专题05 三角形（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题05三角形【知识点梳理】知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.知识点2：几种特殊的三角形结论一：等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.结论二：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心.【题型归纳目录】题型一：三角形的“四心”题型二：几种特殊的三角形【典例例题】题型一：三角形的“四心”例1．(2023·浙江杭州·统考二模)如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．

(1)如果．①求证：平行四边形为菱形；②若，求线段的长．(2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值．【解析】(1)证明：①如图所示，连接交于O，

∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形；②∵，∴是的中线，∵为中点，∴是的中线，∴点E是的重心，∴，设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，∴，解得：(负值舍去)，∴，∵四边形是平行四边形，∴；(2)∵与相交于E、F，∴，∴，由(1)②知点E是的重心，又∵在直线上，∴是的中线，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∴，∴．

例2．(2023·湖北省直辖县级单位·校考模拟预测)如图，在中，为对角线，，是的中线．

(1)在图1中用无刻度的直尺画出的高；(2)在图2中用无刻度的直尺画出的高【解析】(1)如图所示，连接，交于点，然后连接并延长交于点，则即为所求；

∵在中，为对角线，是的中线∴，则是的中线，∴是的中线∵，∴；(2)如图所示，即为所求；

由(1)同理可得．例3．(2023·四川成都·统考二模)在，，，点O是边的中点，将绕点O旋转得到(点A，B的对应点分别为，)，点不在直线上，连接．

(1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形；(2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，．求线段的长；(3)在旋转过程中，点G为的重心，连接，当线段取得最小值时，求出此时的面积．【解析】(1)证明：∵绕点O顺时针旋转得到，点O是边的中点∴，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形(2)∵四边形是矩形，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，∴，即M为的中点，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；(3)如图，连接并延长交点H，过G作交于点E，连接，

∵，G为的重心，∴，∵，，∴，则，取的中点D，连接，则，∴点G在以点D为圆心、半径为1的圆上运动，∵，∴当点A、G、D三点共线时，的长最小，如图，在中，∵，为的中线，∴，∵，∴，∴∴，过点作于F，∴在中，∵，∴，由勾股定理得：，解得：，∴，∴．

变式1．(2023·湖北十堰·统考三模)如图，已知，四边形中，，的平分线交于点，以为直径作半经过点，交于点．

(1)求证：与半相切；(2)若，求的长．【解析】(1)连接，∵，∴，∵的平分线交于点，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切线，即与半相切；

(2)连接，∵是的直径，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴点为的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∴，

变式2．(2023·安徽滁州·统考二模)如图1，是的角平分线，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，在射线上取一点，使．

(1)求证：；(2)如图2，已知，．①求的长；②图中存在四个点，以它们为顶点能构成一个平行四边形，在图中画出这个平行四边形，并证明它是平行四边形．【解析】(1)证明：平分，，，，，是的中点，，，，在和中，，，；(2)①，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；②连接，则四边形是平行四边形，理由如下：

，根据①可知，是的中点，，四边形是平行四边形．变式3．(2023·浙江金华·统考二模)如图，，点E是延长线上一点，．

(1)求证：．(2)若平分，，求的度数．【解析】(1)证明：，，，，，；(2)∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴的度数为．变式4．(2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测)如图，在矩形中，对角线和相交于点O，点分别为、的中点．

(1)求证：；(2)如图2，连接和，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中面积是面积3倍的三角形．【解析】(1)证明：四边形为矩形，，点分别为的中点，，，，；(2)四边形为矩形，，∵点分别为、的中点，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴同理可得，，综上所述，面积是面积3倍的三角形有．变式5．(2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考三模)[问题提出]某节数学课上，小致遇到这样一个问题：如图①，在中，均为的中线，与相交于点O．求的值．(此处无需求解)

[方法探究](1)小致发现，过点A作的平行线交的延长线于点F(如图②)，可以得到，．则的值为______．[方法应用]参考小致思考问题的方法，解决问题：如图③，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且．(2)求的值．(3)若的面积为10，则四边形的面积为______．【解析】(1)，，为边上的中线，，为边上的中线，，在与中，，，，，．(2)如图，过点作的平行线交的延长线于点，

，，为边上的中线，，，，在与中，，，，，．(3)为边上的中线，，，，，即，，即，，，，，，，，即，．变式6．(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，在中，点是中点，点是射线上的一点．连接并延长交于点．

(1)若，则_________；(2)求证：．【解析】(1)在中，点是中点，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．(2)如图所示，过点作交于点，

∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴．变式7．(2023·安徽合肥·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是．

(1)请画出向左平移6个单位长度后得到的；(2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的面积．【解析】(1)将点，向左平移6个单位长度后可得：，顺次连接，得到如图所示，

