专题13平面直角坐标系中的综合问题(原卷版+解析)

专题13平面直角坐标系中的综合问题题型一找规律1．如图，将边长为1的正方形沿轴正方向连续翻转2021次，点依次落在点、、，的位置，由图可知，，，，则的坐标为A． B． C． D．2．如图所示，平面直角坐标系中，轴负半轴上有一点，点第1次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，，照此规律平移下去，点平移至点时，点的坐标是A． B． C． D．3．如图，一个粒子在第一象限内及轴、轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点，第二分钟，它从点运动到点，而后它接着按图中箭头所示在与轴，轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点出发以2个单位长度秒的速度沿循环爬行，向第2022秒瓢虫在处．A． B． C． D．5．如图，在直角坐标系中，长方形的长为2，宽为1，将长方形沿轴翻转1次，点落在处，翻转2次，点落在处，翻转3次，点落在处（点与点重合），翻转4次，点落在处，以此类推，若翻转2021次，点落在处，则的坐标为．6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，，都在直线上，，且△，，，，△，分别是以，，，，，为直角顶点的等腰直角三角形，则△的面积是．7．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，，按照这样的运动规律，点第17次运动到的点的坐标为．8．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2020次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为．9．某班共有50名同学，在校广播操比赛中排成方队，先把每位同学都进行编号1至50号，然后把各自的位置固定下来，如图，在平面直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．例如1的对应点是原点，3的对应点是，16的对应点是．那么编号是50号的同学的位置对应的坐标是，全校学生如果排成这样一个大方阵，编号是2022的学生的对应点的坐标是．10．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是轴正半轴上的点，且点的横坐标为为正整数）记内部（不包括边界）的整点个数为．当点的横坐标为12时，的值为，点的横坐标为2022时，的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到△的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，、，则点的横坐标为．12．如图所示，把多块大小不同的角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板的一条直角边与轴重合且点的坐标为，，第二块三角板的斜边与第一块三角板的斜边垂直且交轴于点，第三块三角板的斜边与第二块三角板的斜边垂直且交轴于点，第四块三角板斜边与第三块三角板的斜边垂直且交轴于点．按此规律继续下去，则线段的长为．13．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为．题型二等腰三角形存在性问题14．点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是A． B．， C．， D．15．在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点，点是轴上的一个动点，当△是等腰三角形时，值个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．如图，在平面直角坐标系中，已知点在坐标轴上，点，若三角形是等腰三角形，则满足条件的点的个数是个．17．直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点．（1）求点关于原点的对称点的坐标；（2）当取何值时，△是等腰三角形？18．如图，在直角坐标平面内有两点、、．（1）的形状是等腰直角三角形；（2）求的面积及的长；（3）在轴上找一点，如果是等腰三角形，请直接写出点的坐标．19．如图，点的坐标为，点的坐标为，在轴上确定一点，使为一个等腰三角形，则点的坐标可以是．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点是的中点，点在上运动，当是以10为腰长的等腰三角形时，点的坐标为．21．在平面直角坐标系中，已知点，线段轴，线段轴于点，且．（1）求，两点的坐标．（2）若点是的中点，点是线段上一动点，记点的横坐标为，请用含的代数式表示的面积．（3）在（2）的条件下，当点运动到的中点处时，请在轴上确定一点，使得为等腰三角形．（直接写出点坐标，不用说明理由）．题型三其他综合问题22．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，的平分线交轴于点，点、分别为线段、线段上的动点，则的最小值为A．2 B． C． D．23．如图，平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，在第一象限作，，过点作直线轴于，直线与直线交于点，且，则直线解析式为．24．如图，在以点为原点的平面直角坐标系中点，的坐标分别为，，点在轴上，且轴，，满足．点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（回到为止）．（1）直接写出点，，的坐标；（2）当点运动3秒时，连接，，求出点的坐标，并直接写出，，之间满足的数量关系；（3）点运动秒后，是否存在点到轴的距离为个单位长度的情况．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．（1）请以点为原点，为轴，建立平面直角坐标系，并用表示出点处在、、线段时的坐标．当时，在上，，；当时，在上，，；当时，在上，，；（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在点使的面积等于，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒．（1）直接写出点和点的坐标，、，；（2）当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围；（3）点，连接、，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由．