河北省保定市清苑区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(含答案)

2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共

42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文

物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆臧文物鲜活起来.下面四

幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）

曲L皂

2.（3分）下列角度不是多边形内角和的是（）

A.180°B.360°C.480°D.540°

3.（3分）比较7a与4a的大小关系是（）

A.7a<4〃B.7a=4aC.7a>4aD.不能确定

4.（3分）关于x的不等式2x-aWl的解集如图所示，则。的值是（）

-~~]_>_____>

-2-101

A.-3B.-1C.1D.3

5.（3分）用提公因式法分解因式正确的是（）

A.\2abc-2c2=3aZ?c（4-3ab）

B.3/y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）

C.-c^+ab-ac=-a{a-b+c）

D.j?y+5xy-y=y（7+5x）

6.（3分）下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是（）

计算：乌_兽曲

a+ba+b

解：原式=3a+a+4b①

a+b

=4a+4b②

a+b

-4(a+b)

a+b

=4④

A.①：同分母分式的加减法法则

B.②：合并同类项法则

C.③：提公因式法

D.④：等式的基本性质

7.（3分）若关于x的方程有增根，则根的值是（）

x-55-x

A.-2B.2C.5D.3

8.（3分）如图，将三角尺A8C的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△£）功,下列结论不

一定正确的是（）

A.DE//AB

B.四边形ABED是平行四边形

C.AD//BE

D.AD=AB

9.（3分）若分式“尸.口”可以进行约分化简，则"O"不可以是（）

x2-Ox

A.1B.xC.-xD.4

10.（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式上区生规则是:

23飞

每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人,最后完成

计算.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（)

老师甲乙丙T

丢分每浮:.分项合异商类项得:而达扃院以.

l+x2x+l

<1

233(l-^>2(2x+l)<33+3x-4x+2<3-x<-2x<2

A.只有丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁

11.（2分）有一道题：“甲队修路150,"与乙队修路100，”所用天数相同，若.，求甲队每

天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是（）

解：设甲队每天修路工米，

依题意得：粤=

工LX—5U

A.甲队每天修路比乙队2倍还多30m

B.甲队每天修路比乙队2倍还少30,“

C.乙队每天修路比甲队2倍还多30;«

D.乙队每天修路比甲队2倍还少30〃i

12.（2分）利用一次函数产or+b的图象解关于x的不等式依+6<0,若它的解集是x>-

2,则一次函数y=ox+b的图象为（）

13.（2分）下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：

已知：如图，QE是aABC的中位线.

求证：DE^BODE//BC.

证明：在△4BC中，延长。E到点F,使得EF=①，连接CF；

又；NAED=NCEF,AE=CE,

:.△ADE9XCFE（②），

AZA=ZECF,AD=CF,

，③,

>L'：AD=BD,：.CF=BD,

：.四边形BCFD是④，

则回答错误的是（）

A.①中填OEB.②中填SAS

C.③中填。f〃BCD.④中填平行四边形

14.（2分）如图，点P在正五边形A8COE的内部，△ABF为等边三角形，则/AFC等于

（）

C.126°D.132°

15.（2分）如图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=3,8c=4,点。在BC上，以AC为

对角线的所有平行四边形AOCE中，OE的最小值是（）

C.4D.3.75

16.（2分）如图，已知AABC是边长为6的等边三角形，点O是线段8c上的一个动点（点

。不与点B,C重合），ZVIOE是以AD为边的等边三角形，过点E作8c的平行线，分

别交线段AB,AC于点F,G,连接BE和CF.则下列结论中：①BE=CD；®ZBDE=

/CAD；③四边形BCGE是平行四边形:④当C£>=2时,SAAEF=23,其中正确的有（）

二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17〜18小题各3分；19小题有2个空，每空2

分.）

17.（3分）如图，点A、B、C、D、。都在方格纸的格点上，若△（%>/）是由△408绕点。

则整数x=

19.（4分）定义：如果几个全等的正〃边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一

个正多边形，那么我们称作正〃边形的环状连接.如图1,我们可以看作正八边形的环状

连接，中间围成一个正方形.

（1）若正六边形作环状连接，如图2,中间可以围成的正多边形的边数为；

（2）若边长为。的正〃边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的

外轮廓长为.（用含a的代数式表示）

•J

图1图2

三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

20.（20分）（1）因式分解：（2r+y）2-（x+2y）2；

2

（2）计算：（且--&

x-2x+2x

r7x-8<9x

（3）解不等式组：x+1、；

号》］

（4）解方程：—」_口.

x-44-x

21.（8分）如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.求证：AE与。F

互相平分.