(2)分别取的中点，顺次连接，如图所示，

的面积为：．变式8．(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．

(1)在图中画出关于x轴对称的(点A、B、C的对应点分别为、、)；(2)求的面积．【解析】(1)作图如下：

(2)由题意可知，小网格的边长代表1个单位长度，如图：

变式9．(2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测)【问题提出】

(1)如图1，在中，，，为边上的高，则的长为______．(2)如图2，在四边形中，，且，E，F分别是的中点，连接与相交于点M，与相交于点O，若，求的长．【问题解决】(3)如图3，四边形是园林局欲修建的一块菱形园地的大致示意图，沿对角线各修一条人行走道，．E是上的一点，点F，G在上，，．根据规划要求，建造一个四边形OEFG的特殊花卉种植区，求该种植区四边形OEFG的最大面积．【解析】(1)∵，，∴，∴，∴，∴．(2)∵E、F别是中点，∴，∵.，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴∴，即∵，∴∴．∴．(3)如图，过点D作点M

∵菱形中，∴,∴,∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，设，则，即∴，∵，且，∴四边形为直角梯形，∴,,配方可得：∵∴当时，四边形有最大值，且最大值为．题型二：几种特殊的三角形例4．(2023·全国·模拟预测)如图，在中，，是的中点，点，在直线上，且．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．【解析】(1)证明：是的中点，，，四边形是平行四边形，，，即：，四边形是菱形．(2)由(1)得：，设，则，，，解得：，．例5．(2023·江苏淮安·校联考三模)如图，，，点D在边上，，和相交于点O．(1)求证：；(2)若，则的度数为______．【解析】(1)证明：∵，则，∴．在和中，，∴；(2)∵，∴，．在中，∵，，∴，∴．故答案为：69．例6．(2023·湖北咸宁·统考一模)【问题探究】如图1，正方形中，点、分别在边、上，且于点P，求证；【知识迁移】如图2，矩形中，，点E、F、G、H分别在边上，且于点P．求的值；【拓展应用】如图3，在四边形中，点E、F分别在线段上，且于点P．请直接写出的值．

【解析】(1)证明：∵四边形正方形是正方形，

∴∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；(2)作于点M，作于点N，

则，∴，又∵，∴，∴，∴，即：；(3)过点作于点，交于点，则：，

∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．变式10．(2023·云南楚雄·统考二模)如图，与相交于点O，且，．求证：．

【解析】证明：在和中，∴∴∴∴∴变式11．(2023·福建福州·统考二模)如图，点A，B在的同侧，线段相交于点E，，，求证：．

【解析】证明：∵，∴．在和中，∴，∴．变式12．(2023·广东揭阳·校联考二模)如图，中，，平分．

(1)过点A作的垂线，H为垂足，交于点P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)求证：．【解析】(1)如图所示，即为所求：

(2)证明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴．变式13．(2023·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试)如图，方格纸中，每个小正方形的边长都是1，在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)画出关于y轴对称的．(2)画出以为腰的等腰三角形，连接，，使的面积为5．【解析】(1)根据轴对称的性质对称轴垂直平分对称点连线，分别找出，连接，如图所示：

(2)如图，是以为腰的等腰三角形，且的面积为5：

变式14．(2023·江苏南京·模拟预测)如图，在中，对角线交于点O，E是延长线上的点，且是等边三角形．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，求证：四边形是正方形．【解析】(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，即O是的中点，是的中线∵是等边三角形，∴(三线合一)即，∴是菱形，即四边形是菱形；(2)∵是等边三角形，∴由(1)知，∴，是直角三角形∴，∵，∴，∴，∵是菱形，∴，∴菱形是正方形，即四边形是正方形．变式15．(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模)如图1，已知为等边三角形，，分别在，上，且，连接，过点作交于点，连接．

(1)若点和A点重合，则______；(2)若，如图2，求证：四边形为平行四边形；(3)猜想线段，，之间的数量关系，并利用图1给出证明．【解析】(1)如图所示，点和A点重合，

∵，∴点D为的中点，∵为等边三角形，∴，∵，∴点F与点B重合，∴，故答案为：；(2)证明：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，过点F作于点G，如图：

∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，即有，∴垂直平分，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形；(3)猜想线段之间的数量关系，证明如下：过点E作，交于点P，交的延长线于点Q，如图：

则，∴，∴，∴即，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴．变式16．(2023·山东德州·统考二模)【综合与实践】数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，则______．若F是的中点，连接，则与的数量关系是______．

(2)【迁移探究】如图2，将(1)中的绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变，求出此时的度数及与的数量关系．

