2024北京西城区高一（下）期末数学试题及答案

2024北京西城高一（下）期末数学本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题440分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−3)，则z的共轭复数z=A.1+2.设向量a=，b=(x,4)，若a⊥b，则x=A.2B.2C.8D.8B.1−C.−1+D.1−43.在△ABC中，a=2，b=3，cosB=，则sinA=512345A.B.C.D.5554.平面向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则ab=A.2B.0C.1D.25.已知,是不重合的平面，,n是不重合的直线，下列命题中不的是A.若m//，m//，则//B.若m//n，m⊥，则n⊥C.若m⊥，m⊥，则//D.若m⊥，m，则⊥π6.在平面直角坐标系中，已知P(cos,sin)，[0,]，，则OAOP的取值范围是2A.2]B.2]C.[−2,2]D.[2,2]7.如图，已知正六棱锥P−的侧棱长为6，底面边长为3，Q是底面上一个动点，PQ42，则点Q所形成区域的面积为A.4πB.5πC.6πD.7π第1页/共页π8.已知函数f(x)=sin2x和g(x)=2x，f(x)的图象以每秒个单位的速度向左平移，g(x)的图象以每π秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒ππ9.已知函数f(x)=x+)0),n]，函数f(x)的图象既关于直线62x=m对称，又关于点(n,0)对称”是“2”的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10..理想方波sin(2n−x2n−1的解析式为y=a+b，而在实际应用中多采用近似方波发射信号.如n1111f(x)=sinx+sin3x+sin5x+sin7x就是一种近似情况，则357A.函数f(x)是最小正周期为π的奇函数πB.函数f(x)的对称轴为x=+2π(kZ)2πC.函数f(x)在区间]上单调递增2D.函数f(x)的最大值不大于2第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题525分。若复数z=，则|z=_________.1+i12.已知函数f(x)=2x.若非零实数a,b，使得f(x+a)=bf(x)对xR都成立，则满足条件的一组值可=_________..以是a=_________，b（只需写出一组）13.有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木制工艺品的体积为_________.14.在△ABC中，A=60，AC=6，=4，则=_________，|CA+CB=_________.15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−ABCD中，点M为的中点，点N是侧面D上（包括边111111界）的动点，点P是线段1D上的动点，给出下列四个结论：第2页/共页①任意点P，都有CD；⊥1②存在点P，使得1D平面⊥；③存在无数组点N和点P，使得1P//；6④点P到直线1的距离最小值是.3其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点4).（Ⅰ）求tan及tan的值；π（Ⅱ）求cos2++)的值.217.（本小题13分）B在△ABC中，a,b,c分别是三个内角,B,C的对边，bsinA−a=0.2（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若c1，且=边上的高是边上的高的倍，求b及2△ABC的面积.18.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC中，点−E,FAC,的中点.分别为11111（Ⅰ）求证：1//平面；AB=3=1AA=2，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个（Ⅱ）已知C，⊥，，1作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题：第3页/共页条件①：1C；=条件②：C；⊥条件③：2.=（ⅰ）求证：AB1；⊥（ⅱ）求三棱锥11的体积.−注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本小题15分）已知函数f(x)2sin(x=+0,0π))的部分图象如图所示.（Ⅰ）求f(x)的解析式；（Ⅱ）若函数g(x)f(x)sinx，（ⅰ）求函数g(x)的单调递增区间；（ⅱ）求函数g(x)在区间[0,10]内的所有零点的和.=第4页/共页20.（本小题15分）如图（1Rt△ABC中，C=90，=3AC=6D,E，，分别是AC,上的点，且//BC，=2，将△沿折起到△ADE的位置，使AC⊥CD，如图（）.11（Ⅰ）求证：C平面⊥；（Ⅱ）求点C到平面1的距离；（Ⅲ）点M为线段AD的中点，线段上是否存在点P，使得//平面A？11CPCB若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（1））21.（本小题15分）若存在实数k和周期函数h(x)，使得f(x)h(x)，则称=+f(x)是好函数.（Ⅰ）判断u(x)sinx，=v(x)=x+x2是否是好函数，证明你的结论；（Ⅱ）对任意实数x，函数f(x)，g(x)满足g(f(x=x，f(g(x=x.若f(x)是好函数，（ⅰ）当f(x)2x时，求=g(x)；（ⅱ）求证：f(x)不是周期函数；（ⅲ）求证：g(x)是好函数.第5页/共页参考答案一、选择题：本大题共小题，每小题4分，共分.（1）D（6）A（2）C（7）B（3）B（8）B（4）C（9）B（5）A（10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.a=π（）2（12），b1(答案不唯一)=（13）π，54π（14）12，47（15）①③④注：第12题填对一空得3分，两空都填对得5分；第1314题第一空2分，第二空3分；第15题全部选对得5分，选对2个得4分，选对1个得3分，不选或错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.