求不定积分的几种方法

求不定积分的几种方法摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类,结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性,对快速正确求解不定积分有一定意义。关键词:不定积分直接积分法分部积分法方程法Abstract:Therearemanykindsofmethodstosolvetheindefiniteintegral.Fordifferenttypesoffunctionusingthemostsuitablemethodoftencanplayamultipliereffect.Inthispaper,indefiniteintegralsolutionsaredividedintoseveraldifferenttypesandthefeasibilityofthemethodofindefiniteintegralisdiscussedbyintegratingthepracticalexamples,whichisofcertainsignificancetorapidly,correctlysolvingindefiniteintegral.Keywords:indefiniteintegral;directintegrationmethod;integrationbyparts;equationmethod不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一,是积分学中最基本的问题之一,又是求定积分的基础,牢固掌握不定积分的理论和运算方法,不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念,而且也将为学习定积分,微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础,因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。求不定积分的方法有很多,可用基本方法,如直接积分法求解、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法；也可用特殊解法,如方程法、方程组法等方法求解。下面将介绍几种常见的基本方法和特殊解法。一、基本方法1直接积分法直接积分法是求不定积分的基本方法,是基本途径,也是其他积分方法的基础,这一方法是直接利用积分法则和公式得出结果,或将被积函数做恒等变形,使之符合基本法与公式,然后再利用积分法则与公式做出结果。求不定积分解:把该式分子相乘得到分项后得到-+dx-dx然后,利用基本公式求得结果为x-ln|x|+-2注：在分项积分后,每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数的代数和仍为任意常数,故只需在最后一个积分符号消失的同时,加上一个积分常数就可以了。求不定积分解:因为此不定积分的被积函数是,由于分母是而=1,所以被积函数+sec2x+csc2x从而=+=tanxcotx+c注：此类题目的解题思路：尽量使分母简单,为此分子或分母乘以某个因子,把分母化为sinkx（或coskx）的单项式,或将分母整个看成一项。一般通用方法为将“1”化为某个特定的等式。求不定积分,解:在分子上加上cosx,再减去cosx得到再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C②在分子上减去1,再加上1得到==+=x+arctanx+c注:此类题目的解题技巧是将被积函数加（减）项,把积分变成几个比较简单的积分进行计算。从上面的几个典型例子来看,直接积分法往往需要对被积函数进行适当的恒等变形,或化简,或拆项,使被积函数变成可积函数代数和形式,此种方法求不定积分比较常见。2第一换元积分法（凑微分法）求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题,解决这类问题的方法多种多样,其中有一种方法就是第一换元法,换元法是求不定积分的基本方法。第一类换元积分法主要适用于复合函数,将被积变量凑成复合函数的中间变量的形式,再利用直接积分法求出积分。第一类换元积分法:若且u=(x)有连续的导数,则有:(x)dx=第一类换元积分法的关键是:将被积表达式凑成两部分,(x)dx,从而形成一部分是u=(x)的函数,将另一部分(x)dx凑成微分du,这样就可以从积分公式中求出积分,再回代,就完成了积分。求不定积分解:将dx凑为dx=d(1+2x),则=（凑微分）==+C（令1+2x=u）=+C（还原u=1+2x）注:凑微分时经常对被积表达式的系数进行调整,但要注意它必须是等值变换。求不定积分解:设u=2x,du=2dx,dx=du,则==sinu+C=sin2x+C求不定积分解:因为被积函数可分解为和所以可见,凑微分法就是把被积式子中某一部分看成一个整体,而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式[1]。3第二换元积分法第二类换元积分法是通过适当选择置换式,使代换后的积分易于积出,它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。第二类换元积分法:设函数x=(t)单调可导,且(t)0,如果其中t=是x=(t)的反函数。第二类换元积分法是恰当选取积分变量x作为新积分变量t的一个函数：x=(t),并要(t)具有反函数。也就是使原积分变为基本积分表中已有的形式或便于求解的积分,从而求出结果。根据被积函数表达式的不同,第二类换元法又分为去根号法和倒代换法。3.1去根号法（1）简单的根式变换,可令；例如:求,可令,（2）三角代换,令xasint或xacost；；令xasect或xacsct；；令xatant或xacott（3）双曲代换xasht或xacht例如:,可设xasht；,可设xacht比用三角代换简便（4）,一般采用万能代换,设。