五〉ax+|的解集为（4"）,则实数b的值为（）

A.9B.18C.36D.48

2.已知曲线y上的点（a,b）在第一象限，则|+：的最小值是（）

A.lB.2C.4D.6

（、x+3

y--

3.已知实数％,y满足若2=租％-丫一3,且zZ0恒成立，则实数M的取

255—

<X—1>0

值不可能为（）

A.7B.8C.9D.10

4.不等式产-%-6<0的解集为（）

A.{x|x<-2或x>3}B.{x|x<—2]C.{%|-2<%<3]

D.{x|x>3}

5•若洛<0,则下列结论正确的是（）

A.a2>b2B.ab>b2c]+2>2D.a<b

ba

6.若Q>b>0,c<dV0,则一定有（）

/a、匕

A->-B”D3

dcdccdcd

7.若Q>b>0,c>d>0,则一定有（）

abababab

AA->-Bn.-V—C.—>—D.-V—

cdcddcdc

8.已知实数x,y满足，则目标函数I：』”)

A.只有最小值,没有最大值

B.只有最大值,没有最小值

C.既有最大值又有最小值

D.没有最大值也没有最小值

9.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达,

试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率()

AA—25

36喝

10.下列结论成立的是()

A.若ac>be,则a>bB.若a>b,则a?>b2

C.若a>b,c<d,则a+c>b+dD.若a>b,c>d,则a—d>b-c

X>1

11.已知实数％,y满足不等式组卜+y工4,记z=2%—y的最大值为?n,则函数y=

%-y<0

2ax~24-m(a>0,QH1)的图像所过定点坐标为()

A.(l,4)B.(2,l)C.(2,3)D.(2,4)

12.已知平面a截球0得到一个圆，圆心为。，△4BC为圆。的内接三角形，Z.ABC=

60。，圆。，半径为竽，球。的半径为(P为球。的球面上的动点，则三棱锥P-48c的

体积的最大值为()

D.2V3

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

13.如图，将一矩形花坛4BCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在4M上,

点。在4V上，且对角线MN过点C,已知AB=3,AD=2.那么要使矩形花坛AMPN的

面积大于27,则DN的取值范围为.

试卷第2页，总18页

?昴:■&期工翦

14.若变量x,y满足约束条件逑亚一”，则该约束条件组确定的平面区域的面积为

15.已知不等式a/+6x-8>0的解集为(2,4),则a=.

16.定义f(a,b)=篇:温:牛af"<"其中max{aM表示皿中较大的数.

对Vx6R,设a=%2,b=-x2+2x,函数g(x)=f(a,b),则

(i)g(-i)=；

(2)若g(x)>5(x2),则实数x的取值范围是.

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分，)

17.若0<a<b,则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，举出

反例.

①。+9<，+冷鬻>衿2+力。+洌+?>。+6

18.命题p：实数%满足/—4QX+3a2vo,其中Qv0,命题q：实数%满足/一%一

6<0,且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围.

19.已知％>0,y>0且2%+8y—=0,求：

(l)%y的最小值；

(2)x+y的最小值.

20.已知％>0,y>0,%+2y=2.

(1)求xy的最大值；

(2)求：+/勺最小值.

21.某厂要制造至少45台4种电子装置和55台B种电子装置，需要用薄钢板给每台装置

配备一个外壳，已知薄钢板有两种规格：甲种板每张面积2m2,可做A,B两种装置的

外壳分别为3个和5个，乙种板面积为3m2,可做4,B两种装置的外壳各6个，问该使

用甲，乙钢板各几张，将使得所用钢板总面积最小？

22.

(1)己知%>2,求3工+£的最小值；

(2)已知Q>0/>0,且｝+|=2,求Q+b的最小值.

试卷第4页，总18页

参考答案与试题解析

2021年人教A版必修5数学第3章不等式单元测试卷含答案

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1.