27．如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是，（1）求三个顶点、、的坐标；（2）连接、，并用含字母的式子表示的面积；（3）在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，，，点在轴上，且．（1）求点的坐标；（2）求的面积；（3）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．29．已知点、，且．（1）求、的值．（2）在轴的正半轴上找一点，使得三角形的面积是15，求出点的坐标．（3）过（2）中的点作直线轴，在直线上是否存在点，使得三角形的面积是三角形面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．30．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．（1）求点的坐标；（2）若，求的面积；（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．题型四行程问题31．甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地．甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙刚开始的速度是；④乙出发第一次追上甲用时．其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④32．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米与甲出发的时间（分之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个33．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离（米与乙出发的时间（秒之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③34．甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从地去往地．已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离（千米）与甲步行的时间（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法：①乙的速度为7千米时；②乙到终点时甲、乙相距8千米；③当乙追上甲时，两人距地21千米；④、两地距离为27千米．其中错误的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个35．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离与慢车行驶时间之间的函数图象如图所示，下列说法：①甲、乙两地之间的距离为；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地时，慢车距离甲地；④相遇时，快车距甲地其中正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个36．甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶在、两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立即以原来速度返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是小时．37．“低碳环保、绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米分的速度到达图书馆．小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题（1）；；．（2）若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是米分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出的取值范围专题13平面直角坐标系中的综合问题题型一找规律1．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2021次，点P依次落在点P1、P2、P3…，P2021的位置，由图可知P1（1，1），P2（2，0），P3（2，0），P4（3，1），则P2021的坐标为（）A．(2023，0） B．(2023，1） C．(2023，0） D．(2023，1）【解答】解：根据图形可得，正方形旋转4次为一个周期，即P→P4为一周期，且相差3﹣（﹣1）＝4，∴一个周期P向右移动4个单位长度．∵2021÷4＝505…1，∴到P2021有505个周期再旋转一次，505×4﹣1＝2019，∴P2020(2023，1），由P2020→P2021与P→P1类似，∴P2021(2023，1）．故选：D．2．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0），点A第1次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2021时，点A2021的坐标是（）A．（1008，1010） B．（1009，1010） C．（1009，1011） D．（1008，1011）【解答】解：由题意，A1（﹣1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），•••，A2n﹣1（﹣2+n，n），∴A2021（1009，1011），故选：C．3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），第二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（）A．（44，4） B．（44，3） C．（44，2） D．（44，1）【解答】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，（1，1）表示粒子运动了2＝1×2（分钟），将向左运动，（2，2）表示粒子运动了6＝2×3（分钟），将向下运动，（3，3）表示粒子运动了12＝3×4（分钟），将向左运动，…，于是会出现：（44，44）点粒子运动了44×45＝1980（分钟），此时粒子将会向下运动，∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022﹣1980＝42个单位长度，∴粒子的位置为（44，2），故选：C．