（16以为始边，终边经过点,435所以tan=，cos=................................4分...............................8分32tan24所以==−.1−27π（Ⅱ）cos2++)2=22−1+cos...............................12分8=................................13分...............................1分...............................3分abc（17==，sinAsinBsinCB得sinBsinA−sinAcos=0.2因为A(0,π)，所以sinA0.B所以sinB=................................4分...............................5分2BBB所以2sin=.222因为Bπ)，BπB所以)，cos0.2所以sinB22B12=................................6分...............................7分2π所以=.26π所以B=.3第6页/共页（Ⅱ）因为边上的高是边上的高的2倍，c1，=所以ac所以b=a所以b=3.==.2...............................9分22+c2−2accosB=3，...............................10分...............................11分13所以△ABC=acsinB=................................13分22（18M为AB的中点，连接ME，MF，因为M为的中点，F为BC的中点，1MF//AC=........................，所以1分2因为AC，AC，E为=AC的中点，111111所以MF//1，1........................=2分所以1为平行四边形，所以1.又因为平面ABE，1平面ABE，所以1//面ABE........................5分.......................3分（Ⅱ）选择②③（ⅰ）由AB=3，1，=AC=22=2+2⊥，则.，得....................................6分因为CC⊥BC，CC⊥AC，，11所以1C⊥平面ABC.所以1C⊥................................7分...............................8分又因为，⊥CC1，所以⊥平面BBCC................................9分11又因为FC平面BBCC，111所以⊥1................................10分（ⅱ）三棱锥B−AFC的体积就是三棱锥A−B的体积．1111因为⊥平面BBCC，...................12分11所以三棱锥A−B的体积是11第7页/共页113113123V=S=BCAA=312=............14分BCF11132311选择①③在三棱柱−ABC中，因为AACC是平行四边形，=AC1111111所以AA1⊥AC.以下同选择②③.T3πππ（19=−=，4442所以T2π=....................1分2π||因为T=0，，=.1所以......................3分所以f(x)=2sin(x+).π因为f()=2，4π所以2sin(+)=2.4π所以sin(+)=1.4因为0π，π所以=....................5分4π所以f(x)=2sin(x+).4（Ⅱ）g(x)f(x)sinx=π=2sin(x+)sinx422=sinx+x)sinx......................6分......................7分222==(2sinx+2sinxx)222−2x+sin2x)2π2=sin(2x−)+.......................8分，42ππ（ⅰ）因为ysinx单调递增区间为=，[2π−,2π+]kZ22πππ所以2kπ−≤2x−≤2π+....................10分242ππ即π−≤x≤π+.88第8页/共页ππ所以g(x)的单调增区间为[π−,π+]，kZ....................11分88（ⅱ）令g(x)=f(x)sinx0，=π则f(x)=2sin(x+)=0或sinx0，=......................................12分13分4π所以x+=π或xπ，=kZ.4因为x[0,10]，π7π4所以x0，=，π，，2π，，π3π....................14分443π7π11454则0++π++2π+π+3π=π，44445所以g(x)在区间内所有的零点的和等于π....................15分4（201）中∥BC，所以⊥DE，⊥DE.C=90，将△ADE沿折起到△1DE位置，所以1⊥DE，CD⊥DE，...................2分...................3分...................4分...................5分因为1D，所以⊥平面CD.因为AC平面ACD，11所以DE⊥C.又因为⊥CD，DE所以⊥平面BCDE.（Ⅱ）作CH⊥1D于点H.，因为⊥平面ACD，CH平面ACD，11所以⊥CH.因为1D，所以CH⊥平面1.所以点C到平面1DE的距离为CH的长.....................................7分=，，在图（1∥BC，DE2，=3=6所以=.第9页/共页所以AD=4，CD2.=−=在△ACD中，A⊥CD，AD==4，11112AC=1D12−CD2=23，sinCA1D=所以.所以CH=ACsinCAD=3.11所以C到平面1DE的距离为3.（Ⅲ）存在.....................................10分....................................11分作MN∥1E交于N，过N作NP//BE交CB于P，连.因为所以平面∥平面1BE.平面，AE平面ABE，平面A，111..........................12分因为MPMNP，所以∥平面1...........................13分所以线段上存在点P，使∥平面1.因为M为线段AD中点，MN∥AE，111所以DN=NE=DE=1.2因为∥BC，所以四边形是平行四边形.....................................14分....................................15分所以NE1.==所以2.=−=CPCB23所以=.（21u(x)0xsinx，其中=+x为周期函数，所以u(x)为好函数.....................................2分若v(x)为好函数，则存在实数k和周期函数h(x)，使得v(x)kxh(x)，=+h(x)=x2+−k)x为周期函数.k−1所以当且仅当x=时，h(x)取最小值，这与h(x)是周期函数矛盾.