【答案】

C

【考点】

其他不等式的解法

【解析】

由题意可得，x=4和x=b是方程«=ax+|的解，且b>4,代入即可求解a,b.

【解答】

\[x>ax+1的解集为（4,b）,

%=4和％=b是方程石=QX+三的解，且b>4,

代入可得，b=4（舍）或b=36,

2.

【答案】

B

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

由题意可得a>0,b>Q,且ab=4,=2（当且仅当a=b=2时，等号

成立）.

【解答】

解：由题意可得a>0,b>0,且ab=4,

则2叵=2（当且仅当a=b=2时，等号成立）.

ab7ab

故选B.

3.

【答案】

A

【考点】

简单线性规划

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的范围，转化求解m的范围，判断选项即可.

【解答】

/、x+3

y-~

实数X,y满足《虫+丫<1的可行域如图：

255―

kx-1>0

由｛3x）5y=25'解得B（5,2）,由hx+5y=25，解得告），

z=mx-y-3,且zZ0恒成立，可知目标函数z=m%-y-3,经过A时取得最小值,

m-y-3>0,

可得m>能

则实数Tn的取值不可能为：7.

4.

【答案】

C

【考点】

一元二次不等式的解法

【解析】

把不等式化为(x+2)(x-3)<0,求解即可.

【解答】

解：不等式/一工一6<0化为

(x+2)(x—3)<0.

解得一2<x<3；

・,・不等式/一汽一6<0的解集为

{x|—2<x<3}.

故选c.

5.

【答案】

C

【考点】

不等式性质的应用

基本不等式

【解析】

对于4BD举反例即可判断，对于C,根据基本不等式判断.

【解答】

解：当a=-1,b=—2时，a2<b2,ab<b2,a>b,故4BZ)错误;

由题意得：a<0,b<0,a^b,则：>0,->0,

^+->2,当且仅当哼=%,即a=b<0时，取等号，

baba

由于aRb,故等号不成立，故7+T>2,故C正确.

故选C.

6.

【答案】

B

【考点】

不等式比较两数大小

不等式的基本性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

试卷第6页，总18页

解析：法一：因为c<dvO,所以-c>-d>0,

所以-5>心>0-

又a>b>0,所以多>上,所以号<2故选B.

-a-cac

1111

c<d<0=>cd>0[Cd._^-<-<0=>-->——>0-a、-b

法二:f=>——<——VU0=dcdc=—>—=>

c<d<0Jmcda>b>0dc

ab

法三:令a=3,b=2,c=—3,d=-2

则/—1，排除选项C,

又号=1,2=所以?<2,所以选项4错误，选项B正确.故选B.

a2c3ac

7.

【答案】

C

【考点】

不等式比较两数大小

【解析】

利用不等式的基本性质即可得出.

【解答】

解：;c>d>0,

・

^d>-c>0.

又a>b>0,

dc

故选C.

8.

【答案】

B

【考点】

求线性目标函数的最值

【解析】

本题考查线性规划中线性目标函数的最优解.

【解答】

解：不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，当目标函数z=x+3y经过点

4(2,1)时，z取得最大值，因为该区域是“开放式"区域，所以没有最小值.

故选B.

【答案】

C

【考点】

二元一次不等式（组）与平面区域

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）

【解析】

设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一

艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率

公式求出概率.

【解答】

解：设甲到达的时刻为，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的区域。满足

fO<x<24

（0<y<24'

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域4满足

0<x<24

0<y<24,

■\x-y\<4

作出对应的平面区域如图：

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率P（A）=1-詈§=刍

24XZ436

故选C.

10.

【答案】

D

【考点】

试卷第8页，总18页

不等式的概念与应用

【解析】

A.当c<0时，不成立；

B.取a=-l,b=-2即可判断出；

C.由a>b,c<d,可得a-c>b-d；

D.利用不等式的基本性质即可判断出.