22.（8分）已知：如图，平行四边形ABCO中，E,F分别是边AB,CQ的中点.

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形:

（2）若AZ）=AE=2,ZA=60°,求四边形EBFn的周长和面积.

23.（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘

数如:4=22-02,12=

42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数”.

（1）请说明28是否为“神秘数”；

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由.

①小能发现：两个连续偶数2斤+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4

的倍数.

②小仁发现：2016是“神秘数”.

24.（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：

在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线.小明的作

法如下：

（1）分别以A,B为圆心，大于LB长为半径作弧，两弧交于点C；

2

（2）再分别以A,B为圆心，大于」AB长为半径作弧，两弧交于点》

2

（3）作直线CD,直线CO即为所求的垂直平分线.

同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：

连接AC,BC,AD,BD.

由作图可知：AC=BC,AD=BD.

点C,点。在线段的垂直平分线上（依据1：）.

直线就是线段的垂直平分线（依据2：）.

（1）请你将小明证明的依据写在横线上；

（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A,B,C,。恰好均在格点上，依次

连接A,C,B,D,A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若

干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形.

25.（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共

捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

甲公司员工乙公司员工

(1)甲、乙两公司各有多少人？

(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资,A种防疫物资每箱15000

元，8种防疫物资每箱12000元.若购买8种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完,

有几种购买方案？请设计出来(注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送).

26.(8分)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

(1)如图1,ZBAD=90°,AB=AD,过点B作BCL4c于点C,过点。作QE_LAC

于点E.由Nl+/2=N2+NZ)=90°,得N1=ND又NAC8=/AED=90°,可以推

理得到△ABC丝△£>/!£进而得到AC=,BC=.我们把这个数学模型称

为“K字”模型或“一线三等角”模型；

【模型应用】

(2)①如图2,ZBAD=ZCAE=90°,AB=A。，AC=AE,连接8C,DE,KBCLAF

于点F,与直线AF交于点G.求证：点G是。E的中点；

②如图3,在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4),点8为平面内任一点.若

△408是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标.

2021-2022学年河北省保定市清苑区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共

42分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文

物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四

幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形.

【解答】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度

后与原图重合.

2.（3分）下列角度不是多边形内角和的是（）

A.180°B.360°C.480°D.540°

【分析】根据多边形的内角和公式，多边形的内角和除以180所得结果应该是：大于或

等于1的正整数，据此即可判断.

【解答】解：A、180°是三角形的内角和，故选项不符合题意；

B、360°是四边形的内角和，故选项不符合题意；

C、480+180=&，则不是多边形的内角和，故选项符合题意；

3

D、540+180=3,则是多边形的内角和，故选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式

进行正确运算、变形和数据处理.

3.（3分）比较7a与4a的大小关系是（）

A.la<4aB.7a=4aC.la>4aD.不能确定

【分析】利用作差法比较大小，分三种情况讨论即可得出答案.

【解答】解：1a-4«=3«,

当a=0时，3a=0,

.".7a=4a；

当a>0时，3a>0,

.'.7a>4a；

当a<0时,3a<0,

:.Ja<4a；

故选：D.

【点评】本题考查了有理数的大小，考查分类讨论，利用作差法比较大小是解题的关键.

4.（3分）关于x的不等式2x-aWl的解集如图所示，则a的值是（）

-->______________________>

-2-101

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】首先解不等式2x-aWl可得xW且旦，根据数轴可得xW-1,进而得到旦旦=

22

-1,再解方程即可.

【解答】解：2x-

xW更1,

2

-1,

.•.他=7,

2

解得：a=-3,

故选:A.

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，关键是正确

解出不等式的解集.

5.(3分)用提公因式法分解因式正确的是()

A.1labc-92c2=3ahc(4-3ab)

B.3/y-3x)46y=3y(x2-x+2y)

C.-a^+ab~ac=-a(a-/7+c)

D.j?y+5xy-y=y(7+5x)

【分析】此题通过提取公因式可对选项进行一一分析，排除错误的答案.

【解答］解：12abc-9crb2c2=3abc(4-3%),故本选项错误;

B、37y-3盯+6y=3y(x2-x+2),故本选项错误；

C、-2+ab-ac=-a(.a-b+c),正确；

D>x^y^-5xy-y=y(，+5x-1),故本选项错误.

