新人教版高二暑期数学衔接第06讲空间向量及其运算讲义(学生版+解析)

第06讲空间向量及其运算【学习目标】1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空

间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的

相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相

对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来

解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算【解读】利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识.三、向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb

.四、共面向量定理1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一

的有序实数对(x,y),使p=xa【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过

证明下列结论来证明三点共线:(1)存在实数λ,使成立;(2)对空间任一点O,有(t∈R);(3)对空间任一点O,有(x+y=1).五、空间向量的数量积及运算律1.数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2.空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【解读】1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算.(2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代

入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入向量的数量积公式进行运算求解.3.求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉.4.求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加

上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.【考点剖析】考点一：对空间向量有关概念的理解例1．下列说法正确的是(

)A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：______．考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．(2023学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则(

)A． B．C． D．考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；(2)；(3).考点五：利用数量积公式进行计算例5．(2023学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为(

)A．1 B． C． D．考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．(2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(

)A． B． C． D．【真题演练】1.(2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期期中联考)两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是(

)A．的充要条件为B．的充要条件为C．的充要条件为存在实数使得D．的充要条件为2.(2023学年上海市控江中学高二下学期期中)下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是(

)A． B．C． D．3.(2023学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考)在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且，若，则(

)A． B． C． D．4.(多选)(2023-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是(

)A．B．C．D．5.(多选)(2023学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则(

)A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为6．(2023学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考)在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______7.(2023学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.8．(2023学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中)如图，在正方体中，化简下列向量表达式：(1)；(2)．.【过关检测】1.(2023学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中)已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是(

)A． B．C． D．2.(2023学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中)已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则(

)A． B． C． D．3.(2023学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中)设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量(

)A．互不相等 B．有且仅有两个相等 C．都相等 D．以上均有可能4.(2023学年四川省雅安中学高二下学期3月月考)在正方体中，点P满足，且，若二面角的大小为，O为的中心，则(

)A． B． C． D．5.(多选)(2023学年浙江省宁波市慈溪市高二上学期期末)在长方体中，则(

)A． B．C． D．6．(2023学年广东省广州市增城区高二上学期期末)下列说法正确的是(

)A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是三个空间向量，则一定不共面C．设是两个空间向量，则D．设是三个空间向量，则7.(2023学年河南省焦作市高二上学期期末)已知在四面体ABCD中，，，则______．8.(2023学年江苏省盐城市响水中学高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为__________.9.(2023-2020学年北京大学附中石景山学校高二上学期期中)如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.(1)用向量和表示向量；(2)向量是否与向量，共面？10．(2023学年安徽省亳州市第一中学高二上学期10月质量检测)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.(1)判断，，三个向量是否共面；(2)若三棱锥为棱长为2正四面体，求.第06讲空间向量及其运算【学习目标】1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程【基础知识】一、空间向量的有关概念1.定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度(模):空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.3.表示法(1)字母表示法:空间向量用字母a,b,c,…表示;(2)几何表示法:空间向量用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或.【解读】1.空间向量表示空间内具有大小和方向的量,平面向量表示平面内具有大小和方向的量,空

间向量是在平面向量基础上进一步学习的知识内容,它们的运算规律完全相同,空间向量的

相关定理及公式与平面向量类似,可以类比学习;2.在空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相

对应的概念完全相同;3.由于向量是由其模和方向确定的,所以解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来

解决;4.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量共线,这一点说明向量共线不具有传递性.二、空间向量的线性运算【解读】利用三角形法则或平行四边形法则进行向量加、减法运算时,务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果;利用数乘运算解题时,要结合具体图形,在化简过程中要有目标意识.三、向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb

.四、共面向量定理1.共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一

的有序实数对(x,y),使p=xa【解读】1.若两个非零向量共线,则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合,证明空间图形中两直线平行,可以先用向量法证明两直线的方向向量平行,然后说明一条直线上有一点不在另一条直线上,从而推得两直线平行,不能由向量平行直接推出直线平行.2.空间三点共线可以通过向量共线来证明,根据共线向量定理,对于空间三点A,B,C,可通过

