专题11 集合的基本运算（交集与并集）（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题11集合的基本运算(交集与并集)【知识点梳理】知识点1：并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言【知识点拨】(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．知识点2：并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A【题型归纳目录】题型1：并集的运算题型2：交集的运算题型3：根据交集求参数问题题型4：根据并集求参数问题题型5：交集、并集的综合运算【典例例题】题型1：并集的运算例1．(2023·浙江杭州·高一校考阶段练习)设集合，，则元素的个数为(

)A．2 B．3 C．8 D．9【答案】C【解析】因为集合，，所以所以元素的个数为8，故选：C例2．(2023·云南普洱·高一校考阶段练习)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A.例3．(2023·四川凉山·高一统考期末)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为集合，，根据并集的定义可知，.故选：B变式1．(2023·四川宜宾·高一校考阶段练习)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，，所以，故选:D.变式2．(2023·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末)已知集合，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】已知集合，所以.故选：C变式3．(2023·广东惠州·高一惠州市惠阳高级中学实验学校校考阶段练习)已知集合，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】，故.故选：C变式4．(2023·江苏盐城·高一江苏省阜宁中学校考阶段练习)已知集合，，则(

)A．S B．T C．R D．【答案】A【解析】集合，.当时，有；当时，有.所以，所以.故选：A变式5．(2023·河北石家庄·高一校考阶段练习)设集合，，则A∪B中的元素个数是A．11 B．10 C．16 D．15【答案】C【解析】由题意可得：,,据此可得：，则A∪B中的元素个数是16.本题选择C选项.题型2：交集的运算例4．(2023·高一课时练习)集合，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，所以.故选：D.例5．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)已知集合，则(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B例6．(2023·高一单元测试)已知集合，，则(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，又因为，则，故选：A.变式6．(2023·海南海口·高一海口一中校考期中)集合，集合，则(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因为集合，集合，所以.故选：C.变式7．(2023·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习)设集合，，则等于(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A．变式8．(2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末)已知集合，，则(

)A． B． C．， D．【答案】D【解析】由题意可知，解得，所以.故选：D.题型3：根据交集求参数问题例7．(2023·高一课时练习)设集合,(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】(1)当时，，；(2)，当时，满足题意，此时，解得；当时，解得，实数m的取值范围为.例8．(2023·广东深圳·高一统考期末)集合，集合.(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围.【解析】(1)解不等式，得，所以，当时，则，所以，；(2)因为，所以当时，，即，此时；当时，，则，解得:，综上所述，实数m的取值范围是.例9．(2023·福建泉州·高一校考阶段练习)设集合.(1)讨论集合与的关系；(2)若，且，求实数的值.【解析】(1)，当时，；当时，，是的真子集.(2)当时，因为，所以，所以.当时，解得(舍去)或，此时，符合题意.当时，解得，此时符合题意.综上，或.变式9．(2023·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末)设集合，.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a组成的集合C.【解析】(1)由，解得或，所以，因为，所以，则，所以；(2)因为，则，当时，；当时，；当时，，综上可得集合.变式10．(2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考期中)已知集合，，.(1)求；(2)若，求的取值范围.【解析】(1)因为，，所以.(2)因为，且，所以，即的取值范围为.变式11．(2023·贵州铜仁·高一校考开学考试)已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【解析】(1)当时，，，.(2)当时，，解得，当时，或，解得：或，综上所述：实数的取值范围．题型4：根据并集求参数问题例10．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)设集合，，(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【解析】(1)由集合可得，由可得，故，解得或，当时，，此时不满足题意，舍去，当时，，满足题意，故；(2)由得，当时，即时，满足题意；当时，即时，满足题意；当时，即时，，解得，综上可得，或；即实数的取值范围为.例11．(2023·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)设集合.已知.(1)求集合A；(2)若，求所有满足条件的的取值集合.【解析】(1)因为，又，，所以，，所以；(2)由，可得，当时，则关于的方程没有实数根，所以；当时，此时，则，所以或，解得或；综上，所有满足条件的的取值集合为.例12．(2023·上海虹口·高一上外附中校考阶段练习)已知，若，求实数的值.【解析】因为中，且两根之积为，又，故，所以，则，由上知：，所以，代入得，显然满足.所以.变式12．(2023·上海徐汇·高一校考期末)已知集合.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】(1)，；时，，故(2)由于，故，解得，所以实数的取值范围为.变式13．(2023·福建龙岩·高一校考阶段练习)已知集合，，.(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【解析】(1)若,则，解得；故的取值范围为(2)若，则，则或，解得或.故的取值范围为或变式14．(2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末)已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值集合.【解析】(1)当时，，又，所以；(2)由解得，，若，则，，符合题意；若，由于，所以；综上所述，实数的取值集合为.变式15．(2023·安徽滁州·高一校考阶段练习)已知集合，集合．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【解析】(1)，∵，∴，∴；(2)∵，∴，∵∴①，即时，，满足题意；②时，，∴，解得，综上得，或．变式16．(2023·上海浦东新·高一校考阶段练习)已知，且，若，求实数的取值范围．【解析】由得，即.由得，解得.故实数的取值范围为题型5：交集、并集的综合运算例13．(多选题)(2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习)对于非空集合，，我们把集合且叫做集合与的差集，记作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，则有，2，，如果，集合与之间的关系为(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】差集的定义，且，，，故选：．例14．(多选题)(2023·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习)设集合，则下列说法不正确的是(