故选：C.

【点评】此题考查提取公因式的方法，通过得出结论推翻选项.

6.(3分)下面的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是()

计算：且/1也

a+ba+b

解：原式=3a+a+4b①

a+b

=4a+4b2

a+b

_4(a+b)@

a+b

=4④

A.①：同分母分式的加减法法则

B.②：合并同类项法则

C.③：提公因式法

D.④：等式的基本性质

【分析】根据分式的加减法法则计算即可.

【解答】解：A、①：同分母分式的加减法法则，正确，故A不符合题意；

以②：合并同类项法则，正确，故8不符合题意；

C、③：提公因式法，正确，故C不符合题意；

。、④：分式的基本性质，故错误，故。符合题意；

故选：D.

【点评】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键.

7.（3分）若关于x的方程有增根，则根的值是（）

x-55-x

A.-2B.2C.5D.3

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根，

那么最简公分母x-5=0,所以增根是x=5,把增根代入化为整式方程的方程即可求出

未知字母的值.

【解答】解：方程两边都乘（x-5）,得

2-x+m=0

•••由最简公分母x-5=0,可知增根是x=5,

把x=5代入整式方程，得

2-5+，〃=0,

：.m=3.故选：D.

【点评】增根问题可按如下步骤进行：

①确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

8.（3分）如图，将三角尺A8C的一边AC沿位置固定的直尺推移得到△OEF,下列结论不

一定正确的是（）

A.DE//AB

B.四边形A3ED是平行四边形

C.AD//BE

D.AD=AB

【分析】由平移性质可得AZ）〃BE,且AQ=BE,即可知四边形ABEO是平行四边形，再

根据平行四边形性质可得。E〃AB,从而可得答案.

【解答】解：由平移性质可得AO〃BE,且AQ=BE,

四边形ABED是平行四边形，

J.DE//AB,故A、B、C均正确，

故选：D.

【点评】本题主要考查平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平移的性质得

出四边形是平行四边形是解题的关犍.

9.（3分）若分式“.迫”可以进行约分化简，则“O”不可以是（）

x2-Ox

A.1B.xC.-xD.4

【分析】分式可以进行约分化简，则分子与分母有公因式，据此分析即可.

【解答】解：•.•分式“一±_•上2"可以进行约分化简，

x2-OX

...“O”可以是1,则A不符合题意；

“O”可以是x,则3不符合题意：

“O”不可以是-x,则C符合题意；

“O”可以是4,则。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是明确分式可以进行约分化简，则分

子与分母有公因式.

10.（3分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解不等式上至@±《1.规则是：

23%

每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成

计算.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（）

老师甲乙丙丁

〃二一£三二；j云分库得："'"I:丢括号得：…]海成百笄百呈依有j两瓦商葡工

\~'~1~一：!3（1+X）-2（2X+1）<3]；3+3x-4x+2<3：：.x<-2：!x<2

L一__________I1-————————————————L———————————_l________一一」L_______

A.只有丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、丁D.甲、乙、丁

【分析】根据题目中的解答过程，可以分别进行解答，从而可以得到谁负责的自己的一

步出现错误，本题得以解决.

【解答】解：1+x_2x+l41,

23飞

3(1+x)-2(2x+l)W6,故甲错误；

3(1+x)-2(2x+l)W3,

3+3x-4x-2W3,故乙错误；

3+3x-4x+2W3,

-xW-2,故丙正确；

-xW-2,

x22,故丁错误；

故选：D.

【点评】本题考查解一元一次不等式，解不等式利用不等式的性质，熟练掌握不等式的

性质是解题的关键.

11.(2分)有一道题：“甲队修路150”?与乙队修路100机所用天数相同，若.，求甲队每

天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是()

r—-_一_一_

!解：设甲队每天修路工米，

I•

::

!依题意得：鲁=产而！

A.甲队每天修路比乙队2倍还多30m

B.甲队每天修路比乙队2倍还少30〃？

C.乙队每天修路比甲队2倍还多30m

D.乙队每天修路比甲队2倍还少30/»

【分析】根据图中的方程，可以写出被遮住的条件，本题得以解决.

【解答】解：由图表可得方程：100,

x2x~30

故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队2倍还少30/H,

故选：D.

【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮

住的条件.

12.(2分)利用一次函数尸以+〃的图象解关于x的不等式ar+6<0,若它的解集是x>-

【分析】根据不等式ax+b<0的解集是x>-2即可得出结论.