4．如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，向第2022秒瓢虫在（）处．A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（3，﹣2） D．（3，1）【解答】解：∵A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴C矩形ABCD＝2（AB+AD）＝14，∵14÷2＝7（秒），∴瓢虫爬行一周需要7秒，∴2022÷7＝288……6，∴6×2＝12，∴12﹣3﹣4﹣3＝2，∴第2022秒瓢虫在（1，1）处．故选：A．5．如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2021次，点A落在A2021处，则A2021的坐标为（3033，2）．【解答】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••，发现4次一个循环，∵2021÷4＝505.....1，∴A2021的纵坐标与A1相同，横坐标＝505×6+3＝3033，∴A2021（3033，2），故答案为：（3033，2）．6．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y＝x上，OA1＝1，且△B1A1A2，B2A2A3，B3A3A4，…，△BnAnAn+1，…分别是以A1，A2，A3，…，An，…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是217．【解答】解：∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2＝，∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），∴点B10的坐标是（29，29）．∴△B10A10A11的面积是：×29×29＝217．故答案为217．7．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次运动到点（3，﹣1），…，按照这样的运动规律，点P第17次运动到的点的坐标为（17，1）．【解答】解：令P点第n次运动到的点为Pn点（n为自然数）．观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），P5（5，1），…，∴P4n（4n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．∵17＝4×4+1，∴P第17次运动到点（17，1）．故答案为：（17，1）．8．如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2020的位置，则点P2020的横坐标为2020．【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出P1、P2的横坐标是1，P3的横坐标是2.5，P4、P5的横坐标是4，P6的横坐标是5.5…依此类推下去，因为2019÷3＝673，（673﹣1）×3+2.5＝2018.5，所以P2019的横坐标为2018.5．P2020、P2021的横坐标是2020．故答案为：2020．9．某班共有50名同学，在校广播操比赛中排成方队，先把每位同学都进行编号1至50号，然后把各自的位置固定下来，如图，在平面直角坐标系中，每个自然数都对应着一个坐标．例如1的对应点是原点（0，0），3的对应点是（1，1），16的对应点是（﹣1，2）．那么编号是50号的同学的位置对应的坐标是（4，﹣3），全校学生如果排成这样一个大方阵，编号是2022的学生的对应点的坐标是（19，﹣22）．【解答】解：观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上．因为49＝72，7＝2×3+1，所以49的坐标是（3，﹣3），所以50的坐标是（4，﹣3），因为452＝2025，由2n+1＝45得n＝22，所以2022的坐标为（19，﹣22）．故答案为：（4，﹣3），（19，﹣22）．10．在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的点，且点B的横坐标为2n（n为正整数）记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为12时，m的值为15，点B的横坐标为2022时，m的值为3031．【解答】解：当点B的横坐标为2n时，在4×2n的网格图内（不包括边界），一共有3（2n﹣1）个网格点，而当n为奇数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有1个交点，当n为偶数时，4×2n的网格图的对角线AB与网格线有3个交点，∴在△OAB内部（不包括边界）的网格点个数m，当n为奇数时，m＝[3（2n﹣1）﹣1]，整理，得：m＝3n﹣2，当n为偶数时，m＝[3（2n﹣1）﹣3]，整理，得：m＝3n﹣3，∴当2n＝12，即n＝6时，m＝3×6﹣3＝15；当2n＝2022，即n＝1011时，m＝3×1011﹣2＝3031，故答案为：15；3031．11．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2022的横坐标为10110．【解答】解：由图象可知点B2022在第一象限，∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴B2022（10110，4）．∴点B2022横坐标为10110．故答案为10110．12．如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为2×（）2021．【解答】解：由题意可得，∵OB＝OA•tan60°＝2×＝2，∴B（0，2），∵OB1＝OB•tan60°＝2×＝2×（）2，∴B1（﹣2×（）2，0），∵OB2＝OB1•tan60°＝2×（）3，∴B2（0，﹣2×（）3），∵OB3＝OB2•tan60°＝2×（）4，∴B3（2×（）4，0），……∴线段OB2020的长为2×（）2021．故答案为：2×（）2021．13．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为（7，6）．【解答】解：观察图形，可知：每列的个数成等差数列．