回归教材重难点09解直角三角形及其应用(原卷版+解析)

回归教材重难点09解直角三角形及其应用本考点是中考五星高频考点，难度中等，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年黑龙江省中考数学试卷第10题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．点评：本题考查的是解直角三角形的应用——坡度角度问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键。解直角三角形及其应用是中考数学中的必考考点，其考察内容主要包括锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形与其应用等。一般会以仰角俯角、测楼高树高等问题出现，还经常会和圆、三角形、网格等几何图形结合，计算中需要更加仔细一点。本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法01：解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三边关系：两锐角关系：边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常见应用技法03：解直角三角形应用常见辅助线在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③（4）常用结论：【中考真题练】1．(2023•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m2．(2023•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）A． B． C． D．3．(2023•黔东南州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（）A． B． C． D．4．(2023•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．35．(2023•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．6．(2023•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝小时．7．(2023•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝．8．(2023•赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高度约为m．（结果取整数，≈1.7）9．(2023•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米．10．(2023•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是．11．(2023•河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝．12．(2023•河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．（1）求∠C的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan76°取4，取4.1）13．(2023•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）14．(2023•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．【中考模拟练】1．（2023•宁德模拟）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的长为10m，倾斜角为α，则自动扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．2．（2023•滨江区一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶A点处，以49°的俯角看到一盏路灯的底部B点，小辉在这幢楼的C点处，以32°的俯角看到这盏路灯的底部B点．路灯到楼的距离BD＝20米，点A，C，D在同一直线上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离AC约为（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米3．（2023•美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（）A． B． C． D．4．（2023•青羊区模拟）如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户AB高为2米，BCD表示直角遮阳棚，墙BC长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为α，测得tanα＝，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽CD应设计为米．5．（2023•市南区一模）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为平方英寸．6．（2023•南岗区一模）在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为．7．（2023•建邺区一模）如图，甲楼AB和乙楼MN高度相等，甲楼顶部有一个竖直广告牌AC．从乙楼顶部M处测得C的仰角为11°，从与N点相距10m的F处测得A，C的仰角分别为60°，63°．求广告牌AC的高度．（参考数据：tan11°≈0.2．tan63°≈2.0，≈1.7．）8．（2023•吴兴区一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AF∥BE，，箱盖开启过程中，点B，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，E′的位置，点E′在线段EB的延长线上．若直线BE⊥B′E′．（1）求旋转角∠EAE′的度数．（2）若BE′＝28，求AB的长度．回归教材重难点09解直角三角形及其应用本考点是中考五星高频考点，难度中等，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年黑龙江省中考数学试卷第10题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（）米A．600﹣250 B．600﹣250 C．350+350 D．500分析：设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．点评：本题考查的是解直角三角形的应用——坡度角度问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键。解直角三角形及其应用是中考数学中的必考考点，其考察内容主要包括锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形与其应用等。一般会以仰角俯角、测楼高树高等问题出现，还经常会和圆、三角形、网格等几何图形结合，计算中需要更加仔细一点。本考点是中考五星高频考点，难度中等及中等偏上，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法01：解直角三角形相关：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三边关系：两锐角关系：边与角关系：，，，锐角α是a、b的夹角面积：仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡技法02：解直角三角形常见应用技法03：解直角三角形应用常见辅助线在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合平面几何知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题，常见的构造的基本图形有如下几种：（1）不同地点看同一点，如图①（2）同一地点看不同点，如图②（3）利用反射构造相似，如图③（4）常用结论：【中考真题练】1．