专题20 幂函数（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题20幂函数【知识点梳理】知识点一：幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数．知识点二：幂函数的图象及性质1、作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为或，作图已完成；若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．4、幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：幂函数的图象的应用题型三：幂函数的单调性题型四：幂函数的奇偶性题型五：幂值大小的比较题型六：定点问题题型七：定义域问题题型八：值域问题题型九：解不等式问题题型十：幂函数综合问题【典例例题】题型一：幂函数的概念例1．(2023·高一课时练习)下列函数为幂函数的是(

)A． B． C． D．例2．(2023·江西吉安·高一永新中学校考期中)下列函数是幂函数的是(

)A． B． C． D．例3．(2023·江西赣州·高一校考期中)在函数，中，幂函数的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3变式1．(2023·江苏扬州·高一统考期中)已知幂函数的图像经过点，则的值为(

)A． B． C． D．变式2．(2023·高一课时练习)已知幂函数的图象过点，则等于(

)A． B．0 C． D．1变式3．(2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末)已知幂函数在上是减函数，则n的值为(

)A． B．1 C．3 D．1或变式4．(2023·黑龙江大庆·高一大庆中学校考期中)函数是幂函数，且在上单调递增，则(

)A． B．C．或 D．或题型二：幂函数的图象的应用例4．(2023·全国·高一专题练习)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是(

)A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③例5．(2023·黑龙江哈尔滨·高一统考期末)若点在幂函数的图象上，则的图象大致是(

)A． B． C． D．例6．(2023·高一课时练习)已知幂函数(且互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(

)A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且变式5．(2023·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是(

)A． B．C． D．变式6．(2023·湖北十堰·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(

)A． B．C． D．题型三：幂函数的单调性例7．(2023·高一课时练习)下列函数中，在区间上为增函数的是(

)A． B． C． D．例8．(2023·重庆·高一校联考期中)下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是(

)A． B． C． D．例9．(2023·辽宁丹东·高一统考期末)已知幂函数的图象经过点，则在定义域内(

)A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值变式7．(2023·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习)下列函数中，在区间上是增函数的是(

)A． B． C． D．变式8．(2023·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末)函数的单调递减区间为(

)A． B． C． D．变式9．(2023·福建·高一厦门一中校考期中)已知函数的增区间为(

)A． B． C． D．变式10．(2023·高一单元测试)幂函数是奇函数，且在是减函数，则整数a的值是(

)A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2变式11．(2023·山西大同·高一统考期中)已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有(

)A．是奇函数，在上是减函数 B．是奇函数，在上是增函数C．是偶函数，在上是减函数 D．是偶函数，在上是减函数题型四：幂函数的奇偶性例10．(2023·山西吕梁·高一统考期中)幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是(

)A．经过第一象限和第三象限 B．经过第一象限C．是奇函数 D．是偶函数例11．(2023·广东清远·高一校联考期中)已知幂函数的图像过点，则()A．是奇函数，在上是减函数B．是偶函数，在上是减函数C．是奇函数，在上是增函数D．是偶函数，在上是减函数例12．(2023·贵州毕节·高一统考期末)若幂函数的图象关于轴对称，则(

)A．或4 B． C．4 D．2变式12．(2023·广西贵港·高一统考期末)若幂函数的图象关于y轴对称，解析式的幂的指数为整数,在上单调递减，则(

)A． B．或 C． D．或变式13．(2023·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期中)已知常数在上有最大值，若的最小值为，则(

)A．0 B．3 C．4 D．5题型五：幂值大小的比较例13．(2023·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中)已知幂函数，对任意的且，满足，若，，，则的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断例14．(2023·吉林·高一吉林毓文中学校考阶段练习)已知，则下列不等关系中一定成立的是(