【解答】

解：对于A.当c<0时，不成立；

对于B.取a——1,b=—2,不成立；

对于C.丁a>b,c<d,：.a-c>b-d,因此不成立；

对于。.c>d,；.—d>—c,又a>b,a—d〉b—c,因此成AL.

故选：D.

11.

【答案】

D

【考点】

含参线性规划问题

指数函数的单调性与特殊点

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由约束条件作出可行域如图：

化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

由图可知，当直线y=2x—z过B时，

直线在y轴的截距最小，z有最大值为2x2-2=2,即m=2,

函数y=2ax~2+m=2ax~2+2,

•••丫=/过定点(0,1),

y=2a>2+2过点Q,4).

故选D.

12.

【答案】

B

【考点】

柱体、锥体、台体的体积计算

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

由题利用正弦定理可得b=2rsinB=2,即可得到S—BC=彳。6根据余弦定理结合基

本不等式得到acW4,可知ac=4时，S-BC取得最大值为百，要使三棱锥的体积取得

最大值，点P到平面力BC的距离最大，即P0最大，此时点P再球弧顶位置，求出P。'

的值，即可得解.

【解答】

解：由题4C=b,BC=a,AB=60°,

・；圆。'的半径为第，sinNB=f,

b=2rsinB=2,

「•S^ABC=jacsinB=Rac.

a2+c2=44-ac>Zac,

ac<4,当且仅当a=c=2时等号成立，

当ac=4时，

S^ABC=gacsinB=取得最大值为遍,

如图，当点P在球弧顶位置时，点P到平面4BC的距离最大,

即P。'最大，此时三棱锥的体积取得最大值，

CO""。—

PO'=PO+OO'=-+-=2,

33

•••Vp-ABC=|xV3x2=^,

即三棱锥P-4BC的体积的最大值为竽.

故选B.

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

(0,1)U(4,+00)

【考点】

一元二次不等式的应用

试卷第10页，总18页

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：设DN为x(x>0),

则AN=x+2.

由”=空

ANAM'

得AM=迄

X

所以S励％MPN=ANMM=¥，

由S解形AMPN>27,

得迄把>27.

x

又x>0,

则％2-5x+4>0,

解得0<x<1或%>4,

即DN的取值范围是(0,1)U(4,+8).

故答案为：(0,1)U(4,+00).

14.

【答案】

4

【考点】

线性规划的实际应用

【解析】

作出不等式组表示的平面区域，进而可得面积.

【解答】

y<x

x+yS2表示的平面区域如图：

1y>-1

阴影部分是三角形，其中4(1,1),C(3,-l)

所以，阴影部分的面积为：|x4x2=4

故答案为：4.

【答案】

-1

【考点】

根与系数的关系

一元二次不等式与一元二次方程

【解析】

根据题意，2,4为关于丫的方程(1产+6x-8=0的两实数根，结合韦达定理求解即可.

【解答】

解：由题意，2,4为关于x的方程a/+6%-8=0的两实数根，且a<0,

由韦达定理，得—&=2+4=6,

a

解得a=-1.

故答案为：—1.

16.

【答案】

-3

©1)

【考点】

不等式性质的应用

不等式的综合

函数恒成立问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)当％=-1时，a=(-1)2=1,b=-(-l)2+2x(-l)=-3,

/.Q+b=—2<0,

g(—1)=a+b—max{a,b}——3；

(2)由题意知，a+b=2x,

当a+b<0即％<0时，

由图象可知I,x2>—x2+2x,

试卷第12页，总18页

/(Q,b)=-x2+2x,

当a4-/?>0即％>0时，

由图象可知,当时,x2<—X24-2x,

f(a,b)=-x2+2x,

当%>1时，x2>—x2+2%,

f(a,b)=x2,

2

综上，当%<1时,f(a,Z?)=-%+2xt

当%>1时，f(a,b)=%2.

,(-X2+2x,x<1,

gQ)=/(a/)=(2

(>1/

由图象可知，g(x)在R上单调递增，

要使g(X)>g(/),只需%>解得ov%v1,

故》的取值范围是(0,1).