∵1+2+3+4+5+6＝21，∴第22个点为第7列从上往下的第1个．∴第22个点的坐标为（7，6）．故答案为：（7，6）．题型二等腰三角形存在性问题14．点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（）A．（4，0） B．（，0） C．（﹣2，0） D．（2，0）【解答】解：点A的坐标是（2，2），根据勾股定理可得：OA＝2，①若AP＝PO，可得：P（2，0），②若AO＝AP，可得：P（4，0），③若AO＝OP，可得：P（2，0）或（﹣2，0），∴P（2，0），（4，0），（﹣2，0），故点P的坐标不可能是：（，0）．故选：B．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣4，3）关于y轴的对称点P′，点Q（t，0）是x轴上的一个动点，当△P′QO是等腰三角形时，t值个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题可知，点P'的坐标是（4，3），则，（1）当OP'是等腰三角形的底边时，点Q就是OP'的垂直平分线与x轴的交点，根据三角形相似可得：，则t的值是；（2）当OP'是等腰三角形的腰时，若点P'是顶角顶点，则点Q就是以点P'为圆心，以OP'为半径的圆与x轴的交点，其坐标分别是（8，0），则t的值是8；若点O是顶角顶点，则点Q就是以点O为圆心，以OP'为半径的圆与x轴有2个交点，其坐标分别为（﹣5，0）、（5，0），则t的值是5或﹣5．由（1）（2）可知t的值是或8或5或﹣5．综上所述，t值个数是4个．故选：D．16．如图，在平面直角坐标系中，已知点M在坐标轴上，点B（3，3），若三角形MB0是等腰三角形，则满足条件的M点的个数是8个．【解答】解：①若等腰三角形以线段OB为腰，以点O为圆心，OB为半径的圆与坐标轴有四个交点，以点B为圆心，OB为半径的圆与坐标轴有二个交点；②若等腰三角形以线段OB为底边，作线段OB的垂直平分线与坐标轴有二个交点；故满足条件的M点有8个．17．直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点．（1）求点P关于原点的对称点P′的坐标；（2）当t取何值时，△P′TO是等腰三角形？【解答】解：（1）点P关于原点的对称点P'的坐标为（2，1）；（2），（a）动点T在原点左侧，当时，△P'TO是等腰三角形，∴点，（b）动点T在原点右侧，①当T2O＝T2P'时，△P'TO是等腰三角形，得：，②当T3O＝P'O时，△P'TO是等腰三角形，得：点，③当T4P'＝P'O时，△P'TO是等腰三角形，得：点T4（4，0）．综上所述，符合条件的t的值为．18．如图，在直角坐标平面内有两点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．（1）△ABC的形状是等腰直角三角形；（2）求△ABC的面积及AB的长；（3）在y轴上找一点P，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【解答】解：∵A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．∴OB＝OC＝OA，∴△ABC是等腰三角形，∵AO⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形，（2）∵A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．∴BC＝4，OA＝2，∴S△ABC＝BC×AO＝×4×2＝4，∵A（0，2）、B（﹣2，0），∴AB＝＝2，（3）设点P（0，m），∵A（0，2）、B（﹣2，0），∴AB＝2，BP＝，AP＝|m﹣2|，∵△PAB是等腰三角形，∴①当AB＝BP时，∴2＝，∴m＝2（舍）或m＝﹣2，∴P（0，﹣2），②当AB＝AP时，∴2＝|m﹣2|，∴m＝2+2或m＝2﹣2，∴P（0，2﹣2）或P（0，2+2）③当AP＝BP时，∴|m﹣2|＝，∴m＝0，∴P（0，0），∴P（0，﹣2）或P（0，2﹣2）或P（0，2+2）或P（0，0）．19．如图，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（6，0），在x轴上确定一点P，使△PAB为一个等腰三角形，则P点的坐标可以是（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）．【解答】解：①以AB为底边时，作AB的垂直平分线交x轴于点P1，则P1A＝P1B设点P的坐标为（a，0）则a2+82＝（6﹣a）2解得：a＝﹣∴P1（﹣，0）②当以AB为腰A为顶点时，如图2，以A为圆心，以AB的长为半径作圆，交x轴于点P2，此时OB＝OP2，故p2的坐标为（﹣6，0）③以AB为腰B为顶点时，如图3，以B为圆心以BA的长为半径作圆交x轴于点P3和P4，此时BP3＝BP4＝AB＝10，∴点P3的坐标为（16，0），点P4的坐标为（﹣4，0）故答案为：（﹣，0）或（﹣6，0）或（16，0）或（﹣4，0）20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（20，0），（0，8），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以10为腰长的等腰三角形时，点P的坐标为（6，8）或（4，8）或（16，8）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝10，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝8．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝6，∴OE＝OD﹣DE＝10﹣6＝4，∴此时点P坐标为（4，8）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝10．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝6，∴此时点P坐标为（6，8）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝10，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝8．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝6，∴OE＝OD+DE＝10+6＝16，∴此时点P坐标为（16，8）．