新教材适用2024-2025学年高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题学案新人教A版选择性必修第二册

5．1.1变更率问题课程标准1．知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系．2．会通过极限的方法求瞬时速度．3．会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同．学法解读1．通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变更的过程．(数学抽象)2．驾驭瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题．(数学抽象、数学运算)3．通过求抛物线的切线的斜率和方程，体会极限思想的应用．(数学运算、直观想象)学问点1瞬时速度我们把物体在_某一时刻__的速度称为瞬时速度．学问点2极限在探讨t＝1时的瞬时速度时，我们发觉，当Δt无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度eq\x\to(v)都无限趋近于－5.事实上，由eq\x\to(v)＝eq\f(h(1＋Δt)－h(1),(1＋Δt)－1)＝－4.9Δt－5可以发觉，当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也_无限趋近于0__，所以eq\x\to(v)无限趋近于_－5__.这与前面得到的结论一样．数学中，我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，eq\x\to(v)＝eq\f(h(1＋Δt)－h(1),Δt)的极限”，记为eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(h(1＋Δt)－h(1),Δt)＝－5.想一想：瞬时速度与平均速度有什么关系？提示：设运动员在t0时刻旁边的某一时间段[t0＋Δt，t0](Δt<0)或[t0，t0＋Δt](Δt>0)的平均速度是eq\x\to(v)，所以当不断缩短上述时间段的长度，即Δt无限趋近于0时，eq\x\to(v)将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度．求瞬时速度体现了运动变更的观点．练一练：已知某物体的运动方程是s＝eq\f(t3,9)＋t，则当t＝3s时的瞬时速度是(C)A．2m/s B．3m/sC．4m/s D．5m/s[解析]∵Δs＝eq\f((3＋Δt)3,9)＋(3＋Δt)－eq\f(33,9)－3＝eq\f(33＋(Δt)3＋9(Δt)2＋27Δt,9)－3＋Δt＝eq\f((Δt)3,9)＋(Δt)2＋4Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,9)(Δt)2＋Δt＋4，∴eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)(Δt)2＋Δt＋4))＝4.故选C.学问点3曲线的切线在探讨抛物线的割线时，我们发觉，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于_一个确定的位置__，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．想一想：割线的斜率与切线的斜率有怎样的区分与联系？提示：区分：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率．联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值．练一练：求函数y＝x＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线斜率．[解析]因为Δy＝(1＋Δx)＋eq\f(1,1＋Δx)－(1＋1)＝Δx＋eq\f(1,1＋Δx)－1，所以eq\f(Δy,Δx)＝1－eq\f(1,1＋Δx)，所以k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋Δx)))＝0.题型探究题型一平均变更率的求法典例1(1)如图所示，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变更率为(B)A．1 B．－1C．2 D．－2(2)(2024·陕西西安中学高二检测)设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t秒后的距离为s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(单位：米)，则列车运行10秒的平均速度为(A)A．10米/秒 B．8米/秒C．4米/秒 D．0米/秒[解析](1)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(3)－f(1),3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.(2)列车从起先运行到10秒时，列车距离的增加量为s(10)－s(0)＝100－0＝100(米)，则列车运行10秒的平均速度为eq\f(s(10)－s(0),10－0)＝10(米/秒)．[规律方法]求平均变更率的方法步骤通常用“两步”法，一作差，二作商，即：(1)先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)对所求得的差作商，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x2)－f(x1),x2－x1)＝eq\f(f(x1＋Δx)－f(x1),Δx).对点训练❶一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系s(t)＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．[解析]质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为eq\x\to(v)＝eq\f([(2＋Δt)2＋1]－(22＋1),Δt)＝eq\f(4·Δt＋(Δt)2,Δt)＝4＋Δt.又eq\x\to(v)≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1]．题型二瞬时变更率(瞬时速度)的求法典例2已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求eq\f(Δs,Δt)；(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求eq\f(Δs,Δt)；(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．[解析]eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s(t＋Δt)－s(t),Δt)＝eq\f(2(t＋Δt)2＋3－(2t2＋3),Δt)＝4t＋2Δt.(1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．(2)当t＝2，Δt＝0.001时，eq\f(Δs,Δt)＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．(3)v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．[规律方法]求物体运动的瞬时速度的步骤：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求t0到t0＋Δt这段时间的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)的值，即得t＝t0时的瞬时速度．对点训练❷(1)(2024·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(D)A．－3 B．3C．6 D．－6(2)已知物体的运动方程是s＝－4t2＋16t(s的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度为(D)A．3m/s B．2m/sC．1m/s D．0m/s[解析](1)该质点在t＝1时的瞬时速度为－6，故选D.(2)Δs＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－4(Δt)2,Δt)＝－4Δt，∴v＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(－4Δt)＝0.∴物体在t＝2s时的瞬时速度为0m/s.题型三曲线在某点处的瞬时变更率(切线斜率)的求法典例3(1)求函数y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2处的切线斜率；(2)曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为(A)A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1C．y＝eq\f(1,5)x＋1 D．y＝－eq\f(1,5)x－1[解析](1)当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2(2＋Δx))，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4)，所以函数在x＝2处的切线斜率为k＝eq\f(15,4).(2)曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3(1＋Δx)＋(1＋Δx)2－(3＋1),Δx)＝5，f(1)＝4.由点斜式得切线方程为y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.[规律方法]求函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率的步骤：(1)求函数值的变更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求函数的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).(3)当Δx无限趋近于0时，求eq\f(Δy,Δx)趋近的常数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率即为函数y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．对点训练❸求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．[解析]f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2＝3Δx＋(Δx)2，所以切线的斜率k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f(2＋Δx)－f(2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(3Δx＋(Δx)2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(3＋Δx)＝3.则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.易错警示不能正确识图致误典例4A，B两机关单位开展节能活动，活动起先后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则肯定有(B)A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变更率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变更率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大[错解]选C.因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变更率，A机关单位比B机关单位大．[误区警示]从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变更率都取负值．[正解]由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变更率都小于0，故肯定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.[点评]识图时，肯定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系，特殊是单调性，增长(削减)的快慢等要弄清．1．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s(t)＝2t2＋2，则该物体在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为(A)A．8＋2Δt B．4＋2ΔtC．7＋2Δt D．－8＋2Δt[解析]∵函数s＝s(t)＝2t2＋2，∴Δs＝2(2＋Δt)2＋2－(2×22＋2)＝2Δt2＋8Δt，∴物体在[2,2＋Δt]上的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2Δt2＋8Δt,Δt)＝2Δt＋8.2．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是(C)A．v0 B．eq\f(Δt,s(t0＋Δt)－s(t0))C.eq\f(s(t0＋Δt)－s(t0),Δt) D．eq\f(s(t),t)[解析]由平均变更率的概念知C正确，故选C.3．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1s时的瞬时速度(单位：m/s)为(B)A．1 B．3C．－1 D．0[解析]由s(t)＝t3－2，得eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))eq\f((t＋Δt)3－2－(t3－2),Δt)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(3t2＋3t·Δt＋Δt2)＝3t2，∵3×12＝3，则物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.故选B.4．抛物线y＝2x2在点(1,2)处切线的斜率为_4__.[解析]k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))＝eq\f(2(1＋Δx)2－2×12,Δx)＝eq