)A．若有4个元素，则 B．若，则有4个元素C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】(1)当时，，；(2)当时，，；(3)当时，，；(4)当时，，；故A，B，C，不正确，D正确故选：ABC例15．(多选题)(2023·江苏连云港·高一阶段练习)已知集合，，则(

)A．集合 B．集合可能是C．集合可能是 D．0可能属于B【答案】ABD【解析】∵，∴，故A正确．∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，∵，∴集合可能是，故B正确；∵不是自然数，∴集合不可能是，故C错误；∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合，故D正确.故选：ABD.变式17．(多选题)(2023·广西桂林·高一校考阶段练习)若集合，则(

)A． B．C． D．【答案】AB【解析】对于AB，因为，所以，，故AB正确；对于C，因为，但，所以不成立，故C错误；对于D，由选项AB易知，故D错误.故选：AB.变式18．(多选题)(2023·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习)若集合，则下列结论正确的有(

)A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，A正确；，当时，，B错误；因为，而，所以，C正确；因为，而，所以，D正确.故选：ACD.变式19．(多选题)(2023·山东菏泽·高一校考阶段练习)若集合，则下列结论正确的是(

)A． B． C． D．【答案】BCD【解析】，∴，，，故选：BCD．变式20．(多选题)(2023·江苏苏州·高一吴县中学校考阶段练习)下列命题为真命题的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【解析】若，则中的元素中都有，则，故A正确.若，则.因为含有中的全部元素，故B正确.因为，所以是的公共元素，故，所以C正确.因为，所以是的元素或的元素，不一定是公共元素，故D不对.故选：ABC【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末)集合满足，则集合中的元素个数为(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，则，故集合中的元素个数为.故选：B.2．(2023·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中)设集合，，则图阴影区域表示的集合是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是,所以.故选：A.3．(2023·湖北·高一校联考期中)已知集合，，若，则(

)A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】C【解析】由题意可得：若，则，此时，，若，则或符合题意；若，则，不符合题意.故选:C4．(2023·广东深圳·高一统考期末)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，故选：C.5．(2023·浙江金华·高一校考阶段练习)设，，若，则实数组成的集合的子集个数有(

)A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】，，，或或，当时，，当时，，得，当时，，得，实数组成的集合为，其子集的个数为.故选：D.6．(2023·湖南·高一衡阳市八中校联考阶段练习)已知集合，，则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，，所以.故选：C7．(2023·上海金山·高一统考阶段练习)设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，，当时，结论不成立，则A错误；对于B,，当时，结论不成立，则B错误；对于C，，当时，结论不成立，则C错误；对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.故选：D8．(2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考阶段练习)定义集合运算，若集合，则(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故.故选：D.二、多选题9．(2023·高一单元测试)设，若，则m的值可以为(

)A．0 B． C．1 D．2【答案】ABC【解析】，，当时，，符合；当时，，或，或.故选：ABC.10．(2023·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习)设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是(

)A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立；当集合与中有公共元素时，，所以可能成立；当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立；根据集合的并集运算可知不能成立.故选：ABD．11．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市外国语学校校考阶段练习)设，，若，则实数的值可以为(

)A． B．0 C．3 D．【答案】ABD【解析】，，又，当时，，符合题意；当时，，要使，则或，解得或．综上，或或．故选：ABD．12．(2023·江苏泰州·高一泰州中学校考期中)设集合，，若，则实数的值可以为(

)A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由得：或，即；，；当时，，满足题意；当时，，则或，解得：或；综上所述：实数的取值集合为.故选：ABC.三、填空题13．(2023·上海闵行·高一校考期末)已知，，则_______.【答案】【解析】因为集合，，因此，.故答案为：.14．(2023·上海浦东新·高一校考阶段练习)已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】因为，所以，若即，则，满足题意；若即，因为，所以解得，综上，实数的取值范围是，故答案为:.15．(2023·高一课时练习)已知集合，，则_________.【答案】【解析】因为，所以，易知，当时，，此时，，不合题意舍去；当时，，此时，，满足题意，所以.故答案为：16．(2023·上海松江·高一上海市松江二中校考期中)设集合，，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】，，，故.故答案为：四、解答题17．(2023·高一课时练习)设方程的解集是A，方程的解集是B，，求．【解析】因为，则是方程的一个实根，则，解得，解方程，得或，.，则是方程的一个实根，则，解得，解方程，得或，.18．(2023·高一单元测试)已知全集为，集合，．(1)求；(2)若，且，求的取值范围．【解析