专题1.3 交集、并集（六大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题1.3交集、并集课程标准学习目标1、理解并集、交集的概念.2、会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.3、会求简单集合的并集和交集．4、理解掌握区间与集合的关系，并能应用它们解决一些简单的问题．1、数学抽象：并集、交集的集合描述2、逻辑推理：应用并集、交集的性质去解决问题3、数学运算：并集、交集的运算及与之有关的求参数问题4、直观想象：利用Venn图和数轴表示并集、交集.5、数学建模：用集合思想解决实际应用题知识点01并集1、一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”，2、数学表达式：．3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：ABBABBAB4、并集的性质对于任意两个集合A与集合B，有：=1\*GB3①；②；③；④如果，则，反之也成立．【即学即练1】（2023·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，因为，所以，故选：B知识点02交集1、一般地，给定两个集合A，B由既属于A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作，读作“A交B”．2、数学表达式：．3、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：ABBABBAB4、交集的性质对于任意两个集合A与集合B，有：=1\*GB3①；②；③；④如果，则，反之也成立．【即学即练2】（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=．【答案】【解析】由题意可得，解方程可得，故．故答案为：知识点03区间（1）设是两个实数，而且．我们规定：①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为．这里的实数与都叫做相应区间的端点．实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大"．我们可以把满足的实数的集合，用区间分别表示为，，，．（2）区间的几何表示【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）用区间表示集合．【答案】【解析】集合用区间表示为.故答案为：题型一：集合的交集运算例1．（2023·上海金山·高一校联考阶段练习）已知集合，，则.【答案】【解析】.故答案为：例2．（2023·上海浦东新·高一校考期末）已知集合,,则；【答案】【解析】解:由题知,,所以.故答案为:例3．（2023·上海闵行·高一统考期末）若集合，则．【答案】【解析】因为集合，由交集的定义可得：，故答案为：.变式1．（2023·高一课时练习）已知集合，，则．【答案】【解析】因为或，故或，故答案为：或.【方法技巧与总结】求集合A∩B的步骤与注意点（1）步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素；②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式；③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可（相同元素只写一个）．（2）注意：若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．题型二：并集运算例4．（2023·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知全集，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，因为，所以.故选：A.例5．（2023·高一单元测试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，所以.故选：A例6．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由集合，知．故选：A.变式2．（2023·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期中）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则故选：C【方法技巧与总结】求集合并集的两个方法（1）若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集．（2）若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得．题型三：区间的表示例7．（2023·高三课时练习）用区间表示不等式的解集，该集合为.【答案】【解析】由，得，所以不等式的解集为.故答案为：例8．（2023·高一课时练习）将集合用区间表示为.【答案】/【解析】根据题意，集合表示大于等于1小于5，且不等于3的实数的集合.故可用区间表示为：故答案为：.例9．（2023·高一课时练习）若为一确定区间，则a的取值范围是．【答案】【解析】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得：，所以a的取值范围是．故答案为：变式3．（2023·高一课时练习）用区间表示下列集合．（1）：；（2）：；（3）：；（4）R：．【答案】/【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；故答案为：；；；【方法技巧与总结】题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算例10．（2023·全国·高三对口高考）已知全集，集合，或，那么集合等于．【答案】【解析】因或，得，又因，故答案为：例11．（2023·高一课时练习）设全集，若，，，则．【答案】【解析】全集，作出韦恩图如下图所示：由图形可知集合，，因此，.故答案为.例12．（2023·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）设全集，，，，则集合.【答案】【解析】，则，，，，设集合中的另一个元素为，由韦达定理得，得，.，又，，设集合中另一个元素为，由韦达定理得，得，因此，，故答案为.变式4．（2023·河南郑州·高一郑州市第二高级中学校考阶段练习）设为全集，对集合、，定义运算“*”，．