相似-比例线段课件

第5讲：相似三角形1：比例线段

一、基础知识

1.比例线段的概念

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段叫做成比例线段，简称比

例线段.若a：b=b:c，则匕叫做a，c的比例中项

2.比例的基本性质的证明和应用

(1)若@=£,则以/=加

bd

/c、-uuac.ci-\-bc+d/人riLtLH、

(2)若一二—,则n——(合比性质)

bdbd

_vac_.ci—bc—d/八rt工、

(z3)若一=—,则——=-----(分比性质)

bdbd

(4)若q=9,则(合分比性质)

bda-bc-d

(5)若一=—=...=—，且Z?+d+...+HWO,则------------=—(等比性质)

bdnb+d+...+nb

3.平行线分线段成比例定理

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.4/y,

已知：如图11//12//13

求证：—=—(利用面积)

BCEF

SAA3E_ABSM)BE_DE、'''Ff

证明：SAAB£=SADBE而SABEF—BC'SABEF~EF-\，

』ABDE

从而：---=----

BCEF

还可以得到以下比例式：

ABDEBCEFBC_EF

BC^EF'AC—DF'AB—DE

.ADAEDE

(2)推论：如图，如果。石〃BC,n

ABACBC

/X

BCB乙----------

x+2y-3z

【例1】已知2=)=三，求-----:-----的值

4733x-y-2z

解法一：设二=h=三=左，则x=4k,贝!|y=7k,z=3k.

473

解法二：用比例的基本性质解之

・・％_y_z

•一———,

473

.x_2y_-3z3x_-y_-2z

…厂方―记一巧一

^,x+2y-3z_x3x-y-2z_x

J4+14-9―了12-7-6-1

.x+2y-3z_3x-y-2z

4+14-912-7-6

.x+2y-3z_4+14-9_

3x-y—2z12—7—6

【例2】(1)若.=3,则'的值为

y5x-y

5

A.4B.-4

35

(2)已知i==求a/:c.

101115

解:

布件>„a+bb+cc+am

解法一：设-----=-----=-----=1k,则

101115

a+b-10%a=7k

b+c=llk,解得<b=3k

c+o=15左c=8k

a:b:c=7:3:8

解法二：由题意得

a+b_b+c

io—11

解得

b+c_c+a

：.a:b:c=—:—:c=7:3:S

88

[例3](1)如图54直线/]〃4〃/3，另两条直线分别交4、，2、，3于点A、B、C及D、E、F,

且AB=3,DE=4,EF=2,贝！I()

BC1BC2

A.——.B・------——C.BCDE=6D.BCDE=8

DE2DE3

(2)如图5-5,/XABC的面积为18cm2,点。、E、F分别位于AB.BC、CA上，且AD=4cm,

DB=5cm,如果△ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则△A5E的面积是()

A.8cmB.9cm2C.10cm2D.12cm2

c

图5-4图5-5

解：(1)Vlj/l2//l3,

.ABDF

''~BC^~EF'

又AB=3,EF=2.

：.BCDE=ABEF=6.^^C.

(2)连结E。，设ORAE交于点G

,SMBE=S四边形DBEF.

••SMDG=SAEFG•••SAADF=SAAEF・

又,:AADF与AAEF有公共边AF,

AAO尸与AAE尸有相等的高。

.BEBD5P5AA成_BE

：.DE//ACI•----------------------------18=5：9.

，

BCBA9S^BCBC

；•SAABE=l°cm2,故选C。

AE2

【例4】如图，已知AD〃EG〃BC,AD=6,BC=9,求GF的长.

AB3

【解】：GF=EG-EF

EGAE22

—,故EG=9x—=6

33

EFBEAB-AE3-211

——=—,故

--EG=6x-=2

ADAB-AB333

故GF=4

【例5】(★★)如图，/ABC中，DE〃BC,BE与CD交于点D,AO与DE、BC分别交于点N、M,

4丁ANON

求证：(1)------=-------；(2)BM=MC

AMOM

《三点一测丛书》初二数学

清华附中数学组，2004年版

P326,例4

【例图中AD是/ABC的中线，E是AD上的点，且AE=2DE,连结BE并延长交AC于F.(1)

BF

求证：AF=FC；(2)求——的值；

EF

《三点一测丛书》初二数学

清华附中数学组，2004年版

P327,例5

【例7】如图5—2,在AABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，A

AD与BE交于点F,若AE：EC=3：4,BD：DC=2：3,求

BF：EF的值.//I

解：过E作EG〃BC交AD于G,则在AADC中，\

..GEAEAE3/-----------1

DCACEC4c

.AE3图5-2

••—.

AC7

.EG3

••-------.

DC7

BD2

可设EG=3x,Z>C=7x(x>0),则：——=—.

DC3

.2八214

••DB=—.DC=—.x7x=—x.

333

14

•叱I".

「EG—3X~9

又；EG〃BD,

.BFBD14

''~FE~~EG~~9'

【例8】如图5-3,A、C>E和B、F、D分别是NO的两边上的点，且AB〃ED,BC/7FE.

求证：AF/7CD.

