专题16 基本不等式（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题16基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1、对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2、由公式和可以引申出常用的常用结论①(同号)；②(异号)；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么(当且仅当时取等号“=”)特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”)方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，(当且仅当时取等号“=”).知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作：如果，，，(当且仅当时取等号“=”).知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1、在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和(或积)为定值；③各项能取得相等的值.5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典例例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．(2023·上海静安·高一校考期中)给出下列命题中，真命题的个数为(

)①已知，则成立；②已知且，则成立；③已知，则的最小值为2；④已知，，则成立．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错；因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；(当时，无解，等号不成立)，故③错；因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．故选:B．例2．(2023·四川绵阳·高一校考开学考试)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选：D.例3．(2023·高一课时练习)现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为.其中，正确的有(

)个A． B． C． D．【答案】B【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.对于①，当时，，①错误；对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；对于③，，当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为，所以，函数的最大值为，所以结论不正确，④错误.故选：B.变式1．(多选题)(2023·全国·高三专题练习)下列推导过程，正确的为(

)A．因为、为正实数，所以B．因为，所以C．，所以D．因为、，，所以【答案】AD【解析】对于A选项，则，当且仅当时等号成立，A选项正确；对于B选项，，，，B选项错误；对于C选项，当时，，当且仅当时等号成立，C选项错误；对于D选项，因为、，、则，.，当且仅当时等号成立，D选项正确．故选：AD变式2．(多选题)(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校考阶段练习)下列推导过程，正确的为(

)A．因为a，b为正实数，所以≥2＝2B．因为x∈R，所以1C．因为a＜0，所以+a≥2＝4D．因为，所以【答案】AD【解析】对于A.因为a，b为正实数，所以，所以≥2＝2.故A正确；对于B.当x=0，有1.故B错误；对于C.当a=-1时，左边+a=-5，右边2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C错误.对于D.因为，，所以.故D正确.故选：AD.题型二：利用基本不等式比较大小例4．(2023·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)设，则下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以；因为，所以，即，因为，所以，即，因此，故选：D例5．(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)若，则下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：C.例6．(2023·浙江宁波·高一镇海中学校考期中)已知，则(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A：当时，错误；B：，而，故，错误；C：，而，若时，错误；D：，当且仅当时等号成立，而，故，正确.故选：D变式3．(2023·山东青岛·高一青岛二中校考期中)设正实数a、b满足，则下列结论正确的是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；B：由，仅当时等号成立，故，正确；C：由，仅当时等号成立，故，错误；D：由，仅当时等号成立，故，错误.故选：B变式4．(2023·北京·高一北京四中校考阶段练习)对于实数有下列命题：①若，则②若，则；③若，则；④若，则.则其中真命题的个数是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①若，时，，故为假命题；②若，则，有，故为真命题；③若，则，仅当时等号成立，所以，为真命题；④若，则，且，所以，则，为真命题.故真命题有②③④，共3个.故选：C变式5．(2023·高一课时练习)已知a、b为正实数，，则(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】因为a、b为正实数，所以，当且仅当时，等号成立，，所以，当且仅当时，等号成立，综上：.故选：B题型三：利用基本不等式证明不等式例7．(2023·全国·高一专题练习)已知，，且，求证：.【解析】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立.故原题得证.例8．(2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期末)已知是正实数.(1)若，证明：；(2)证明：.【解析】(1)因为，，，所以，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以.(2)因为，，，所以，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；上述三式相加可得，即，当且仅当时，等号成立.所以.例9．(2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习)已知，，，求证：.【解析】∵，，，∴，当且仅当，即时，等号成立，同理：，，当且仅当，时，等号成立，以上三式相加得：，当且当且仅当时，等号成立，所以.变式6．(2023·陕西榆林·高一统考期末)已知，.(1)若，求的最大值；(2)若，证明：.【解析】(1)因为，所以.，当且仅当，，时，等号成立，故的最大值为9.(2)证明：因为，所以，又，解得，当且仅当时，等号成立.故.题型四：利用基本不等式求最值例10．(2023·广东惠州·高一统考期末)已知，，且，则ab的最大值为___________．【答案】4【解析】∵，，，当且仅当时等号成立，即，整理可得，所以ab最大值为4．故答案为：.例11．(2023·陕西汉中·高一校联考期末)若满足，则的最大值是______.【答案】2【解析】由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最大值是.故答案为：例12．(2023·北京·高一校考阶段练习)已知x，y都为正数，且2x＋y＝1，则①2xy的最大值为