证明下列结论来证明三点共线:(1)存在实数λ,使成立;(2)对空间任一点O,有(t∈R);(3)对空间任一点O,有(x+y=1).五、空间向量的数量积及运算律1.数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．2.空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【解读】1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算.(2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代

入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入向量的数量积公式进行运算求解.3.求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式求cos〈a,b〉,最后确定〈a,b〉.4.求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量);(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题;(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值;(4)异面直线所成的角为锐角或直角,利用向量的数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加

上绝对值,进而求出异面直线所成的角的大小.【考点剖析】考点一：对空间向量有关概念的理解例1．下列说法正确的是(

)A．零向量没有方向B．空间向量不可以平行移动C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D．同向且等长的有向线段表示同一向量答案:D解析：对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选D.考点二：空间向量的线性运算例2．化简算式：______．答案:解析：由题意得.考点三：几何体中空间向量的线性运算例3．(2023学年福建省福安市第一中学高二下学期第三次月考)如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则(

)A． B．C． D．答案:D解析：由题意得，.故选D考点四：几何体中共线共面定理的应用例4．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；(2)；(3).解析：(1)因为，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因为有公共点，有公共点，所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面，(2)因为，所以；(3)考点五：利用数量积公式进行计算例5．(2023学年江苏省徐州市睢宁县高二下学期线上期中)如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为(

)A．1 B． C． D．答案:D解析：由题意得，故.故选D.考点六：利用数量积公式求长度或距离例6．(2023学年江苏省常州市金坛区高二下学期期中)如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为(

)A． B． C． D．答案:C解析：由题意得，，因为,所以，所以，故选C【真题演练】1.(2023学年四川省成都市蓉城名校联盟高二下学期期中联考)两个不同平面，的法向量分别为非零向量，，两条不同直线，的方向向量分别为非零向量，，则下列叙述不正确的是(

)A．的充要条件为B．的充要条件为C．的充要条件为存在实数使得D．的充要条件为答案:D解析：选项A：.判断正确；选项B：.判断正确；选项C：存在实数使得.判断正确；选项D：若，则有；若，则有或，则是的充分不必要条件.判断错误.故选D2.(2023学年上海市控江中学高二下学期期中)下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是(

)A． B．C． D．答案:D解析：对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选D.3.(2023学年浙江省北斗联盟高二上学期中联考)在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且，若，则(

)A． B． C． D．答案:D解析：令，则，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以所以,因为，，所以，所以，解得，故选D4.(多选)(2023-2021学年江苏省常州市第一中学高二下学期期中)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，一定成立的是(

)A．B．C．D．答案:ABD解析：由题可知，可做如图所示的长方体，设.，，故A正确；，故B正确；∵平面，∴，，∴，但无法判断AE和BC是否垂直，故C不一定正确；由图易知，故＝0，故D正确.故选ABD．5.(多选)(2023学年辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高二上学期期中)已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则(

)A．B．C．D．异面直线与所成角的余弦值为答案:BD解析：设，，，则，，，，，，，，所以．故选BD.6．(2023学年安徽省安庆市潜山第二中学高二上学期月考)在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______答案:解析：画出对应的正四面体，则.7.(2023学年江苏省徐州市沛县高二下学期第二次学情调研)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.答案:解析：根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.8．(2023学年河北省唐山市第十一中学高二上学期期中)如图，在正方体中，化简下列向量表达式：(1)；(2)．解析：(1)依题意.(2)依题意.【过关检测】1.(2023学年江苏省连云港市赣榆区高二下学期期中)已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是(

)A． B．C． D．答案:D解析：设，若点与点共面，则，对于选项A：，不满足题意；对于选项B：，不满足题意；对于选项C：，不满足题意；对于选项D：，满足题意.故选D.2.(2023学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中)已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则(

)A． B． C． D．答案:D解析：，由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线可得，解之得，故选D3.(2023学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中)设A、B、C、D是空间中不共面的四点，令，，，则、、三个向量(

)A．互不相等 B．有且仅有两个相等 C．都相等 D．以上均有可能答案:B解析：，，若，则，即，则B，C重合，于是A、B、C、D共面，矛盾，所以，即、、三个向量有且仅有两个相等，故选B4.(2023学年四川省雅安中学高二下学期3月月考)在正方