【解答】解：•••不等式G+〃<0的解集是x>-2,

...当x>-2时，函数y=ox+b的图象在x轴下方.

故选:A.

【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象与一元一次不

等式解集的关系是解答此题的关键.

13.(2分)下面是小林同学证明三角形中位线定理的过程：

已知：如图，OE是△ABC的中位线.

求证：DE=^-BC，DE//BC.

证明：在△ABC中，延长DE到点凡使得£尸=①，连接CF；

又,：NAED=/CEF,AE=CE,

；.△&£)£•丝△CFE(②)，

.•./A=/ECF,AD^CF,

③，

又：.CF=BD,

四边形BCFO是④，

：.DE//BC,DE^-BC-

则回答错误的是（）

A.①中填DE1B.②中填SAS

C.③中填。尸〃BCD.④中填平行四边形

【分析】延长。E到点F,使得连接CF,由“SAS”可证△AOE四△CFE,可

得NA=NECF,AD=CF,可证四边形BCF£＞是平行四边形，可得结论.

【解答】证明：如图，延长。E到点F,使得EF=DE,连接CF,

在△4£>£：和△CFE中，

'AE=CE

<NAED=NCEF，

DE=EF

AAADE^ACFE(SAS),

=AD=CF,

J.CF//AB,

5L'：AD=BD,

：.CF=BD,

...四边形BCFD是平行四边形,

：.DE//BC,DE=、BC.

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

14.（2分）如图，点尸在正五边形A8COE的内部，ZiABF为等边三角形，则/AFC等于

()

E1C

A.108°B.120°C.126°D.132°

【分析】根据等边三角形的性质得到AF=BF,NAFB=NABF=60：由正五边形的性

质得到AB=BC,ZABC=\08°,等量代换得到BF=BC,NFBC=48°,根据三角形

的内角和求出/BFC=66°,根据尸8+/BFC即可得到结论.

【解答】解：•••△ABF是等边三角形，

：.AF=BF,NAFB=NABF=60°,

在正五边形4BCDE中，AB=BC,ZAfiC=108°,

：.BF=BC,ZFBC^ZABC-ZABF=48a,

NBFC=I8。’_/FEC=66°,

2

ZAFC=NAFB+NBFC=126°,

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记

正多边形的内角的求法是解题的关键.

15.（2分）如图，在RtAuABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,点。在BC上，以AC为

对角线的所有平行四边形AOCE中，OE的最小值是（）

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OO_L8c时，OE长度取

最小值.

【解答】解：；在RtZ\ABC中，ZB=90°,

C.BCVAB.

,：四边形ADCE是平行四边形，

：.OD=OE,OA=OC.

当。。取最小值时，OE线段最短，此时0£>，8c.

.♦.0D是△4BC的中位线，

：.OD=1AB=1.5,

2

：.ED=2OD=3.

故选：B.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短.解答该题时，利用了“平

行四边形的对角线互相平分”的性质.

16.（2分）如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点。是线段BC上的一个动点（点

。不与点B,C重合），△4OE是以40为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分

别交线段AB,AC于点尸，G,连接BE和CF.则下列结论中：®BE=CD；®ZBDE=

NCAD；③四边形BCGE是平行四边形;④当C£>=2时，SAAEF=23,其中正确的有（）

【分析】①证aAEBg△AOC（SAS）,得BE=C£>,故①正确；再由平角的定义和三角

形内角和定理得N8OE=/CAO,故②正确；由NE3C+/4CB=180°,得EB〃GC.则

四边形8CGE是平行四边形.故③正确；证出80=28,得S^CO=AAABC=3JE,

3

再证AF=28F,得SAAEF=2SAAEB=25Z\ACD=2百，故④错误.即可求解.

33

【解答】解：①•••△ABC和△ADE都是等边三角形，

：.AE=AD,AB=AC,/BAC=60°,

又VNEAB=ZEAD-NBAD,ZDAC=ZBAC-NBAD,

:.NEAB=NDAC,

在△AEB和△4OC中，

，AE=AD

<NEAB=NDAC，

AB=AC

：./\AEB^/\ADC(SAS),

：.BE=CD,故①正确；

VZBDE+ZADE+ZADC=\SO°,ZACD+ZADC+ZCAD=180°,ZADE=ZACD^=

60°,

.'.ZBDE^ZCAD,故②正确；

由①得△AEBgZisAOC,

：.ZABE=ZACB=60°.