②的最小值为③的最大值为

④的最小值为所有正确的序号是______．【答案】①②④【解析】由题意，所以，当且仅当时等号成立，①正确；，当且仅当时等号成立，②正确；，当且仅当时等号成立，但此时，不合题意，因此取不到最大值，③错；，当且仅当，即，时等号成立，④正确．故答案为：①②④．变式7．(2023·广东汕头·高一金山中学校考期中)已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】/【解析】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：变式8．(2023·全国·高一专题练习)已知，，若，则的最小值为______.【答案】3【解析】因为，，，所以，即；因为，当且仅当时取到等号，所以，解得或(舍)所以当时，有最小值3.故答案为：3变式9．(2023·湖南邵阳·高一统考开学考试)若，，且，则的最小值为________．【答案】3【解析】由题意得，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：3变式10．(2023·高一校考课时练习)正实数满足，则的最小值为_______.【答案】1【解析】因为正实数满足，所以，则，当且仅当,即时取等号，所以的最小值为1，故答案为：1变式11．(2023·高一课时练习)若，且，则的最小值为______.【答案】/【解析】若，且，则，当且仅当时取等.故答案为：.变式12．(2023·全国·高一专题练习)若，且，则的最小值为______.【答案】5【解析】因为，且，所以,则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5，故答案为：5变式13．(2023·云南保山·高一校联考阶段练习)若，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故答案为：.变式14．(2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末)已知，且，则的最小值为_________.【答案】【解析】由得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：变式15．(2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习)已知，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，且，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.变式16．(2023·云南昆明·高一统考期末)，，且，则ab的最小值为________．【答案】36【解析】因为，，所以，即，解得，当且仅当时，即时，取等号.故答案为：36.变式17．(2023·四川眉山·高一校考期末)已知，则的最小值是________；【答案】3【解析】，当，即时取等号，又，故当时取得最小值.故答案为：3.变式18．(2023·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考阶段练习)若，则的最小值为_________.【答案】7【解析】，当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7.故答案为：7.变式19．(2023·天津·高一统考期末)若，则的最小值为______．【答案】【解析】，当且仅当,即时，取得最小值.故答案为：.变式20．(2023·云南昆明·高一统考期末)已知，，若，则的最小值为______．【答案】【解析】由得，则，所以，当且仅当，即，时，取得最小值为．故答案为：变式21．(2023·全国·高一专题练习)函数的最小值为_________．【答案】【解析】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：变式22．(2023·安徽滁州·高一校考期中)已知，的最小值为____________.【答案】【解析】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：变式23．(2023·全国·高一专题练习)函数的最小值为______．【答案】7【解析】令，；则(当且仅当，即时，等号成立)，故函数，的最小值为故答案为：7变式24．(2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考开学考试)已知实数且，则的最小值为______.【答案】2【解析】，，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.变式25．(2023·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习)已知a、，且，则ab的最大值是____________.【答案】/0.25【解析】因为实数满足，所以由基本不等式可得：所以，当且仅当，即或时等号成立，即的最大值为.故答案为：.变式26．(2023·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习)已知，且，，则的最小值为______.【答案】/【解析】由，得，又，，所以，解得，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．故答案为：题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例13．(2023·广东深圳·高一校考阶段练习)为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元.(1)试求关于的函数解析式；(2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.【解析】(1)因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得(2)，当且仅当，即时等号成立，此时在内，，故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元.例14．(2023·四川成都·高一中和中学校考开学考试)为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.【解析】(1)设甲工程队的总造价为元，则.当且仅当，即时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.(2)由题意可得，对任意的恒成立.即，从而恒成立，令，又在为单调增函数，故.所以.例15．(2023·全国·高一专题练习)为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．(总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用)．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．【解析】由题意得：建造成本费用为，使用管理费：，所以，，当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元．变式27．(2023·山西太原·高一校联考阶段练习)某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x米，写出泳池的总造价，问泳池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价．【解析】因为泳池的长为x米，则宽为米．则总造价，整理得到，当且仅当时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．题型六：基本不等式在实际问题中的应用例16．(2023·辽宁沈阳·高一统考期末)已知实数a，b满足，若对于，恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】由得：，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为27，又恒成立，故.故答案为：例17．(2023·安徽·高一淮北一中校联考开学考试)已知正数x，y满足，若不等式对任意正数x，y恒成立，则实数m的取值范围为__________．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以实数m的取值范围为．故答案为：．例18．(2023·广东广州·高一校考期末)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】因为，，且，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.因为恒成立，所以，.故答案为：.变式28．(2023·北京·高一校考阶段练习)对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，因为，当且仅当即时取“＝”.所以故答案为：变式29．(2023·全国·高一假期作业)已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________．【答案】【解析】因为，所以，当且仅当，即时取等号.又因为恒成立，所以，解得.故答案为：变式30．(2023·上海宝山·高一校考期中)已知，若不等式对一切实数、恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意可知对一切实数、恒成立，因为，所以，，所以，，当且仅当时，取得最小值，则，解得.故答案为：.变式31．(2023·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习)若对任意，，不等式恒成立，则的取值范围是__________.【答案】【解析】，，不等式恒成立，恒成立，当且仅当，即时取等号，，即故答案为：变式32．(2023·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】令，则，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故.故答案为：变式33．(2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十一中学校考期中)已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为______．【答案】/【解析】,不等式恒成立，即不等式恒成立，当且仅当即时，等号成立，即实数的最大值为．故答案为：．【过关测试】一、单选题1．(2023·高一课时练习)若，则的最值情况是(