分析要证明AF〃CD,应推导出能使AF〃CD的比例线段.由题中图形可知，应证明二=二

OCOD

而由AB〃ED,BC〃FE容易得到此关系。

证明：VAB//ED,

：.空心.①

OEOD~

•:BC〃FE

.OBPC

"OF-OE

由①得：O4OZ）=OBOE

由②得：OCOF=OBOE

:.OAOD=OCOF,则—=—.：.AF//CD

OCOD

点评本题采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的，公比是指两个或两个以上的比例式中均有一

个公共比，有时公比是采用乘积式的形式，如本题。

[例9]如图5-7,A\B\。分别是在4ABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且

分析所要证的结论中出现的是三条线段的倒数，要解决此类问题，一般情况下，要将其化为线段

比的形式.©

证明：VCC^AASF

.CC_BC\

BA

VCC/7BB,,

.CCAC

BB'—AB

.CCCC'BCACBC'+AC,

AA'BB'BAABAB

...1I1■-1

+BB'CC

点评对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三

111CCCC

角形有关性质进行求解.如本例，要证——+——=——，只需证明上二+—=1,即将

AA'BB'CCAAfBB'

倒数和的形式化为线段比的形式.

【例10]如图5-11,CABCD中，M为BC上的一点，DM的延长线交AB的延长线于N.

分析结论为线段比的和、差等于常数时，思考方法是：根据题设，结合图形，替换其中的线段比

或变更结论（移项、通分、转化常数）或直接通分变为+=d=（根+〃）/=何"+河"

（6=7篦+〃）进而证明。

证法一：VBM/7AD,

.ABDM

BNMN

VCD/7BN,

.DMCM.ABCM

9MN~BM,BNBM'

.BCABBCCMBM

,*BMBN~BMBM一BM

证法二：VDC/7BN,

.BCND

又BM〃AD,

.ND_NA

**7W-A®9

.BCNAAB+BN.AB

,,BMNBNBBN

证法三：VBM/7AD,

.ABDM

又DC〃BN,

.DMCM

.ABCM

：.ABBM=BNCM

:.BC-BN-AB-BM=BC-BN-BN-CM=(BC—CM》BN=BM-BN

.BCAB,

••--------=1.

BMBN

【例11】梯形ABCD中，AB〃CD,对角线交点为O,OE〃AD、OF〃BC分另U交AB于E、

求证：AE=BF.

证明：

；OE〃AD、OF//BC

.AEODBFPC

DB'AB-AC

VAB/7CD

.OPPC

''~DB~~AC

.AEBF

**AB-AB

...AE=BF

【例12］如图，四边形ABCD中，NBAD的角平分线交BD于E点，EF〃CD交BC于F点.

BCAD

求证:

证明：

VAE平分/BAD

ABBE

在ABCD中，

VEF/7CD

.BCBD人

BFBE

②-①，得

BCADBDDEBE

BF~AB~BEBE~BE

.BCAD,

..------=1

BFAB

【例知】(★★)如图，梯形ABCD中，DC〃AB,AC>BD交于P,过P作MN〃AB交AD于M,交CB

112

于N,求证:---1-------

ABCDMN

《三点一测丛书》初二数学

清华附中数学组，2004年版

P329,例7

111

【例14］（★★）如图，/ABC中，AD是角平分线，且NBAC=120°,求证:---1---=---

ABACAD

奥数教程，初二年级

华东师范大学出版社

P173,例5

【例15］（★★）已知在/ABC中，ZBAC=90°,ABDE和ACFG是正方形，CD交AB于K,BF交

AC于L,求证：AK=AL.

【证明】:

AK_ACALAB

AB-AB+AC'ACAB+AC

ABAC

则AK=-=AL

AB+AC

【例16】（★★★,98年山东省竞赛）在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O,直线I平行于BD,

且与AB、DC>BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P,求证：PMPN=PRPS；

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二

知识出版社，P178,例8

或者：

《金牌之路竞赛辅导》初中数学

陕西师范大学出版社，P177,例1

一、本章测试

1.若二=)=那么+2y=—，若x+y+z=26,贝!)x=6，y=8,z=12。

34642-2x—18-..........---------------

2.已知/川：1=1:9,则加：〃=』或一』

33

若7x-8y=0,则上——17

3.O

2x+y-23一

4.下列各级线段中，能成比例的是)

A.3,6,7,9B.2,5,6,8C.3,6,9,18D.1,2,3,4

5.若ac=bd^O,则(A)

4ada

A・一二一B.

bc~bb

ac

C.巴上D.

cddb

如图5-14,在△ABC中，DE〃BC,DF/7AC,则以下比例式中，正确的是（C)

DEADAEBF

B・------------

^C~BDECFC

DFCEECFC

D.-----=------

ACACAEBF

图5-14图515

7.如图5-15,在Z7ABCD中，E是BC上的点，AE交BD于点F,若BE：BC=4：9,贝!JBF：FD

等于（D）

A.4：5B.4：10C.5：9D.4：9

8.如图5-17,RtAABC中，ZC=90°,正方形DEFC内接于△ABC,DE/7AC,EF〃BC,AC：BC=1；

2,贝!|AF：FC等于（B）

A.1：3B.1：2C.1：4D.2：3

图5-17

9.如图5—19,梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点0,MN经过点O,且MN〃AD〃BC,已知

AD=a,BC=b,求MN的长.

图519

2ab

解：MN=2MO=-------

a+b

AnAp

10.（★）D、E分别是/ABC的边AB、AC上的点，已知——=——，那么下列各式正确的是（）

ABAC

ADDEABAEDBABADAE

A.-----=------B.——I）.=

DBBCADACc西=就