高考数学一轮复习7.4直线与圆、圆与圆的位置关系练习理

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系eq\a\vs4\al(\x(基)础)eq\x(回)eq\x(顾)一、点与圆的位置关系若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2,那么点(x0,y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；圆内⇔(x0
－a)2＋(y0－b)2＜r2.二、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系:相离、相切和相交.有两种判断方法:1.代数法(判别式法).Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离.2.几何法:圆心到直线的距离

一般宜用几何法.三、圆与圆的位置关系:相离,外切,相交,内切,内含设圆O1与圆O2的半径分别为r1和r2,于是有1.

>r1＋r2⇔相离.2.

＝r1＋r2⇔外切.3.

<

<r1＋r2⇔相交.4.

＝

⇔内切.5.

<

⇔内含.四、弦长求法一般采用几何法:弦心距d,圆半径r,弦长l,则d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＝r2.eq\a\vs4\al(\x(基)础)eq\x(自)eq\x(测)Ｋ1.直线y＝kx＋2与圆:x2＋y2＝1没有公共点的充要条件是(B)A.k∈(－

,

)B.k∈(－

,

)C.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)D.k∈(－∞,－

)∪(

,＋∞)解析:由圆心到直线的距离公式可得d＝

>1,解得－

<k<

,故选B.2.圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(A)A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析:点(1,2)关于y＝x对称的点为(2,1).3.过原点的直线与圆
x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2,则该直线的方程为2x－y＝0.解析:圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1,又相交所得弦长为2,故相交弦为圆的直径,由此得直线过圆心(1,2),故所求直线方程为2x－y＝0.4.已知直线l:x－y＋4＝0与圆C:

＋

＝2,则圆C上各点到l的距离的最小值为

.解析：如图,过圆心作直线l：x－y
＋4＝0的垂线,则AD长即为所求.∵C:

＋

＝2的圆心为C

,半径为

,点C到直线l：x－y＋4＝0的距离为d＝

＝2

,∴|AD|＝|CD|－|AC|＝2

－

＝

,故C上各点到l的距离的最小值为

.高考方向1.直线与圆的三种位置关系、弦长、最值等是近几年高考命题的热点.2.常与椭圆、双曲线、抛物线交汇考查,有时也与对称性、平面几何性质结合考查.3.题型主要以选择、填空为主,有时也会以解答
题形式出现,属中低档题.eq\x(品)eq\x(味)eq\x(高)eq\x(考)1.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为

.解析:因为圆心(2,－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝

＝

,所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2

＝2

＝

.2.(2014·上海卷)已
知曲线C：x＝－

,直线l：x＝6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得

＋

＝0,则m的取值范围为[2,3].解析：设Q(6,q),由

＋

＝0得P(2m－6,－q),又点P在曲线C上,所以

解得2≤m≤3.eq\x(高)eq\x(考)eq\x(测)eq\x(验)1.已知圆C:x2＋y2－2x＋4y－4＝0,直线l:2x＋y＝0,则圆C上的点到直线l的距离最大值为(C)A.1B.2C.3D.4解析:直线l:2x＋y＝0是确定的,圆上的动点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径.圆的圆心为(1,－2),半径为3,因为点(1,－2)在直线l:2x＋y＝0上,所以,最大距离为圆的半径3.故选C.2.已知x、y满足x2＋y2＝4,则z＝3x－4y＋5的取值范围是(A)A.[－5,15]B.[－10,10]C.[－2,2]D.[0,3]解析：z＝3x－4y＋5即直线3x－4y＋5－z＝0,由题意可得直线和圆x2＋y2＝4有交点,故有

≤2,化简可得－10≤z－
5≤10,解得－5≤z≤15,故选A.课时作业1.对任意的实数k,直线y＝kx
＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(C)A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:圆心C(0，0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝

＜

＜

＝r，且圆心C(0，0)不在该直线上.故选C.2.直线x＋y＋

＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为(D)A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)解析:弦心距为d＝

＝1,r＝2,∴cos

＝

,∴θ＝eq\f(2π,3).故选D.3.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为(B)A.5

B.10

C.15

D.20

解析:将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.设圆心为G,易知G(1,3).最长弦AC为过点E的直径,则|AC|＝2

.最短弦BD为与GE垂直的弦,如图所示．易知|BG|＝

,|EG|＝

＝

,|BD|＝2|BE|＝2eq\r(BG2－EG2)＝2eq\r(5).所以四边形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝10eq\r(2).故选B.4.(2013·烟台四校联考)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0上的点的最近距离是(C)A.±

B.

－1C.2

－1D.1解析:圆心坐标为(－2,1),则圆心到直线y＝x－1的距离d＝

＝2

,又圆的半径为1,则圆上的点到直线的最短距离为2

－1.5.圆

＋(y＋1)2＝

与圆(x－sinθ)2＋(y－1)2＝

(θ为锐角)的位置关系是(D)A.相离B.外切C.内切D.相交解析:两圆圆心之间的距离d＝

＝

,因为θ为锐角,所以0<sinθ<1,

<sinθ＋

<

,

<

＋4<

,所以

<d<

,又两圆的半径之和为

,两圆的半径之差的绝对值为2,所以两圆相交.6.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－

有公共点,则b的取值范围是(D)A.[1－2

,1＋2

]B.[1－

,3]C．[－1,1＋2

]D．[1－2

,3]解析:曲线方程化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4＜(0≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,利用数形结合,当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2,解得b＝1＋2

或b＝1－2

,∵是下半圆,故可得b＝1＋2

(舍去),当直线过(0,3)时,解得b＝3,故1－2

≤b≤3.7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2

,则a＝1.解析:方程x2＋y2＋2ay－6＝0与
x2＋y2＝4.相减得2ay＝2,则y＝

.由已知条件

＝

,即a＝1.8.已知圆C:x2＋y2－6x－6y＋17＝0,过原点的直线l被圆C所截得的弦长最长,则直线l的方程是x－y＝0.解析:圆的最长弦为圆的直径,所以直线l经过圆的圆心(3,3),因为直线l过原点,所以其方程为x－y＝0.9.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4,从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆C的最短路程是9.解析：点A关于x轴的对称点为A′(－1,－1),又圆心坐标为C(5,7
),圆的半径r＝2,根据几何光学的性质,所求的最短路程为|A′C|－r＝eq\r(（－1－5）2＋（－1－7）2)－2＝8.10.已知圆C1:x2＋y2＝2和圆C2,直线l与圆C1相切于点A(1,1),圆C2的圆心在射线2x－y＝0(x≥0)上,圆C2过原点,且被直线l截得的弦长为4

.(1)求直线l的方程；(2)求圆C2的方程.解析：(1)∵AO⊥l,∴kl＝－eq\f(1,kOA)＝－1.又∵切点为A(1,1)∴直线l的方程是y－1＝－
(x－1),即x＋y－2＝0.(2)设圆心C2(a,2a)(a≥0),则r＝

a,∵C2到直线l的距离
d＝

,∴

＋12＝5a2,化简得a2＋12a－28＝0,解得a＝2或a＝－14(舍去).∴C2的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝20.11.
已知圆O:x2＋y2＝1和圆C:(x－2)2＋(y－4)2＝1,由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA.PB,切点分别为A.B,且满足|PA|＝|PB|.(1)求实数a、b间满足的关系式；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以P为圆心的圆,使它与圆O相内切且与圆C相外切？若存在,求出圆P的方程,若不存在,说明理由.解析:(1)∵|PA|＝

,PB＝

,∴a