(2023•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m分析：根据题意得到AB⊥BC，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：该建筑物AB的高度约为37m．故选：C．2．(2023•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（）A． B． C． D．分析：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵点A，B，C都在格点上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝＝＝＝cos∠ADC，故选：B．3．(2023•黔东南州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD＝12，PA＝8，则sin∠ADB的值为（）A． B． C． D．分析：连接AO，BO，根据切线长定理，圆周角定理，锐角三角函数解答即可．【解答】解连接AO，BO，∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB＝8，∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∴，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC，∴sin∠ADB＝sin∠AOC＝＝．故选：A．4．(2023•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3分析：根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故选：C．5．(2023•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．分析：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，∵EC2+DC2＝DE2，故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝．故选：B．6．(2023•荆门）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝（1+）小时．分析：根据题意可得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间＝路程÷速度，进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小时，故答案为：（1+）．7．(2023•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝﹣1．分析：用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，∴AD＝AE+DE＝（+1）a，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，故答案为：﹣1．8．(2023•赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高度约为17m．（结果取整数，≈1.7）分析：由光的反射原理可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，则BO＝BD﹣DO＝10m，在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解方程可求得AB．【解答】解：由题意可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解得AB≈17，∴旗杆AB的高度约为17m．故答案为：17．9．(2023•桂林）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是20米．分析：先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．10．(2023•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为9m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是α﹣β＝7.5°．分析：（1）连接A′A并延长交EF于点H，易证四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，可得HE＝AB＝1m，HD＝EB＝8m，再根据在点A观测点F的仰角为45°，可得HF＝HD＝8m，即可求出FE的长；（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，根据入射角等于反射角，可得∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，根据HF＝8m，HA′＝8m，解直角三角形可得∠HFA′＝60°，从而可得∠AFA′的度数，根据三角形外角的性质可得∠FA′R＝7.5°+∠FAK，再根据平行线的性质可表示∠DAB和∠D′A′B′，从而可得α与β的数量关系．【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，∵在点A观测点F的仰角为45°，∴∠HAF＝45°，∴∠HFA＝45°，∴HF＝HD＝8，∴EF＝8+1＝9（m），故答案为：9；（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：则∠FAM＝2∠FAK，∠FA′N＝2∠FA′R，∵HF＝8m，HA′＝8m，∴tan∠HFA′＝，∴∠HFA′＝60°，∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，∵太阳光线是平行光线，∴A′N∥AM，∴∠NA′M＝∠AMA′，∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，∵AB∥EF，A′B′∥EF，∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，故答案为：α﹣β＝7.5°．11．(2023•河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝．分析：先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH（SAS），得出∠BAG＝∠EBH，进而求出∠AOB＝90°，再判断出△AOB∽△ABG，求出，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案．【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，BE＝BC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE＝AD，∴四边形ABEF是矩形，由题意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH＝BE＝2，∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴，∴＝＝，∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴，∵点N是AF的中点，∴AN＝AF＝，∴＝，∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，故答案为：．12．(2023•河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．（1）求∠C的大小及AB的长；（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan76°取4，取4.1）分析：（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，根据tanC＝，BC＝1.7m，可得AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），（2）过O作AB的垂线交MN于D，交圆于H，即可画出线段DH，表示最大水深，根据OA＝OM，∠BAM＝7°，AB∥MN，可得∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，即知MD＝4OD，设OD＝xm，则MD＝4xm，有x2+（4x）2＝3.42，解得OD＝0.82m，从而DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝2.58≈2.6（m）．