(3)【拓展应用】如图3，在中，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．

【解析】(1)∵为等边三角形，，，∵绕点A旋转，得到，，，点A，B，D在同一直线上，∵，，，即，∵，，，，，∵F是的中点，，．故答案为：90，；(2)由旋转的性质，可知，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵F是的中点，∴，∴；(3)分以下两种情况进行讨论：①如图3﹣1．当点E在下方时，

根据题意，得为等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，F是的中点，∴，∴；②如图3﹣2，当点E在上方时，

同理，可得，．综上所述，的长为或1．【过关测试】一、解答题1．(2023·广东深圳·深圳市高级中学校联考模拟预测)问题背景：(1)如图1，点是内一点，且，连接，，求证：．

(2)如图2，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，是位于上方的等腰直角三角形，且，则，

①______1(填一个合适的不等号)；②的最大值为______，此时______°．问题组合与迁移：(3)如图3，是等腰底边上的高，点是上的一动点，位于的上方，且，若，求的最小值．

【解析】(1)，，，，，；(2)①连接，如图所示，

，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，，，，，故答案为：；②由①得，，，，，当点在上时，此时最大，为，此时也最大，为，如图所示，

，点是线段垂直平分线上位于上方的一动点，，，是等腰直角三角形，，，，故答案为：，；(3)连接，如图所示，

，是等腰底边上的高，，，，，，，，，，，，，得：，，，，，，最小值为．2．(2023·广东深圳·九年级校联考阶段练习)如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【解析】(1)∵等腰直角三角形中，，，，∴，∵点、、分别为、、的中点，∴分别是的中位线，∴，∴，∵，∴，故答案为：；；(2)为等腰直角三角形，理由如下：由旋转可知：，又∵，，，，，又、分别是、的中点，是的中位线，∴且，同理，且，，，．，，，为等腰直角三角形；(3)由(1)(2)得，，且为等腰直角三角形，∵，即，∴，∴，∴面积的最大值为2．3．(2023·山东淄博·统考二模)如图，在中，，将平移4个单位长度得到，点，分别是，的中点，求的最大值和最小值．

【解析】取的中点，的中点，连接，，，，如图：

∵是平移4个单位长度得到的，∴，∵点，分别是，的中点∴且满足：故即的最小值等于，最大值等于．4．(2023·山东济南·三模)已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，，线段交y轴于点，且D是中点，反比例函数经过线段的中点E．

(1)求反比例函数的解析式；(2)如图2，点G是x轴上一点，连接交反比例函数的图象于点F，连接，交于点P．若，求的面积．(3)点M是直线右侧反比例函数图象上一点，连接，过点M作交x轴于点N，连接，当与相似时，求点M的坐标．【解析】(1)，，且点D是中点，点C的横坐标为，纵坐标为，，点E是线段的中点，，，反比例函数经过点E，，，反比例函数的解析式为；(2)如图，过点F作轴于点H，连接，

轴，轴，，，，，，将代入，得，解得，即，，，，解得，，．，，．，．(3)如图，过点M作轴于点T，作于点R，则．

，，，又，，，又，，，点M在反比例函数上，设点M的坐标为，，，．，，，，，，当与相似时，或，当时，，解得，点M在直线右侧，，点M的坐标为，即；当时，，解得，点M在直线右侧，，点M的坐标为，即；解得，同理，将负值舍去，，点M的坐标为，即；综上可知，点M的坐标为或．5．(2023·云南昆明·统考二模)【问题引入】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦-秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边长分别为，若，，，则的面积为6；【问题探索】如图一，在中，设，，，，是的内切圆，分别与的延长线、的延长线以及线段均只有一个公共点，的半径为，的半径为．

(1)分析与证明：如图二，连接，则被划分为三个小三角形，用表示的面积，即．那么是否成立？请证明你的结论．(2)理解与应用：当，，时，求的面积．【解析】(1)成立，理由如下：∵，∴，∵，∴．(2)连接，连接，∵与相切于点，与相切于点，∴，，∴是的角平分线，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵的半径为，∴．