综上所述，点P的坐标为：（4，8）或（6，8）或（16，8）．故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）．21．在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BA⊥y轴，线段BC⊥x轴于C点，且（a+2）2+＝0．（1）求A，C两点的坐标．（2）若点D是BC的中点，点E是线段OD上一动点，记点E的横坐标为m，请用含m的代数式表示△AEC的面积．（3）在（2）的条件下，当点E运动到OD的中点处时，请在x轴上确定一点P，使得△AEP为等腰三角形．（直接写出P点坐标，不用说明理由）．【解答】解：（1）∵（a+2）2+＝0，∴a+2＝0，且2a+b＝0，∴a＝﹣2，b＝4，即点B的坐标为（﹣2，4），∴OC＝2，OA＝4，∴A（0，4），C（﹣2，0）．（2）∵B（﹣2，4），C（﹣2，0），D是BC的中点，∴D（﹣2，2），∴直线OD对应的函数表达式是y＝﹣x．∵E的横坐标是m，∴E的纵坐标为﹣m，即E（m，﹣m）．∴S△AEC＝S△AOC﹣S△AOE﹣S△COE＝×2×4﹣×4×（﹣m）﹣×m×2＝m+4．（3）设P的坐标为（x，0）．∵E是OD的中点，D（﹣2，2），∴E（﹣1，1）．∵P（x，0），E（﹣1，1），A（0，4），∴AP＝，AE＝＝，PE＝．①AP＝AE时，＝，无解；②AP＝PE时，＝，则x＝7；③AE＝PE时，＝，则x＝2或x＝﹣4．综上，点P的坐标为（7，0），（2，0）或（﹣4，0）．题型三其他综合问题22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为（）A．2 B． C． D．【解答】解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H，∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP，∴△APQ≌△APG（SAS），∴PQ＝PG，∴OP+PQ＝OP+PG，∵点O到直线AB上垂线段最短，∴OP+PG最小值为OH的长度，∵S△ABC＝AB•OH＝AO•BO，∴OH＝＝＝，∴OP+PQ的最小值为，故选：D．23．如图，平面直角坐标系中，A（4，4），B为y轴正半轴上一点，连接AB，在第一象限作AC＝AB，∠BAC＝90°，过点C作直线CD⊥x轴于D，直线CD与直线y＝x交于点E，且ED＝5EC，则直线BC解析式为y＝﹣x+10．【解答】解：过A作AM⊥y轴，交y轴于M，交CD于N，则∠BMA＝∠ANC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAM+∠CAN＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠CAN，∵A（4，4），∴OM＝DN＝4，AM＝4，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AN＝BM，CN＝AM＝4，∵ED＝5EC，∴设EC＝a，ED＝5a，∵A（4，4），∴点A在直线y＝x上，∵CN＝4a﹣4，则4a﹣4＝4，∴a＝2，即CD＝8，ED＝10．∵点E在直线y＝x上，∴E（10，10），∴MN＝10，C（10，8），∴AN＝BM＝10﹣4＝6，∴B（0，10），设直线BC的解析式是y＝kx+10，把C（10，8）代入得：k＝﹣，即直线BC的解析式是y＝﹣x+10，故答案为：y＝﹣x+10．24．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴PA＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．25．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD边上的一点，且DE＝2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．（1）请以A点为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，并用t表示出点P处在AB、BC、CD线段时的坐标．当0＜t≤5时，P在AB上，P1（2t，0）；当5＜t≤9时，P在BC上，P2（10，2t﹣10）；当9＜t≤13时，P在CD上，P3（26﹣2t，8）；（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）正确画出直角坐标系如下：当0＜t≤5时P1（2t，0）；当5＜t≤9时P2（10，2t﹣10）；当9＜t≤13时P3（26﹣2t，8）；故答案为：2t，0；10，2t﹣10；26﹣2t，8；（2）存在，理由如下：①如图1，当0＜t≤5时，S△APE＝×2t•8＝20，解得t＝，∴P（，0）；②如图2，当5＜t≤9时，S△APE＝80﹣S△ADE﹣S△ABP﹣S△PCE，20＝80﹣×8×2﹣×10•（2t﹣10）﹣×8×（18﹣2t），解得：t＝15＞9（不合题意，舍去）；③如图3，当9＜t≤13时，S△APE＝×8×（26﹣2t）＝20，解得t＝，∴P（5，8）；综上所述：当P（，0）或（5，8）时，△APE的面积等于20cm2．26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．（1）直接写出点B和点C的坐标B（0，6）、C（8，0）；（2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围；（3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APD＝S四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0），故答案为：0、6，8、0；（2）当点P在线段BA上时，由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t，∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）；当点P在线段AC上时，∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）．（3）存在两个符合条件的t值，当点P在线段BA上时∵S△APD＝AP•ACS四边形ABOC＝AB•AC∴（8﹣2t）×6＝×8×6，解得：t＝3＜4，当点P在线段AC上时，∵S△APD＝AP•CDCD＝8﹣2＝6∴（2t﹣8）×6＝×8×6，解得：t＝5＜7，综上所述：当t为3秒和5秒时S△APD＝S四边形ABOC，27．