2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第1节平面向量的概念与线性运算教师用书

第一节平面对量的概念与线性运算考试要求：1．了解平面对量的实际背景，理解平面对量的意义和两个向量相等的含义．2．理解平面对量的几何表示和基本要素．3．驾驭平面对量加、减运算，数乘运算及运算规则，理解其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量向量由方向和长度确定，与位置没有关系零向量长度为0的向量其方向是随意的，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±a平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行(或共线)相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0解决向量概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否满意条件，要特殊留意零向量的特殊性．2．平面对量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四边形法则减法向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法三角形法则数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(1)|λa|＝|λ||a|．(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．4．常用结论(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝12(2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则①GA+GB+②AG＝13③GD＝12(GB(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+DC＝2(4)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． (√)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c. (×)(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (×)2．如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A．AP＝13AB B．AQC．BP＝－23AB DD解析：由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误．3．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．AD＝－1B．AD＝1C．AD＝4D．AD＝4A解析：由题意得AD＝AC+CD＝AC+134．已知□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝___________．(用a，b表示)b－a－a－b解析：如图，DC＝AB＝OB-OA＝b－a，BC＝OC-OB＝－OA-5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_________．12解析：因为向量a，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ=μ，1=2μ，解得λ＝考点1向量的相关概念——基础性1．下面说法正确的是()A．平面内的单位向量是唯一的B．全部单位向量的终点的集合为一个单位圆C．全部的单位向量都是共线的D．全部单位向量的模相等D解析：因为平面内的单位向量有多数个，所以选项A错误．当单位向量的起点不同时，其终点就不肯定在同一个圆上，所以选项B错误．当两个单位向量的方向不相同也不相反时，这两个向量就不共线，所以选项C错误．因为单位向量的模都等于1，所以选项D正确．2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3D解析：①假命题，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②假命题，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是随意向量．故假命题有3个，故选D.3．(多选题)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥bBC解析：A不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不肯定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.B正确．若AB＝DC，则|AB|＝|DC|且AB∥DC.又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC且AB＝DC，又AB与DC方向相同，因此AB＝DC.C正确．因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．因为b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，所以a＝c.D不正确．当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件．1．解答此类问题的关键是精确理解向量的有关概念，否则易出错．如第2题第③项易忽视λ＝μ＝0时a，b为随意向量而致错；第3题中的A选项易误认为“模相等，两个向量就相等”而忽视方向．2．对平面对量概念理解的几点留意(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈．(4)非零向量a与aa的关系：aa是与考点2平面对量的线性运算——综合性考向1向量的线性运算(1)设非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|A解析：方法一：因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.所以a·b＝0.所以a⊥b.方法二：利用向量加法的平行四边形法则．在□ABCD中，设AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝()A．12ABC．34ABB解析：因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝12(AB+AC)＝11．本例(2)条件不变，用AB，AD表示解：DM＝DC+CM＝12(AB+CB)＝12(2．本例(2)中，若CM＝2MB，其他条件不变，用AB，AC表示解：AM＝AB+BM＝AB+131．平面对量的线性运算技巧(1)不含图形的状况：可干脆运用相应运算法则求解．(2)含图形的状况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．三种运算的关注点(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”．(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向被减向量．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．考向2利用向量的线性运算求参数问题在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点．若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1 B．1C．13 D解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，所以BD＝1.由题意易得AD＝AB+BD＝AB+13BC，则2AO＝AB+13BC，即AO＝12AB+16BC.所以依据平面对量的线性运算求参数问题可以探讨向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值或范围．1．(2024·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB解析：如图，CD＝CA+AD＝CA+12所以12CB＝32CD-CA，即CB＝3CD－22．(2024·聊城模拟)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A．0，1C．-12D解析：设CO＝yBC，因为BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，所以y∈0，13，所以AO＝AC+CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC-AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因为AO＝xAB＋(1－x)AC，所以x考点3共线向量定理及应用——应用性设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(1)证明：因为AB＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，所以AB与BC共线，且有公共点B.