6．(2023·云南昆明·校考三模)【感知】如图1，已知四边形中，．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．聪明的李明同学在小卡片上给出了正确的解法：证明：连接，取的中点O，连结、，∵，O是的中点，∴，，∴，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上．【拓展】如图，在正方形中，，点F是中点，点E是边上一点，于点P．(注：下述证明过程中可直接使用李明的结论)(1)如图2，当点P在线段上时，证明：；(2)如图3，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N、M．求的最小值．【解析】(1)(1)如图，∵四边形是正方形∴，∵，∴∵∴四边形是正方形∴∵∴∴∵∴∴(2)如图，连接，取的中点O，连接，，过点O作于点K，于点T∵四边形是正方形，，点F是中点∴，，∴∵，，点O是的中点∴∵，∴∴∵∴四边形是矩形∴，∴∵∴∵在中，∴的最小值为7．(2023·吉林长春·校联考一模)问题原型：如图(1)所示，在等腰直角三角形中，，，的中点为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，过点作边上的高，易证，从而得到的面积为．初步探究：如图(2)所示，在中，，，的中点为．将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．用含的代数式表示的面积，并说明理由．简单应用：如图(3)所示，在等腰三角形中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，直接写出的面积(用含的代数式表示)．【解析】初步探究：，理由如下：如图(1)所示，过点作边上的高，，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，，，，，，∴，∴，为的中点，∴，∴，，∴；简单应用：如图(3)所示，过点作于，再过点作边上的高，在等腰三角形中，，∴，，由旋转的性质可得，，，∴，∴，∴，为的中点，∴，∴，∴，．8．(2023·浙江温州·校联考二模)如图在的方格纸中，点均在格点上，请按要求画出相应格点图形．

(1)在图1中画出关于点成中心对称的格点三角形(点的对应点分别为)．(2)在图2中画出，使得．【解析】(1)延长到使得，延长使得，如图所示，(2)∵，∴，∴，∴如图所示：，∴即为所求，

9．(2023·吉林延边·统考一模)【探究】(1)如图①，在中，，点是中点，连接，则与的数量关系是______．

【应用】(2)如图②，在中，，，点，分别是、的中点，连接、，且，，求的长度．

(3)如图③，的中线、相交于点，、分别是、的中点．连接、、、．若的面积为，则四边形的面积为______．

【解析】(1)在中，，点是中点，∴，∴与的数量关系是，故答案为：；(2)∵，∴，∵点，分别是、的中点，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴的长度为；(3)∵点、分别是、的中点，∴是的中位线，∴，，∵的中线、相交于点，即点、分别是、的中点，∴是的中位线，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∵是的边上的中线，的面积为，∴和等底等高，即，∵四边形是平行四边形，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴、、等底等高，∴，∴，∴，∴四边形的面积为：，故答案为：．10．(2023·黑龙江哈尔滨·统考二模)已知四边形中，，相交于点E，，．(1)如图，求证：；

(2)如图2，延长，延长相交于点F，若点D是的中点．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的2倍．

【解析】(1)证明：在与中，∵，，；∴，∴，∴．(2)∵点D是的中点，∴是的中线，是的中线，∴，由(1)可知，∴，∴∴，，，的面积都等于面积的2倍．11．(2023·江西南昌·校考一模)在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为．

(1)在图中作出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标；(2)求出的面积．【解析】(1)如图，作出A、B、C关于x轴的对称点，，，顺次连接，则为所作；

，，．(2)，答：的面积为4．12．(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、

(1)以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出(点、、的对应点分别为、、)；(2)将平移，使平移后点B、对应点、分别在轴和轴上，画出平移后的；(3)借助网格，请用无刻度的直尺画出的中线(保留作图辅助线)【解析】(1)如图所示．

(2)如图所示．

(3)的中线如图所示．

13．(2023·山东济南·统考三模)如图，在中，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交于点E．．

(1)求证：；(2)若的直径为13，，求的长．【解析】(1)证明：连接OD，

∵OD是圆的半径，DE是的切线．∴．∵．∴，∴．∵，∴．∴，∴；(2)连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，，∴，∵的直径为13，，∴，，∴，∵，∴．14．(2023·江苏无锡·校联考三模)如图①，在矩形中，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、，设点的运动时间为秒．

(1)当点在上时，用含的代数式表示；当点在上时，用含的代数式表示；(2)当为直角三角形时，求的值．(3)如图②，取的中点，连接．当在上，且时，求的值．当点在上运动时，是否存在的情况，如果存在直接写出的值，如果不存在请说明理由．【解析】(1)∵在矩形中，，，∴∴,点和点关于直线的对称，∴当在上时，∵，∴当点在上时，；当在上时，，当点在上时，；故答案为：，．(2)∵点和点关于直线的对称，若为直角三角形，则为等腰直角三角形，且，，当在上时，，则，∵，，即，解得，当在上时，，即，解得，综上，当为直角三角形时，的值为或；(3)过点作延长线于，延长交于，过点作于，

，，，在中，，∴在中，，，即，∴，解得，当点在线段上，时，过点作于，过点作于，，，，在中，，∴，在中，，，∴解得，当在上时的值为，当在上时的值为．15．(2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)如图，在中，，，将线段绕点逆时针旋转角得到线段，连接，过点作于点，连接，分别交、于点、．

(1)当时，求的大小；(2)当时，试写出线段与满足的数量关系，并证明；(3)若为线段的中点，求的长．【解析】(1)∵，当时，，∵，∴；(