如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO＝8，OA＝OB，BC＝10，点P的坐标是（﹣6，a），（1）求△ABC三个顶点A、B、C的坐标；（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵S△ABO＝OA•OB，∵OA＝OB，∴OA2＝8，解得OA＝4，∴OB＝OA＝4，∴OC＝BC﹣OB＝10﹣4＝6，∴A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（6，0）；（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，S△PAB＝S△AOB+S梯形BOHP﹣S△PBH＝8+（4+6）•a﹣•6•（a+4）＝2a﹣4；当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，S△PAB＝S梯形OHPA﹣S△PBH﹣S△OAB＝（﹣a+4）•6﹣•（6﹣4）•（﹣a）﹣8＝4﹣2a；（3）S△ABC＝×10×4＝20，当2a﹣4＝20，解得a＝12．此时P点坐标为（﹣6，12）；当4﹣2a＝20，解得a＝﹣8．此时P点坐标为（﹣6，﹣8）．综上所述，点P的坐标为（﹣6，12）或（﹣6，﹣8）．28．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．（1）求点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）点B在点A的右边时，﹣1+3＝2，点B在点A的左边时，﹣1﹣3＝﹣4，所以，B的坐标为（2，0）或（﹣4，0）；（2）△ABC的面积＝×3×4＝6；（3）设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝，点P在y轴正半轴时，P（0，），点P在y轴负半轴时，P（0，﹣），综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．29．已知点A（a，0）、B（b，0），且（a+4）2+|b﹣2|＝0．（1）求a、b的值．（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣4，b＝2；（2）如图1，∵A（﹣4，0）、B（2，0），∴AB＝6，∵三角形ABC的面积是15，∴AB•OC＝15，∴OC＝5，∴C（0，5）；（3）存在，如图2，∵三角形ABC的面积是15，∴S△ACD＝CD•OC＝15，∴CD×5＝15，∴CD＝3，∴D（3.5）或（﹣3，5）．30．正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD∥BC∥x轴，AD与y轴交于点E，OE＝1，且AE，DE的长满足|＝0．（1）求点A的坐标；（2）若P（﹣4，﹣1），求△EPC的面积；（3）在（2）的条件下，正方形ABCD的边上是否存在点M，使S△EPC＝2S△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|＝0．∴AE＝3，DE＝1，∵OE＝1，∴点A（﹣3，1）；（2）如图，过点P作PH⊥AD，交DA的延长线于H，∵P（﹣4，﹣1），点A（﹣3，1），∴PH＝2，HE＝4，∵AE＝3，DE＝1，∴DH＝5，AD＝CD＝4，点C（1，﹣3），∴S△EPC＝S梯形PCDH﹣S△PHE﹣S△DEC＝﹣×2×4﹣×1×4＝9；（3）∵S△EPC＝2S△CEM，∴S△CEM＝4.5，∵S△AEC＝×3×4＞4.5，S△DEC＝×1×4＝2＜4.5，∴点M不在AB和CD上，当点M在AE上时，∵S△CEM＝×EM×4＝4.5，∴EM＝，∴点M的坐标为（﹣，1），当点M在BC上时，∵S△CEM＝×CM×4＝4.5，∴CM＝，∵点C（1，﹣3），∴点M的坐标为（﹣，﹣3），综上所述：点M的坐标为（﹣，1）或（﹣，﹣3）．题型四行程问题31．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：①a＝4.5；②甲的速度是60km/h；③乙刚开始的速度是80km/h；④乙出发第一次追上甲用时80min．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：由图象可得，a＝4+0.5＝4.5，故①正确；甲的速度是460÷（7+）＝60（km/h），故②正确；设乙刚开始的速度是vkm/h，则后来的速度为（v﹣50）km/h，4v+（7﹣4.5）×（v﹣50）＝460，解得v＝90，故③错误；设乙出发第一次追上甲用时th，90t＝60（t+），解得t＝，h＝80min，故④正确；故选：B．32．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了36分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；故①结论正确；设乙的速度为：x米/分，由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，解得x＝80，∴乙的速度为80米/分；∴乙走完全程的时间＝＝30（分），故②结论错误；由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；故③结论错误；乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），故④结论错误；故正确的结论有①共1个．故选：A．33．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是（）A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③【解答】解：甲的速度为：8÷2＝4（米/秒）；乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）；b＝5×100﹣4×（100+2）＝92（米）；5a﹣4×（a+2）＝0，解得a＝8，c＝100+92÷4＝123（秒），∴正确的有①②③．故选：A．34．甲乙两人在同一条笔直的公路上步行从A地去往B地．已知甲、乙两人保持各自的速度匀速步行，且甲先出发，甲乙两人的距离y（千米）与甲步行的时间t（小时）的函数关系图象如图所示，下列说法：①乙的速度为7千米/时；②乙到终点时甲、乙相距8千米；③当乙追上甲时，两人距A地21千米；④A、B两地距离为27千米．其中错误的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D