对于集合，，，，则．【答案】.【解析】由于，，，，则，由题中定义可得，则，因此，，故答案为.变式5．（2023·北京·高一阶段练习）设全集，集合，则．【答案】【解析】，则集合中的元素为所有能被整除的整数，表示所有不能被整除的整数，即，∵集合中的元素为所有能被整除的整数，表示所有能被整除但不能被整除的整数，即，故答案为：.变式6．（2023·河北衡水·高一河北冀州中学阶段练习）已知，，，，则．【答案】【解析】，且，，，.故答案为：.变式7．（2023·内蒙古赤峰·高一阶段练习）设集合都是的子集，已知，，则等于．【答案】{3,4}【解析】由，即，则．故答案为：.【方法技巧与总结】求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴（这也是集合的图形语言的常用表示方式）可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．题型五：已知集合的交集、并集求参数例13．（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）已知集合，，求：(1)；(2)；(3)若且，求m的取值范围.【解析】（1）由题意知集合，，故；（2）或，故；（3）因为，且，故，故.例14．（2023·高一单元测试）已知集合或，．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）因为，所以解得．故的取值范围是．（2）因为，所以，则或，解得或．故的取值范围是．例15．（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数m的取值范围．【解析】因为，所以当时，；当时，，因为，所以，因为，所以当时，显然不满足；当时，或，解得或，所以实数m的取值范围为或.变式8．（2023·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，集合．(1)若时，求，；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）因为，当时，，又因为，所以．因为或，所以或；（2）时，当时，，解得，当时，或，解得或，综上，实数的取值范围是或.变式9．（2023·全国·高一假期作业）设集合,(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，，；（2），当时，满足题意，此时，解得；当时，解得，实数m的取值范围为.变式10．（2023·广东深圳·高一统考期末）集合，集合.(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围.【解析】（1）解不等式，得，所以，当时，则，所以，；（2）因为，所以当时，，即，此时；当时，，则，解得:，综上所述，实数m的取值范围是.变式11．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）设集合.(1)讨论集合与的关系；(2)若，且，求实数的值.【解析】（1），当时，；当时，，是的真子集.（2）当时，因为，所以，所以.当时，解得（舍去）或，此时，符合题意.当时，解得，此时符合题意.综上，或.变式12．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.(1)若，求的取值范围．(2)若，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以.当时，满足，此时解得；当时，要使，则解得.综上，的取值范围为.（2）因为，所以解得.变式13．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知集合或.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为或所以，解得，所以实数的取值范围是.（2）或，由得当时，，解得；当时，，即，要使，则，得.综上，.变式14．（2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习）设集合，，(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）由集合可得，由可得，故，解得或，当时，，此时不满足题意，舍去，当时，，满足题意，故；（2）由得，当时，即时，满足题意；当时，即时，满足题意；当时，即时，，解得，综上可得，或；即实数的取值范围为.变式15．（2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）全集，集合，集合.(1)若，且集合满足：，求出所有这样的集合；(2)集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.【解析】（1）时，，，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故，，或；（2）因为，所以，若，则满足，此时，解得：；若，则，解得：，所以，解得：或，故，不满足，舍去；若，则，解得：，所以，解得：或2，所以，不满足，舍去；若，则，解得：，所以，解得：或4，不满足，舍去，综上：实数的取值范围是【方法技巧与总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点（1）方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B．（2）关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A=∅的情况，否则易漏解．题型六：韦恩图在集合运算中的应用例16．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为，最少人数为，则.【答案】19【解析】设集合分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集，就是两者都爱好的，要使中人数最多，则，要使中人数最少，则，即，解得，.故答案为：19例17．（2023·全国·高一假期作业）向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则赞成的不赞成的有人.【答案】【解析】由已知得赞成的人数是，赞成的人数是，设都赞成的学生数为，则都不赞成的学生数为，，解得，则赞成的不赞成的有人.故答案为：.例18．（2023·全国·高一假期作业）某班30人，其中17人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，9人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．