统考版2025届高考数学二轮专项分层特训卷四热点问题专练热点八平面向量理

热点(八)平面对量1．(平面对量基本定理)设D为△ABC的边BC的延长线上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．(向量共线的坐标表示)已知向量a＝(4，2)，向量b＝(x，3)，且a∥b，则x＝()A．9B．6C．5D．33．(平面对量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，经常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点动身，以5km/h的速度沿eq\o(AD,\s\up6(→))方向行驶，到达对岸C点，且AC与江岸AB垂直，同时江水的速度为向东3km/h，则该船实际行驶的速度大小为()A．2km/hB．eq\r(34)km/hC．4km/hD．8km/h4．[2024·长春市质量检测(三)](平面对量的模)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(2，1)，则|2a－b|＝()A．eq\r(15)B．eq\r(17)C．2eq\r(2)D．2eq\r(5)5．(平面对量平行问题)若向量a＝(4，2)，b＝(6，k)，则a∥b的充要条件是()A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝36．[2024·广东省湛江市高三调研测试题](平面对量垂直问题)已知向量a＝(1，2)，向量b＝(2，－2)，a＋kb与a－b垂直，则k＝()A．2B．eq\f(10,7)C．eq\f(1,2)D．eq\f(7,10)7．[2024·广西南宁三校联考](平面对量的投影)已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．－eq\f(1,2)B．－1C．eq\f(1,2)D．18．(平面对量的夹角)设平面对量a＝(－2，1)，b＝(λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－4，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)9．[2024·四川省阆中中学高三月考](平面对量的数量积)已知在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，E是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,2)B．2C．3D．410．(数量积的应用)在△ABC中，设|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，则动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．重心D．外心11．(平面对量与数列综合)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满意：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→)).则S100＝()A．29B．40C．45D．5012．[2024·湖北省随州市联考](平面对量的数量积)设A、B、C是半径为1的圆上三点，若AB＝eq\r(2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值为()A．3＋eq\r(3)B．eq\f(3,2)＋eq\r(3)C．1＋eq\r(2)D．eq\r(2)[答题区]题号123456789101112答案13.[2024·合肥市其次次教学质量检测](平面对量的模)已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a∥b，则|a－b|＝________．14．(向量的夹角)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，x)，a＋b与a垂直，设a与b的夹角为α，则cosα＝________．15．(平面对量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力F＝(2，3)作用于一物体，使该物体从点A(2，0)移动到点B(4，0)，则力F对物体做的功为________．16．[2024·河南省郑州市模拟](平面对量的数量积)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→)))的最小值为________．热点（八）平面对量1．Ceq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选C.2．B因为向量a＝（4，2），向量b＝（x，3）且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故选B.3．C（以下解析中速度按向量处理）不妨设该船经过1h到达点C，由题意画出向量图如图所示，则eq\o(AD,\s\up6(→))为船速，eq\o(AB,\s\up6(→))为水速，eq\o(AC,\s\up6(→))为该船实际行驶的速度，易知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.故选C.4．C方法一由题意，得|a－b|2＝22＋12＝5，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq\r(2)，故选C.方法二设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b.由题意，得|a－b|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以OA⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，即a·b＝0，所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，所以|2a－b|＝2eq\r(2)，故选C.5．D因为向量a＝（4，2），b＝（6，k），若a∥b，则4k－2×6＝0，解得k＝3，即a∥b⇒k＝3；反之，若k＝3，则a＝（4，2），b＝（6，3），所以a＝eq\f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3⇒a∥b.故选D.6．D因为向量a＝（1，2），向量b＝（2，－2），所以a2＝5，b2＝8，a·b＝－2，又a＋kb与a－b垂直，所以（a＋kb）·（a－b）＝a2－kb2＋（k－1）a·b＝5－8k－2（k－1）＝7－10k＝0，所以k＝eq\f(7,10)，故选D.7．B因为a⊥（a＋2b），a·（a＋2b）＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－2,2)＝－1.故选B.8．B方法一因为a与b的夹角为锐角，所以cos〈a，b〉∈（0，1）.又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈（0，1），整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.方法二因为a与b的夹角为锐角，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a，b不共线．))又向量a＝（－2，1），b＝（λ，2），所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范围为（－∞，－4）∪（－4，1）.故选B.9．C四边形ABCD如图：因为AB⊥AD，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以四边形ABCD是直角梯形，由CD＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.E是BC的中点，过E作EF⊥AB于F，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|cos∠EAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝2×eq\f(3,2)＝3.故选C.10．D|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）·（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))）＝（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→))）＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))）＝eq\o(BC,\s\up6(→))·（eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＝0，设E为BC的中点，则eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0⇒eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))⇒ME为BC的垂直平分线，∴M的轨迹必过△ABC的外心，故选D.11．D通解因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），所以A，B，C三点共线．又A，B，O确定一个平面，即A，B，O不共线，所以A，C，O不共线，即eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共线．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ（eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))），当λ≠－1时，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OC,\s\up6(→))，当λ＝－1时，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))（舍去）.因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq\f(1,1＋λ)，a98＝eq\f(λ,1＋λ)，则a3＋a98＝1，又数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(（a1＋a100）×100,2)＝50.故选D.优解由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))（λ≠0），得A，B，C三点共线，又A，B，O确定一个平面，所以A，B，C，O四点共面．依据eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(（a1＋a100）×100,2)＝50，故选D.12．C设圆心为点O，则OA＝OB＝1，∵AB＝eq\r(2)，∴AB2＝OA2＋OB2，则OA⊥OB，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）·（eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))2＝（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))）·eq\o(OC,\s\up6(→))＋1＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋1＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＋1≤eq\r(2)＋1，当且仅当eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同时取等号．13．答案：eq\f(3\r(5),2)解析：由a∥b，a＝（x，1），b＝（1，－2），可得－2x＝1，解得x＝－eq\f(1,2)，所以a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，进而得到a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))，则|a－b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))\s\up12(2)＋32)＝eq\f(3\r(5),2).14．答案：－1解析：a＋b＝（0，2＋x），依据题意有0＋2×（2＋x）＝0，解得x＝－2，所以cosα＝eq\f(a·b,|a