当然,对具体的问题也要采用灵活的方法处理。求不定积分解:分析:因被积函数分母中含有根式,常用第二类换元积分法,但因分子上含有变量x,因此也可用第一类换元积分法解法1应用第一类换元积分法解法2第二类换元积分法令解法3用三角代换令解法4用根式代换令解法5用双曲代换令注:在使用换元积分法时,必须将结果中的新变量t换回原来的变量x,尤其在使用三角代换时,可利用直角三角形三边的关系换回原来的变量。3.2倒代换法对于某些被积函数,若分母中含有因子时,可作倒代法,即令:,从而可积出积分。求不定积分（）解:因为被积函数中分母含有,可设,则,从而=,由于,故注:第二换元积分法的换元表达式中,新变量t处于自变量的地位,而在第一换元积分法的换元表达式中,新变量则处于因变量的地位[2]。此外,在使用第二换元积分法时,为保证的反函数确实存在及原来的积分有意义,通常要求是单调函数、有连续导数且。4分部积分法分部积分法是乘积的微分公式的逆运算,其运算公式是这个公式说明,积分不易求,而积分较容易求出时,可考虑此公式,使用分部积分时,必须把被积表达式化为u与dv的乘积,u与dv的选择显然没有一般的准则可以遵循,但是在某些情况下,也可归纳出一些规律来,一般被积函数是两种类型函数乘积的积分时可考虑分部积分法。下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类:取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=dx取u=arcsin(ax+b),dv=dx取u=arcos(ax+b),dv=dx取u=arctan(ax+b),dv=dx,u,v可任取；,u,v可任取；上式中为n多项式。k,a,b均为常数另外,如果被积函数中只有一个因子（例如lnx,arcsinx,arccos等）,而又不能用别的方法求出积分时,不放用分部积分法,此时可设被积函数为u,dv=dx求不定积分;=2\*GB3②解:设u=lnx,dv=dx,有dv=dx,v=xdx=xlnx+C②设u=lnx,dv=,有du=dx,v=-=-+=-+C=-注:计算熟练以后,就可以省略“设”的步骤,把所设的式子当作一个整体,在心里面想着它是一个变数,就可以使书写简化。求不定积分分析:可以用两种方法凑微分,但用哪一种行得通？要试试看。解；==2虽然还不能得到结果,但次数降低了,越变越简单。再进行一次分部积分得到：=2+=2+C求不定积分=1\*GB3①；=2\*GB3②解:①=-=-+==-ln()+C=2\*GB3②因为=-+C所以=--]arctanxarctanxarctanxxC注:有些积分,用一次分部积分不行的话,可进行两次、三次或更多次的分部积分。直到能用基本公式求出或是能转化成所求式子即可[3]。不过,在进行这种涉及繁复的代数计算时,一定要注意掌握一个原则,就是动手之前仔细观察,根据经验判断是否存在更为简单的方法,只有在确实找不到简单方法之后,再开始根据这种确定的计算程式来进行计算。从以上解法可以看出求解积分时,不论采用什么思路、选用什么积分方法,最终还是归结应用基本积分公式求出结果。因此在学习积分内容时,首先要熟悉基本积分公式和常见的积分法,更为重要的是要根据已给积分的被积函数形式,善于应用相关变形方法转化为基本积分公式类型处理。所以我们在今后的学习中,要灵活运用上述方法。二、特殊解法不定积分的基本计算方法有直接积分发、换元积分法、分布积分法、部分积分法,只要能够准确合理的运用以上方法,总可计算不定积分。但对部分不定积分的计算,使用基本方法计算量很大或很难计算出结果。如果利用方程或方程组,会使不定积分的计算简洁清晰。下面分别介绍这两种方法方程法在不定积分计算中,会遇到部分积分很难直接计算出结果,或者利用分部积分后还原为被积分项。如果得到系数不是1的所求积分项,这时将等式看作关于所求积分的方程,通过解此方程可间接得到其结果,这种方法称为方程法。下面举例说明这种方法的作用[4]。求不定积分解法1:利用换元积分法,设,则因为则有故又因则有故即解法2:利用方程法计算,由于,则由分部积分法,得即得到关于的方程解此方程,得:注：比较以上两种方法,前者用基本计算方法,计算量大,计算过程复杂。而后者是得到关于所求积分的方程,解此方程就很容易得到所求积分。特别对被积函数中含有指数函数与三角函数的乘积时,往往可以采用这样方法进行积分[5]。求不定积分解:利用分部积分法,得解关于的方程,得方程组法为了计算不定积分,可以先找到另一个不定积分以及实数使和的计算比较容易,这样可先计算和,然后再用代数方法解关于和的二元一次方程组,从而得到,这种方法称为方程组法。下面举例说明这种方法在不定积分计算中的作用。求不定积分解法1:本题是形如的三角函数有理式的不定积分,可采用基本方法计算。令,则得到有理函数积分利用部分分式法,得则将代入,得到解法2：利用方程组法计算,先考虑容易计算的积分和,令则（1）（2）由（1）,（2）得到关于和的方程组解此方程组,得注：比较上述两种方法,前者使用基本方法,虽然每一位初学者都容易想到此方法,但是该方法过程复杂,计算量很大。而后者只借助两个非常简单的积分和一个二元一次方程组就很容易得到结果[6]。计算不定积分分析:本题是有利函数积分,而且分母可以进行标准分解,可利用部分分式法计算,这是一种基本计算方法,很容易想到,但是计算过程复杂。如果考虑到积分和就很容易计算了,可设,得到关于和的方程组。解：令,则有得到方程组解此方程组,得总之,在求不定积分时,以上几种方法都可以用,但针对不同的被积函数要选择适当的方法,有些不定积分需要综合运用换元积分法和分部积分法求解,有些不定积分则需要巧妙的应用方程和方程组法才能更简捷的求出结果。在我们遇到具体问题时要仔细分析,选择一个合适而简便的方法来解答,这就需要熟练地掌握这几种方法,才能便于解决求不定的积分的问题[7]。参考文献[1]华东师范大学数学系.数学