第03讲 充分条件与必要条件（教师版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p是q的充分条件；2.p的充分条件是q.五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是(

)A．“”是“”的既不充分也不必要条件B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C．关于的方程有实数根的充要条件是D．若集合，则是的充分不必要条件【答案】AC【解析】且，所以A正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由已知可得，所以，.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是(

)A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件【答案】BD【解析】由题意得，，，，，，所以，，，所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD.【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“”是“”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，故可得或，若，则不一定有，故充分性不满足；若，则一定有，故必要性成立，综上所述：“”是“”的必要不充分条件.故选.2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P：，q：，则p是q成立的(

)A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由不能推出，例如，但必有，所以：是：的必要不充分条件.故选B.3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是(

)A．是的充分不必要条件B．是的充要条件C．若，则是的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形【答案】B【解析】A.

由，所以是的必要不充分条件，故A错误；B.

时，则，反过来也成立，所以是的充要条件，故B正确；C.

，则p是q的必要条件，故C错误；D.

矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错误.故选B4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有(

)A． B． C． D．【答案】CD【解析】由得，即，故能使成立的充分不必要条件有CD.故选CD.5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是(

)A． B． C．1 D．4【答案】ACD【解析】若“或”是“”的必要不充分条件，所以或，所以或.故选ACD6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.(写出满足题意的一个即可)【答案】，(答案不唯一).【解析】因为当时，一定成立，而当时，可能，可能，所以是的充分不必要条件，故答案为：(答案不唯一)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；②“”是“”的必要不充分条件；③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】①，故真子集个数为个，错误；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.故答案为③④8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，所以的范围是． 【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“”是“”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；求解，得到，故“”是“”的不必要条件；故选A2.使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是(

)A．x＞0 B．x＜0或x＞4C．0＜x＜3 D．x＜0【答案】A【解析】设p:0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由:0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，故选A3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设，则“或”是“”的(

)A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【解析】若“或”则“”为真，等价于若“”则“且”为真，显然该命题为假，“或”推不出“”，反之，若“”，则“或”为真，等价于若“且”则“”为真，显然成立，“”可推出“或”，“或”是“”的必要非充分条件，故选B4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的(

)条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】在△ABC中，若AB2+BC2=AC2，，则，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出，所以AB2+BC2=AC2不一定成立，综上，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件，故选A5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p是q的必要条件的是(

)A． B．C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．，q：关于x的方程有唯一解【答案】CD【解析】对于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件；对于B，；当时，满足但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；对于D，关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件.故选CD.6.(多选)设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】由图可知，B，C，D都是的充要条件，故选BCD．7.(多选)已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则(

)A．是的充分条件 B．是的必要条件C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件【答案】AD【解析】由已知得：；.是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件.故选AD8.下列命题：①“且”是“”的充要条件；②当时，“”是“方程有解”的充要条件；③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为______．【答案】③【解析】①且时，成立，反之不一定成立，如，，所以“且”是“”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是，故②错误；③当或时，方程一定成立，反过来，方程成立时，或，故③正确．9．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．【答案】【解析】∵“”是”的必要条件，∴，当时，，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月