又：/ABC=NC=60°,ZEBC=\20°,

：./EBC+/ACB=180°,

J.EB//GC.

又,：EG〃BC,

四边形BCGE是平行四边形，故③正确；

；AC=BC=6,CD=2,

：.BD=4=2CD,

2

SAACD=-^S/\ABC=-X^-X6=3V3，

334

■:EG//BC,

：.ZBFE=ZABC=60°=AABE,

二.△BE尸是等边三角形，

：.BF=BE,

：.BF=CD=2,

：.AF=4=2BF,

:•S4AEF=Zs4AEB=区&ACD=2M，故④错误・

33

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形

的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB

丝△AQC是解题的关键.

二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17〜18小题各3分；19小题有2个空，每空2

分.)

17.(3分)如图，点A、B、C、D、。都在方格纸的格点上，若△(%>£>是由△408绕点。

按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为90°

【分析】由△COO是由aAOB绕点。按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是/30。

的大小，然后由图形即可求得答案.

【解答】解：如图：•••△CO。是由△408绕点。按逆时针方向旋转而得,

OB=OD,

，旋转的角度是NB。。的大小，

'：ZBOD=90Q,

二旋转的角度为90°.

故答案为：90°.

【点评】此题考查了旋转的性质.解此题的关键是理解△COO是由aAOB绕点O按逆

时针方向旋转而得的含义，找到旋转角.

18.(3分)已知x为整数，且2-，_+区旦名为正整数，则整数x=4或5.

x+3x-3x2.g

【分析】先通分，再进行同分母分式的加减运算得到原式=/21X：3)约分得到

(x+3)(x-3)

原式=，一，由于x为整数，且N-为正整数，根据整数的整除性得到X-3=1或X-3

x-3x-3

=2,然后解一次方程即可.

［加睾效］解：2__2_+2x+18__2(x-3)_2(x+3)+2x+18

2

x+3x-3X-9(X+3)(X-3)(X+3)(X-3)(X+3)(X-3)

=2(x+3)

(x+3)(x-3)

=2

为整数，2-_g_+2x+13.为正整数,

_

x+3X3x2_g

.•.x为整数，且N_为正整数，

x-3

Ax-3=1或x-3=2,

.,.x=4或x=5.

故答案为4或5.

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解（有括号，先算

括号），然后约分得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的

分式的值.

19.（4分）定义：如果几个全等的正〃边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一

个正多边形，那么我们称作正〃边形的环状连接.如图1,我们可以看作正八边形的环状

连接，中间围成一个正方形.

（1）若正六边形作环状连接，如图2,中间可以围成的正多边形的边数为6；

（2）若边长为。的正〃边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的

外轮廓长为27a.（用含a的代数式表示）

.

图1图2

【分析】根据正多边形的内角和公式（n-2）«180°,可求出正多边形密铺时需要的正多

边形的内角，继而可求出这个正多边形的边数.

【解答】解：（1）正六边形作环状连接，一个公共点处组成的角度为240。，

故如果要密铺，则需要一个内角为120°的正多边形，

而正六边形的内角为120°,

所以正六边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为6；

（2）若边长为1的正〃边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，

则一个公共点处组成的角度为360°-60°=300°,

所以正”边形的一个内角是150°,

所以（〃-2）X180=150n,

解得"=12,

所以边长为a的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的

外轮廓长为27a.

故答案为：6；Zia.

【点评】此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边

形的一个内角的度数，有一定难度.

三、解答题(本大题有7个小题，共68分.解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤)

20.(20分)(1)因式分解：(2x+y)2-(x+2y)2；

2

(2)计算：(且---4；

x-2x+2x

<7x-8<9x

(3)解不等式组：|x+1、；

专〉］

(4)解方程：—」_口.

x-44-x

【分析】(1)利用平方差公式因式分解即可；

(2)根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简即可求出答案；

(3)分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大”即可得出不等式组的解集；

(4)根据解分式方程的步骤求解即可.

【解答】解：(1)(2x+y)2-(x+2y)2

=(2x+y+x+2y)C2x+y-x-2y)

=(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y)；

(2)(且-一jAw

x-2x+2x

=3x(x+2)-x(x-2)•，-4

(x-2)(x+2)x

=3，+6x-x2+2x

x

—2x2+8x

x

—■2x+8；

>x-8<9x①

由①得：x>-4,

由②得：x>l,

二不等式组的解集是：x>l；

(4)解方程：—」—=i，

x-44-x

去分母，方程两边同时乘以x-4,得:

3-x-1=x-4,

♦,x=3,

经检验：x=3是原分式方程的解.