所以A，B，C三点共线．(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线．所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，所以8-λk=0，k-2λ=0⇒所以k＝2λ＝±4.即实数k的值为4或－4.1．证明向量共线的方法应用向量共线定理．对于向量a，b(b≠0)，若存在实数λ，使得a＝λb，则a与b共线．2．证明A，B，C三点共线的方法若存在实数λ，使得AB＝λAC，则A，B，C三点共线．3．解决含参数的共线问题的方法常常用到平面几何的性质，构造含有参数的方程或方程组，解方程或方程组得到参数值．1．设a，b是不共线的两个向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，则()A．A，B，D三点共线B．B，C，D三点共线C．A，B，C三点共线D．A，C，D三点共线D解析：因为CA＝BA-BC＝－3a＋6b，所以CA＝3CD，所以CA与CD共线．又因为它们有公共点C，所以A，C，2．(2024·日照月考)已知O为△ABC内一点，且AO＝12(OB+OC)，AD＝tAC.若B，OA．14 C．12 B解析：如图，以OB，OC为邻边作平行四边形，其对角线相交于点E.因为AO＝12(OB+OC因为AD＝tAC，B，O，D三点共线，所以AO＝λAB＋(1－λ)AD＝λAB＋(1－λ)tAC.又AO＝12AE＝12×12(AB+3．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与AB，AC所在直线交于不同的两点M，N.若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋A．1 B．2C．3 D．4B解析：连接AO，如图．因为O为BC的中点，所以AO＝12(AB因为M，O，N三点共线，所以m2+n2＝1，所以在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝()A．14a＋12b B．23aC．12a＋14b D．13a[四字程序]读想算思用基底表示AF1．三角形法则，平行四边形法则．2．以谁为基底选择不同的三角形，利用三角形法则转化与化归O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，E是OD的中点，AE的延长线与CD交于F1．AF＝AG+GF，如何表示2．＝AC+CF，如何表示3．＝AD+DF，如何表示4．利用方程组思想与向量相等解决1．在△AGF中表示．2．在△ACF中表示．3．在△ADF中表示．4．干脆设AF＝xAC＋yBD，利用向量相等求系数1．向量的线性运算法则．2．向量相等的条件．3．平行线的性质思路参考：利用AG，GF表示B解析：由题意可知△DEF∽△BEA，所以DEBE＝DFBA＝13.又由AB＝CD可得DF所以DFFC＝1如图，作FG∥BD交AC于点G，所以FGDO＝CGCO＝CFCD所以GF＝23OD＝13BD因为AG＝AO+OG＝AO+13OC＝1所以AF＝AG+GF＝23a＋思路参考：利用AC，CF表示B解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是CF＝23CD＝23×12(b－a)＝所以AF＝AC+CF＝23a＋思路参考：利用AD，DF表示B解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是DF＝13DC＝那么AF＝AD+DF＝12a+12思路参考：利用AC，BD表示B解析：如图，作OG∥FE交DC于点G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，故AF＝AD+DF＝AD+设AF＝xAC＋yBD.因为AC＝AD+AB，所以AF＝(x＋y)AD＋(x－y)AB，于是x+y=1，x-y=所以AF＝23AC+13BD＝1．本题考查利用已知向量作基底表示向量问题，解法敏捷多变，基本解题策略是借助三角形法则或平行四边形法则，逐步对向量进行变形，直至用所给基底表达出来；或选用不同基底分别表示，再利用向量相等解决．2．本题考查向量的线性运算问题，体现了基础性．同时，解题的过程须要学问之间的转化，体现了综合性．3．基于课程标准，解答本题一般须要良好的读图识图实力、运算求解实力、推理实力．本题的解答体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．如图，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，则2A．1 B．2C．3 D．4C解析：解法一：由题图可得AE＝AB+BE＝AB+23BC＝AB+23(BA+AD+DC)＝13AB+23AD+DC＝1解法二：因为BE＝2EC，所以AE-AB＝2(AC-AE)，整理，得AE＝13解法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由DC＝14AB得DC∥AB，且AB＝4DC.又BE＝2EC，所以E为PB的中点，且AP＝43AD.于是，AE＝12解法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由AE＝rAB＋sAD，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以4m=4mr+3ms解得r=所以2r＋3s＝1＋2＝3.课时质量评价(二十六)A组全考点巩固练1．设a，b是非零向量，则“a＝2b”是“aa＝bA．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，aa，bb表示a，b方向上的单位向量，所以2．(2024·泰安模拟)已知向量a和b不共线，向量AB＝a＋mb，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m＝()A．3 B．2C．1 D．－2A解析：由题意得BD＝BC+CD＝2a＋6b＝λAB＝λ(a＋mb)，解得3．(多选题)设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，肯定能使aa+bA．a＝－2b B．a＝2bC．a＝b D．a＝－bAD解析：∵aa+bb＝0，∴∴a与b的方向相反．故选AD.4．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2C解析：结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.5．设D为△ABC所在平面内一点，AD＝－12AB+32AC.若BC＝λCD(A．－2 B．－3C．2 D．3C解析：因为BC＝λCD(λ∈R)，所以AC-AB＝λAD－λAC，即AD＝－1λAB+λ+1λAC.又因为6．若AP＝12PB，AB＝(λ＋1)BP－52解析：因为AP＝12PB，所以AP+PB＝AB＝32PB＝－32BP7．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满意BE＝EC，CD＝2CF，则|3解析：依据题意，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，则∠BAC＝60°，必有AC＝2，又由BE＝EC，CD＝2则E是BC的中点，F是CD的中点，则AE＝AB+BE，则AE+AF＝AB+BE+AD+DF＝8．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝13(a＋b)，PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13(a＋b)－ma＝由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，则-m=λ139．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，假如3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有t-3+3k=0，t-2k=0，解得故存在实数t＝65使C，D，EB组新高考培优练10．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－12b B．12aC．a＋12b D．12aD解析：连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝12AB＝12a，所以AD＝AC+CD＝11．(2024·北京东城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上．若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是()A．[0，1] B．[0，3]C．0，1C解析：如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，所以CF＝1，BF＝3.因为AB＝23，所以AF＝3.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD＝AF＝3＝12AB.因为AE＝AD+DE＝AD＋μAB，所以DE＝μAB.因为DE∥DC，DC＝112．(多选题)设a，b是不共线的两个平面对量，已知PQ＝a＋sinα·b，其中α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为()A．π6