)A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2【答案】B【解析】若，则，当且仅当即等号成立，所以若时，有最小值为6，无最大值.故选：B.2．(2023·高一课时练习)函数的最小值为(

)A．2 B． C．3 D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，即函数的最小值为，故选：B.3．(2023·高一课时练习)已知，那么c的最大值为(

)A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由于，所以，当且仅当时，等号成立，即c的最大值为1，故选：A.4．(2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中)的最小值等于(

)A．3 B． C．2 D．无最小值【答案】A【解析】因为，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值等于.故选：A5．(2023·高一课时练习)已知，则当取最大值时，的值为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，则，当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值.故选：B.6．(2023·高一课时练习)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对任意，不等式，即不等式恒成立，因为，可得，当且仅当时，即等号成立，所以，所以.故选：D.7．(2023·高一课时练习)已知，则的最小值为(

)A．4 B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.8．(2023·高一课时练习)下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是(

)A．若，则B．若，则由知，的最小值为1C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A，，当时，，当且仅当等号成立，当时，，当且仅当等号成立，当异号时，，当且仅当即等号成立，故A错误；对于B，当，则由，当且仅当，显然等号不成立，故错误，对于C，若，则，当且仅当即等号成立，故C错误；对于D，若，则，当且仅当或等号成立，故D正确.故选：D.二、多选题9．(2023·江苏扬州·高一校考阶段练习)以下四个命题，其中是真命题的有(

)A．若，则B．若，则C．若，则函数的最小值为D．若，，，则的最小值为4【答案】BC【解析】A选项，因，则，故A错误；B选项，因，则，故B正确；C选项，因，则，当且仅当，即时取等号，故C正确；D选项，因，，则.当且仅当时，即时取等号，故D错误.故选：BC10．(2023·高一平湖市当湖高级中学校联考期中)设，且，则(

)A． B．C．的最小值为0 D．的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，因为且，则，且，所以，所以A正确；对于B，假设，且，则可得，符合题意，即成立，所以B错误；对于C，，当且仅当时，即取等号，此时，所以C正确；对于D，，当且仅当时，取等号，即，解得，所以D正确；故选:ACD11．(2023·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习)已知正数满足，则下列选项正确的是(

)A．的最小值是2 B．的最大值是1C．的最小值是4 D．的最大值是2【答案】AB【解析】因为正数满足，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2，故A正确；因为正数满足，所以，当且仅当时，等号成立，等号成立，所以的最大值是1，故B正确；由，得，当且仅当时，等号成立，等号成立，所以的最小值是,故C错误；，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值是，故D错误；故选：AB.12．(2023·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中)下列说法正确的是(

)A．若，则B．若正数a、b满足，则的最小值为4C．若，，则的范围为D．若，则函数的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，根据不等式性质可知当时，满足，不妨取，此时不满足，即A错误；对于B，当正数a、b满足时，，当且仅当时，等号成立；即B正确；对于C，若，，则，，所以，即，所以C正确；对于D，由，又，所以，当且仅当时，等号成立；即D正确.故选：BCD三、填空题13．(2023·江苏扬州·高一统考期中)如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白，若，则纸张的用纸面积最少为__________cm2．

【答案】【解析】由题意，设排版矩形的长和宽分别为且，且则纸张的面积为当且仅当时，即，即时，等号成立，所以纸张的用纸面积最少为..

14．(2023·高一单元测试)设，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，，所以.当且仅当，且，即时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：.15．(2023·高一课时练习