【点评】本题主要考查了分解因式，分式的混合运算，解一元一次不等式组以及解分式

方程，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键.

21.(8分)如图，在△ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点.求证：AE与。F

互相平分.

【分析】由三角形中位线定理得。E〃AC,EF//AB,再证四边形AQEF为平行四边形，

即可得出结论.

【解答】证明：：力、E、尸分别是AB,BC,AC的中点，

:.DE、E尸都是△ABC的中位线，

J.DE//AC,EF//AB,

.•.四边形ADEF为平行四边形，

.♦.AE与£＞尸互相平分.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线的定理等知识，熟练掌

握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

22.(8分)已知：如图，平行四边形ABCQ中，E,尸分别是边AB,的中点.

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)若AO=AE=2,ZA=60°,求四边形EBF3的周长和面积.

【分析】(1)在QABCZ)中，AB^CD,AB"CD,又E、尸分别是边A3、的中点，所

以BE=CF,因此四边形EBFD是平行四边形；

(2)由AO=AE=2,ZA=60°知△4OE是等边三角形，又E、尸分别是边AB、CO的

中点，四边形EBF£）是平行四边形，所以EB=BF=FD=DE=2,四边形E8尸。是平行

四边形的周长是2+2+2+2=8.

【解答】（1）证明：在。ABC。。AB=CD,AB//CD.

VEs尸分别是A8、CZ）的中点，

：.BE=^AB,DF=1.CD.

22

：.BE=DF.

四边形EBFO是平行四边形

（2）解：'：AD=AE,NA=60°,

/\ADE是等边三角形.

：.DE=AD=2,

由（1）知四边形EBRD是平行四边形，

；BE=AE=2,

...四边形EBF£>的周长=2（BE+DE）=8.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的

关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种

性质，在应用时应注意它们的区别与联系.

23.（8分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘

数如：4=22-02,12=

42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“神秘数”.

（1）请说明28是否为“神秘数”；

（2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由.

①小能发现：两个连续偶数2%+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4

的倍数.

②小仁发现：2016是“神秘数”.

【分析】（1）根据题意，可以写出28是否可以表示为两个连续的偶数的平方之差，从而

可以解答本题；

（2）选择其中的一个，先判断，然后说明理由即可.

【解答】解：（1）V28=82-62,

A28是神秘数；

（2）当选择①时，两个连续偶数2Z+2和2k（其中&取非负整数）构造的“神秘数”也

是4的倍数是真命题，

理由：,:⑵+2）2-（2k）2

=4必+8A+4-4层

=8k+4,

k取非负整数，

，8k+4一定能被4整除，

两个连续偶数2A+2和混（其中左取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数；

当选择②时，2016是“神秘数”是假命题，

理由：：（2好2）2-（2k）2

=4必+弘+4-4F

=8k+4,

令8%+4=2016,得％=251.5,

为非负整数，

；/=251.5不符合实际,舍去，

.♦.2016是“神秘数”错误.

【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法

解答.

24.（8分）阅读下面材料，并解决相应的问题：

在数学课上，老师给出如下问题，己知线段AB,求作线段A8的垂直平分线.小明的作

法如下：

（1）分别以A,B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点C；

2

（2）再分别以A,8为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点O；

2

（3）作直线CC,直线C。即为所求的垂直平分线.

同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：

连接AC,BC,AD,BD.

由作图可知：AC=BC,AD=BD.

.•.点C,点D在线段的垂直平分线上（依据1：到线段两个端点距离相等的点在这条

线段的垂直平分线上）.

直线就是线段的垂直平分线（依据2：两点确定一条直线）.

（1）请你将小明证明的依据写在横线上；

（2）将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A,B,C,。恰好均在格点上，依次

连接A,C,B,D,4各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若

干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形.

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可.

（2）作点C,。关于AB的对称点C',D',连接AC',BC',AD',BD'即可.

【解答】解：（1）连接AC,CB,AD,DB.

由作图可知：AC=BC,AD=BD.

.•.点C,点/）在线段的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直

平分线上）.

直线就是线段的垂直平分线（两点确定一条直线）.

故答案为：线段的垂直平分线的性质，两点确定一条直线.

【点评】本题考查利用旋转设计图案，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的

关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

25.（8分）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共

捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

甲公司员工乙公司员工

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资,A种