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分)

17.

【答案】

0<a<b,

(1)(2+：-b-：=(a-Z?)(l+3)V0，正确;

②*一2=(bY)(b+a)>0,正确；

a+2bb&(a+2b)

(3)a2+专-(a+：)=(a+-(a+：)-2=(a+；-2)(a+3+1)>0,正确;

(4)—•+6>2a>^-+a>2b>?+]>a+b,因此正确.

【考点】

不等式的基本性质

【解析】

利用作差法，利用不等式的基本性质即可比较出大小关系.

【解答】

0<a<b,

①a+~-6-^=(a-6)(1+^)<0,正确；

②呼一正确；

a+2bbb(a+2b)

③Q2+专一(Q+,=(Q+分2_Q+,_2=(Q+5—2)(a+4-1)>0,正确;

n2i)2n2u2

(4)'-'—•4-fa>2Q,—FQ>2b,「.—-d—>Q+b,因此正确.

baba

18.

【答案】

解：由/—4ax+3a2<0(a<0),得3a<x<a,即p:3a<x<a.

由7—x—6<0得一2<%<3,即q:一2W%工3.

因为q是p的必要不充分条件，

所以—2<3a<0,

解得一|wa<0.

即a的取值范围-|wa<0.

【考点】

根据充分必要条件求参数取值问题

一元二次不等式的解法

【解析】

结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

【解答】

解：由——4ax+3a2<0(a<0),得3a<x<a,即p:3a<x<a.

由/-%-6<0得-2<x<3,即q:—2WxW3.

因为q是p的必要不充分条件，

所以一2<3a<0,

解得—1。v0・

即a的取值范围—|sa<0.

19.

【答案】

解：(1);x>0,y>0且.2x+8y—xy=0,

xy=2x+8y>2J16盯,

・'•y/^yxy>64,

当且仅当％=4y=16时取等号，

故xy的最小值为64；

(2)由2%+8y=得：：+：=1,

又%>0,y>0,

*+y=(%+y)•C+§=io+会+¥

>10+21.双=18,

\yx

当且仅当x=2y=12时取等号，

故汽+y的最小值为18.

试卷第14页，总18页

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

(1)利用基本不等式构建不等式即可得出；

(2)由2x+8y=xy,变形得：+?=1,利用"乘1法"和基本不等式即可得出.

【解答】

解：(1)「x>0,y>0且2x+8y—xy=0,

%y=2%+8y>2,16xy,

yfxy>8,xy>64,

当且仅当％=4y=16时取等号，

故%y的最小值为64；

(2)由2x+8y=xy,得：-+-=1,

yx

又%>0,y>0,

•1•x+y=(x+y)•C+》=10+手+?

>10+2I空.织=18,

\yx

当且仅当％=2y=12时取等号，

故久+y的最小值为18.

20.

【答案】

解：(1)因为％>0,y>0,

所以2=x+2y>2dx•2y=2xy<1=>xy<

当且宛=l,y=［时取等号，

所以孙的最大值为今

(2)因为％>0,y>0,所以1.2.(：+：)

，、

=21(X+2y)(x2+y1)=21/(4+%y+T4y\)

>iX(4+4)=4(当且仅当％=1/=机寸取等号)，

所以三+工的最小值为4.

xy

【考点】

基本不等式

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)因为％>0,y>0,

所以2=x+2y>2Jx•2y=2xy<1=>xy<

当且％=l,y=：时取等号，

所以孙的最大值为点

(2)因为x>0,y>0,所以1•2.(：+

1,、2117%4y\

=2(x+2y)(-+-)=-(4+-+T)

>|x(4+4)=4(当且仅当％=1,丫=机寸取等号),

所以2+工的最小值为4.

Xy

21.

【答案】

设甲钢板工张，乙钢板y张2,

‘3x+4y)45

<5x+6y〉55

则由条件有〔XEN,yEN,且z