【答案】11【解析】设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为x人，则只喜爱篮球的有(17－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由(17－x)＋(10－x)＋x＋9＝30，解得x＝6，所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为17－x＝11人．故答案为：11．变式16．（2023·全国·高一专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为．【答案】21【解析】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故答案为：21.变式17．（2023·河南郑州·高一校考阶段练习）中国健儿在东京奥运会上取得傲人佳绩，球类比赛获奖多多，其中乒乓球、羽毛球运动备受学生追捧．某校高一（1）班40名学生在乒乓球、羽毛球两个兴趣小组中，每人至少报名参加一个兴趣小组，报名乒乓球兴趣小组的人数比报名羽毛球兴趣小组的人数3倍少4人，且两兴趣小组都报名的学生有8人，则只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．【答案】5【解析】设报名乒乓球兴趣小组的学生构成集合A，其元素个数为x，报名羽毛球兴趣小组的学生构成集合B，元素个数为y，其关系如下：由题意可知:，解得，因此只报名羽毛球兴趣小组的学生有人．故答案为：5变式18．（2023·江西赣州·高一统考期中）为丰富学生课余生活，拓宽学生视野，某校积极开展社团活动，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，那么高一（1）班总共有学生人数为．【答案】35【解析】由题意，高一（1）班参加社团的学生有21人，参加社团的学生有18人，两个社团都参加的有7人，∴只参加社团的学生有（人），只参加社团的学生有（人），∵另外还有3个人既不参加社团也不参加社团，∴高一（1）班总共有学生人数为：（人）故答案为：.变式19．（2023·北京·高一北京市八一中学校考阶段练习）某校高一年级组织趣味运动会（有跳远，球类，跑步三项比赛），一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远比赛和球类比赛的有3人，同时参加球类比赛和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则下列说法正确的序号是.①同时参加跳远比赛和跑步比赛的有4人②仅参加跳远比赛的有8人③仅参加跑步比赛的有7人④参加两项比赛的有10人【答案】①③④【解析】设全班同学组成全集，参加跳远的同学组成集合，参加球类的同学组成集合，参加跑步的同学组成集合，在相应的位置填上数字，则，解得，所以同时参加跳远和跑步比赛的有4人，仅参加跳远比赛的有9人，仅参加跑步比赛的有7人，参加两项比赛的有人，故答案为：①③④一、单选题1．（2023·江苏·高一假期作业）设集合，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以,故选：B.2．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合则=A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.3．（2023·吉林长春·高一校考开学考试）已知全集，设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由全集，集合，可得，又由，所以.故选：C.4．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合，又由阴影部分表示的集合为.故选：C.5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为集合，，，所以，所以.故选：C.6．（2023·湖北武汉·高一校联考期末）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为集合，集合，所以，则.故选：C.7．（2023·高一课时练习）设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意可知，，则集合为整数的构成的集合，，则集合为整数中奇数的构成的集合，所以，故B正确；A，C错误；所以，故D错误.故选：B.8．（2023·高一课时练习）设I为全集，、、是I的三个非空子集且.则下面论断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】将分为7个部分(各部分可能为空或非空)，如下图示：所以、、，则，，，所以，故，A错误；，故，B错误；，C正确；，显然与没有包含关系，D错误.故选：C二、多选题9．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】①当时，令，得，此时符合题意；②当时，，得，则或，因为，所以或，解得或，因为，所以.综上，m的取值范围为或，故选：BC10．（2023·全国·高一假期作业）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.11．（2023·高一课时练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.12．（2023·安徽蚌埠·高一统考期末）对任意，定义.例如，若，则，下列命题中为真命题的是（

）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若，则【答案】ABD【解析】根据定义.对于A：若,则,,,,∴,故A正确;对于B：若,则,,,,∴,故B正确;对于C：若,则,,则.故C错;对于D：左边,右边所以左=右.故D正确.故选：ABD.三、填空题13．（2023·高一课时练习）已知集合．（1）若，则实数a的取值范围是．（2）若，则实数a的取值范围是．（3）若，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】（1）若，得，所以实数a的取值范围是.（2），即，所以，所以实数a的取值范围是.（3）若，即，所以，则实数a的取值范围是.故答案为：；；.14．（2023·高一课时练习）某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其