【解答】解：（1）∵嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝76°，∵tanC＝，BC＝1.7m，∴tan76°＝，∴AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），答：∠C＝76°，AB的长为6.8m；（2）图中画出线段DH如图：∵OA＝OM，∠BAM＝7°，∴∠OMA＝∠OAM＝7°，∵AB∥MN，∴∠AMD＝∠BAM＝7°，∴∠OMD＝14°，∴∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，tan∠MOD＝，∴tan76°＝，∴MD＝4OD，设OD＝xm，则MD＝4xm，在Rt△MOD中，OM＝OA＝AB＝3.4m，∴x2+（4x）2＝3.42，∵x＞0，∴x＝≈0.82，∴OD＝0.82m，∴DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝3.4﹣0.82＝2.58≈2.6（m），答：最大水深约为2.6米．13．(2023•枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）分析：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，由锐角三角函数定义得OP≈1.5x（米），OP≈0.8（x+10）（米），则1.5x＝0.8（x+10），解得x＝，即可解决问题．【解答】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．14．(2023•自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：（1）探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．（2）实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（≈1.73，结果精确到0.1米）（3）拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．分析：（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长；（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含α、β、m的式子表示出PH．【解答】解：（1）∵∠COG＝90°，∠AON＝90°，∴∠POC+∠CON＝∠GON+∠CON，∴∠POC＝∠GON；（2）由题意可得，KH＝OQ＝5米，QH＝OK＝1.5米，∠PQO＝90°，∠POQ＝60°，∵tan∠POQ＝，∴tan60°＝，解得PQ＝5米，∴PH＝PQ+QH＝5+1.5≈10.2（米），即树高PH为10.2米；（3）由题意可得，O1O2＝m，O1E＝O2F＝DH＝1.5米，由图可得，tanβ＝，tanα＝，∴O2D＝，O1D＝，∵O1O2＝O2D﹣O1D，∴m＝﹣，∴PD＝，∴PH＝PD+DH＝（+1.5）米．【中考模拟练】1．（2023•宁德模拟）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的长为10m，倾斜角为α，则自动扶梯的垂直高度BC等于（）A．10tanα B． C．10sinα D．分析：直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝10sinα．故选：C．2．（2023•滨江区一模）如图，小聪在一幢楼的楼顶A点处，以49°的俯角看到一盏路灯的底部B点，小辉在这幢楼的C点处，以32°的俯角看到这盏路灯的底部B点．路灯到楼的距离BD＝20米，点A，C，D在同一直线上．已知sin49°＝0.7547，cos49°＝0.6561，tan49°＝1.1504，sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8481，tan32°＝0.6249．则小聪和小辉所在测量位置之间的距离AC约为（）A．4.5米 B．9.1米 C．10.5米 D．14.7米分析：在Rt△BCD中，，即，在Rt△BAD，，即，分别求出AD、CD的长，即可得到AC的长．【解答】解：根据题意可得：∠ABD＝49°，∠CBD＝32°，AD⊥BD，在Rt△BCD中，，即，∴CD＝tan32°×20≈0.6249×20＝12.498米，在Rt△BAD，，即，∴AD＝tan49°×20≈1.1504×20＝23.008米，∴AC＝AD﹣CD＝23.008﹣12.498＝10.51≈10.5米，∴小聪和小辉所在测量位置之间的距离AC约为10.5米，故选：C．3．（2023•美兰区校级二模）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为（）A． B． C． D．分析：先求出三角形ABC的三边长，发现三角形是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出角的余弦值．【解答】解：∵AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝，∴△ABC为等腰三角，如图所示，过点B作BD⊥AC，垂足为D，∴AD＝AC＝×2＝，∴cos∠BAC＝＝＝．故选：A．4．（2023•青羊区模拟）如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户AB高为2米，BCD表示直角遮阳棚，墙BC长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为α，测得tanα＝，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽CD应设计为1.5米．分析：过点A作地面的平行线AF，则∠DAF＝α，过点D作DF⊥AF，则四边形AFDC是矩形，CD＝AF，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作地面的平行线AF，过点D作DF⊥AF，∵太阳光与地面的最大夹角为α，∴∠DAF＝α，∵CE垂直于地面，∴CE⊥AF，∵CD⊥CE，DF⊥AF，∴四边形AFDC是矩形，∴CD＝AF，AC＝DF，∵AB＝2米，BC＝0.5米，∴AC＝AB+BC＝2+0.5＝2.5（米），∴DF＝2.5米，∵tanα＝，∴＝，即＝，解得AF＝1.5（米），∴遮阳棚水平宽CD应设计为1.5米．故答案为：1.5．5．（2023•市南区一模）图1为某型号汤碗，截面如图2所示，碗体部分为半圆，直径AB为4英寸，碗底CD与AB平行，倒汤时碗底CD与桌面MN夹角为30°，则汤的横截面积（图3阴影部分）为（﹣）平方英寸．分析：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，根据平行线的性质可求∠OBE＝30°，则∠BOE＝120°，阴影部分的面积＝扇形OBE的面积﹣△OBE的面积．【解答】解：延长AB与MN交于点H，设AB的中点为O，连接OE，过O点作OG⊥BE交于点G，∵CD与MN成角为30°，CD∥AB，∴∠AHC＝30°，∵BE∥MN，∴∠ABE＝30°，∵OE＝OB，∴∠BOE＝120°，∵AB＝4英寸，∴OB＝OE＝2英寸，在Rt△OBG中，OG＝OB＝1，BG＝，∵OG⊥BE，∴BE＝2BG＝2，∴S△BEO＝2×1＝（平方英寸），∵S扇形OEB＝＝（平方英寸），∴S阴影＝（﹣）平方英寸，故答案为：（﹣）．6．（2023•南岗区一模）在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在AC上，AD＝2AE，连接BD交CE于点F，2∠ECA+∠BFE＝90°，，BC＝39，则CD长为．分析：利用“2∠ECA+∠BFE＝90°”构造全等形，利用“”得到EC，AE，AC之间的关系，从而得出BE，CD与它们之间的关系，最后在Rt△BCE中利用勾股定理解出即可．【解答】解：在BE上取一点G，使EG＝EA，连接GC，则AG＝2AE，∵AD＝2AE，∴AD＝AG，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠GEC＝90°，在△ACE和△GCE中，∴△ACE≌△GCE（SAS），∴∠ECA＝∠ECG，∴∠ACG＝2∠ECA，∵CE⊥AB，∴∠ABD+∠BFE＝90°，∵2∠ECA+∠BFE＝90°，∴∠ABD＝2∠ECA，∴∠ABD