2025届新高考数学专题复习专题17情境问题的探究之数列部分教师版

专题17情境问题的探究之数列部分一、题型选讲题型一、数列额递推关系例1、（2024年西安三模）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智嬉戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环相互贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A．7 B．13 C．16 D．22【答案】C【解析】由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16．故选：C．例2、【2024年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最终一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、其次层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C例3、6、十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．闻名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为其次次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则须要操作的次数n的最小值为（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】第一次操作去掉的区间长度为其次次操作去掉两个长度为的区间，长度和为第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为第n次操作去掉个长度为的区间，长度和为所以最小值为6例4、（2024年江苏南京雨花区期中模拟）九连环是中国最杰出的益智嬉戏．九连环有九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：假如要解下（或安上）第n号环，则第（n﹣1）号环必需解下（或安上），n﹣1往前的都要解下（或安上）才能实现．记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+2an﹣2+1（n≥3），则解六连环最少须要移动圆环步数为（）A．42 B．85 C．256 D．341【答案】A【解析】：由题意可得：a3＝a2+2a1+1＝2+2+1＝5，a4＝a3+2a2+1＝5+4+1＝10，a5＝a4+2a3+1＝10+10+1＝21，a6＝a5+2a4+1＝21+20+1＝42．故选：A．题型二、数列的基本量问题例5、（2024·湖南衡阳市八中高三月考（理））公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处起先，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当竞赛起先后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍旧前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍旧前于他1米……，所以，阿基里斯恒久追不上乌龟.依据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选例6、（2024届山东省泰安市高三上期末）我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是依据日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的全部日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.【答案】1.5【解析】设此等差数列的公差为，由题意即解得所以夏至的日影子长为故答案为：例7、（2024•衡水模拟）有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人擅长屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？“在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A．35 B．75 C．155 D．315【答案】C【解析】：由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，所以a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为：．故选：C．二、达标训练1、（2024届山东试验中学高三上期中）古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子擅长织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”依据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少须要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】设该女子第一天织布尺，则，解得，前天织布的尺数为：，由，得，解得的最小值为8．故选：．2、（2024年江苏徐州模拟）“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（）A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年【答案】．D【解析】：记a1＝辛，b1＝酉（1861）；a2＝壬，b2＝戌（1862）；a3＝癸，b3＝亥（1863），由题意可知数列{an}，{bn}的最小正周期分别为10和12，故a208＝a8＝戊，b208＝b4＝子（2068），故选：D．3、（2024•广东四模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝（）A．46 B．69 C．92 D．138【答案】．B【解析】依据题意，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则数列{an}为等差数列，又由S9＝207，即S9＝＝9a5＝207，变形可得a5＝23，a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝a4+a5+a6＝3a5＝69；故选：B．4、（2024年山东开学初模拟）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（）A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】．D．【解析】：从冬至日起，日影长构成数列{an}，则数列{an}是等差数列，则a5+a6+a7+a8＝32，S7＝73.5，所以解可得，a1＝，d＝﹣1．故a10＝＝4.5．故选：D．5、（2024年山东开学初模拟）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.