)A． B． C． D．例15．(2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中)已知，则(

)A． B． C． D．变式14．(2023·辽宁葫芦岛·高一校联考期中)设，，，则(

)A． B． C． D．变式15．(2023·福建南平·高一统考期中)下列比较大小中正确的是(

)A． B．C． D．题型六：定点问题例16．(2023·上海徐汇·高一统考期末)当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．例17．(2023·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习)已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．例18．(2023·高一课时练习)幂函数的图像恒过定点______．变式16．(2023·高一课时练习)有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点的幂函数，一定不关于y轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．变式17．(2023·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习)已知函数(为不等于0的常数)的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.变式18．(2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中)不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．题型七：定义域问题例19．(2023·浙江·高一校联考期末)已知幂函数，则此函数的定义域为________．例20．(2023·高一课时练习)幂函数的定义域是______．例21．(2023·全国·高一专题练习)已知幂函数的定义域为，则实数______．变式19．(2023·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习)函数的定义域是______．变式20．(2023·高一课时练习)若有意义，则实数的取值范围是________变式21．(2023·山东菏泽·高一阶段练习)已知，则的定义域为____________.题型八：值域问题例22．(2023·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考期中)函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．例23．(2023·高一课时练习)函数的值域为________.例24．(2023·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考期中)若幂函数的图象过点，则的值域为____________．变式22．(2023·全国·高一专题练习)已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.变式23．(2023·高一课时练习)已知幂函数，该函数的值域为_________.变式24．(2023·高一课时练习)已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为_____________.题型九：解不等式问题例25．(2023·重庆·高一校联考期末)已知函数，若，则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．例26．(2023·甘肃张掖·高一统考期末)已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为(

)A． B． C． D．例27．(2023·河南洛阳·高一统考期中)已知幂函数过点，则的解集为(

)A． B． C． D．变式25．(2023·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中)不等式的解为(

)A． B． C． D．变式26．(2023·浙江温州·高一温州中学校考期中)若,则实数的取值范围是(

)A． B．C． D．变式27．(2023·福建三明·高一校联考期中)若，则实数a的取值范围是()A．[，＋∞) B．(－∞，] C．(，] D．[，]变式28．(2023·高一课时练习)已知幂函数，若，则的取值范围为(

)A． B． C． D．变式29．(2023·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习)已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为(

)A． B． C． D．题型十：幂函数综合问题例28．(2023·四川广安·高一校考阶段练习)已知幂函数在上单调递增．(1)求m的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．例29．(2023·高一单元测试)已知幂函数为奇函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.例30．(2023·辽宁辽阳·高一校联考期末)已知幂函数为奇函数．(1)求的解析式；(2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值．变式30．(2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末)已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)若，求x的取值范围．变式31．(2023·福建龙岩·高一统考期末)已知幂函数为偶函数，．(1)若，求；(2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．变式32．(2023·辽宁·高一校联考期末)已知幂函数在上单调递减．(1)求的解析式；(2)若，，求a的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)下列命题中正确的是(

)A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过和点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限2．(2023·浙江·高一校联考期中)记，则(

)A． B．C． D．3．(2023·辽宁本溪·高一校考阶段练习)若幂函数在区间上单调递增，则(

)A． B．3 C．或3 D．1或4．(2023·云南怒江·高一校考期末)若幂函数的图象经过，则(

)A． B．3 C． D．5．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考开学考试)下列不等式一定成立的是(

)A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．(2023·山东枣庄·高一枣庄八中校考阶段练习)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是(

)A． B． C． D．7．(2023·辽宁鞍山·高一统考期末)函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断8．(2023·湖北武汉·高一校联考期末)已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是(

)A． B．C． D．二、多选题9．(2023·全国·高一专题练习)下列函数中，既是偶函数，又在区间内单调递增的有(

)A． B． C． D．10．(2023·安徽芜湖·高一统考期末)下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为(

)A． B．C． D．11．(2023·宁夏银川·高一银川二中校考期末)幂函数，，则下列结论正确的是(

)A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为12．(2023·全国·高一专题练习)若函数，则(

)A．的图象经过点和B．当的图象经过点时，为奇函数C．当的图象经过点时，为偶函数D．当时，存在使得三、填空题13．(202