统考版2025届高考数学全程一轮复习第九章平面解析几何第八节曲线与方程学生用书

第八节曲线与方程·最新考纲·1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．了解圆锥曲线的简洁应用．3．理解数形结合的思想．·考向预料·考情分析：求曲线的轨迹方程及利用方程探讨轨迹的性质仍是高考考查热点，题型多出现在解答题的第(1)问．学科素养：通过轨迹方程的求解考查数学运算、逻辑推理的核心素养．积累必备学问——基础落实赢得良好开端一、必记3个学问点1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，假如某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．求轨迹方程的四个常用方法(1)干脆法：干脆利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先依据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法：先依据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义干脆写出动点的轨迹方程．(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依靠于另一动点Q(x0，y0)的改变而改变，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程．二、必明2个常用结论1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条直线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．三、必练4类基础题(一)推断正误1．推断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(二)教材改编2．已知M(－2，0)，N(2，0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支3．和点O(0，0)，A(c，0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为____________________．(三)易错易混4．(忽视隐含限制条件)方程(2x＋3y－1)(x-3－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C.两条线段D．一条直线和一条射线5．(忽视P不在x轴上)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满意∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．(四)走进高考6．[2024·浙江卷]已知a，b∈R，ab>0，函数f(x)＝ax2＋b(x∈R)．若f(s－t)，f(s)，f(s＋t)成等比数列，则平面上点(s，t)的轨迹是()A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线提升关键实力——考点突破驾驭类题通法考点一干脆法求轨迹方程[基础性]1．[2024·杭州调研]已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x2．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)反思感悟干脆法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．干脆法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要留意“翻译”的等价性．[提示]对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．考点二定义法求轨迹方程[综合性][例1]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．听课笔记：一题多变1．(变条件)若例1中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________________________________________________________________________．2．(变条件)若例1中圆M，N方程分别变为“圆M：(x＋4)2＋y2＝2；圆N：(x－4)2＋y2＝2”，其余条件不变，求C的方程．反思感悟定义法求轨迹方程的解题策略(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则依据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，假如不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．【对点训练】已知动圆P恒过定点14，0，且与直线x＝－14相切．求动圆P考点三代入法(相关点法)求轨迹方程[综合性][例2]设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满意NP＝(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.听课笔记：反思感悟相关点法求轨迹方程的步骤(1)明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)；(2)寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；(3)将x0，y0代入已知曲线方程；(4)整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程．【对点训练】已知点F(4，0)，H418，0，△ABC的两顶点A(－2，0)，B-12，0，且点C满意(1)求动点C的轨迹方程；(2)设a＝(5，0)，b＝(0，3)，OC'＝(a·OC，b·OC)，求动点C第八节曲线与方程积累必备学问三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2，0)为端点向右的一条射线．答案：C3．解析：设点的坐标为(x，y)，由题意知(x-02+y-02)2＋(x-c2即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝04．解析：由(2x＋3y－1)(x-3－1)＝0得：2x＋3y－1＝0或x-3－1＝0.即2x＋3y－1＝0(x≥3)为一条射线，或x＝4为一条直线．答案：D5．解析：因为A(－2，0)，B(1，0)，动点P不在x轴上，且∠APO＝∠BPO，所以点O在∠APB的平分线与AB的交线上，故PAPB＝AOOB＝2，设P(x，y)(y≠0)，则x+22+y2x-12+y2＝2，整理可得点答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)6．解析：由题意得f(s－t)f(s＋t)＝[f(s)]2，即[a(s－t)2＋b][a(s＋t)2＋b]＝(as2＋b)2，即(as2＋at2－2ast＋b)·(as2＋at2＋2ast＋b)＝(as2＋b)2，即(as2＋at2＋b)2－(2ast)2－(as2＋b)2＝0，即(2as2＋at2＋2b)at2－4a2s2t2＝0，即－2a2s2t2＋a2t4＋2abt2＝0，所以－2as2＋at2＋2b＝0(t≠0)或t＝0，所以s2ba-t22ba＝1或t＝0.当t≠0时，平面上点(s，答案：C提升关键实力考点一1．解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.答案：A2．解析：设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D考点二例1解析：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24+一题多变1．解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x<－2)．答案：y＝0(x<－2)2．解析：设动圆P的半径为r，∴|PM|＝r＋2，|PN|＝r－2.∴|PM|－|PN|＝22，又M(－4，0)，N(4，0)，∴|MN|＝8.∴22＜|MN|.由双曲线定义知，P点轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴方程为x22-y2对点训练解析：由题意得动圆P的圆心到点14，0的距离与它到直线x＝－14的距离相等，∴圆心P的轨迹是以14，0为焦点，直线x＝－14为准线的抛物线，且p＝12，∴动圆P圆心的轨迹M考点三例2解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2因为M(x0，y0)在C上，所以x2因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