高考数学一轮复习（知识回扣+热点突破+能力提升）全称量词与存在量词、逻辑联结词 理 北师大版

第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词【考纲下载】1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．全称量词与全称命题(1)“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题(1)“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题叫作特称命题．3．全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的，特称命题的否定是全称命题．4．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非”．(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断.pqp且qp或q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真1．逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题．2．全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题的真假性有什么关系？提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题的真假性恰好相反．1．若命题“p或q”与命题“p”都是真命题，则()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假解析：选B由题可知“p”是真命题，所以p是假命题，又因为“p或q”是真命题，所以q是真命题．2．(·湖北高考改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q解析：选A命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p∧q”的否定．3．(·四川高考改编)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．p：∃x∈A,2x∈BB．p：∃x∉A,2x∈BC．p：∃x∈A,2x∉BD．p：∀x∉A,2x∉B解析：选C选C因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p的否定为p：∃x∈A,2x∉B.4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x<0.下列选项中为真命题的是()A．pB．qC．(p)∨qD．(q)∧p解析：选D依题意，命题p是真命题，命题q是假命题，因此p是假命题，(q)∧p是真命题，(p)∨q是假命题．5．(教材改编题)(1)命题p：任意两个等边三角形都是相似的，则綈p：__________.(2)命题p：存在x∈R，x2＋2x＋2＝0，则綈p：__________.解析：(1)全称命题的否定为特称命题，则綈p：存在两个等边三角形，它们不相似．(2)特称命题的否定为全称命题，则綈p：任意x∈R，x2＋2x＋2≠0答案：(1)存在两个等边三角形，它们不相似(2)任意x∈R，x2＋2x＋2≠0考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断[例1](·榆林模拟)给出下列两个命题，命题p1：y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题p2：y＝lneq\f(1－x,1＋x)为奇函数，则下列命题是假命题的是()A．p1∧p2B．p1∨(p2)C．p1∨p2D．p1∧(p2)[自主解答]由题意知，y＝ln[(1－x)(1＋x)]与y＝lneq\f(1－x,1＋x)的定义域均为(－1,1)，对于函数f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，即y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数，命题p1为真命题；对于函数g(x)＝lneq\f(1－x,1＋x)，g(－x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＝－g(x)，即y＝lneq\f(1－x,1＋x)是奇函数，命题p2是真命题，故p1∧(p2)为假命题．[答案]D【方法规律】判断“p∧q”、“p∨q”、“p”形式命题真假的步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“p”命题的真假．已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：“p1∨p2”，q2：“p1∧p2”，q3：“(非p1)∨p2”和q4：“p1∧(非A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4解析：选C由f′(x)＝(2x－2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2＞0知，命题p1是真命题，p1是假命题；g′(x)＝(2x＋2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，故命题p2是假命题，p2是真命题，从而命题q1，q4是真命题，故选C.考点二根据命题的真假求解参数的取值范围[例2]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－12，－4]∪[4，＋∞)B．[－12，－4]∪[4，＋∞)C．(－∞，－12)∪(－4,4)D．[－12，＋∞)[自主解答]命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．[答案]C【互动探究】保持本例条件不变，若p∧q为真，则如何选择？解析：选Bp∧q为真，∴p和q均为真．∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．【方法规律】根据命题的真假性求参数的方法步骤(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题p，q的真假性；(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－4a2＜0，))解得a＞eq\f(1,2).因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a＞\f(1,2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a≤\f(1,2)，))即a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)考点三全称命题、特称命题1．全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属容易题．2．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断全称命题、特称命题的真假性；(2)全称命题、特称命题的否定．[例3](1)(·洛阳模拟)下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2(2)(·重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x∈R，使得x≥0D．存在x∈R，使得x<0(3)(·湖北高考改编)命题“∃x∈∁RQ，x∈Q”的否定是()A．∃x∉∁RQ，x∈QB．∃x∈∁RQ，x∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q[自主解答](1)A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N*，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x＝eq\f(1,10)时，lgeq\f(1,10)＝－1<1；D项，当x∈R时，tanx∈R，∴∃x∈R，tanx＝2.(2)全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x∈R，使得x＜0”．(3)特称命题的否定是全称命题．“∃x∈∁RQ，x∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．[答案](1)B(2)D(3)D全(特)称命题问题的常见类型及解题策略(1)全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．(2)全(特)称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．1．(·海淀模拟)命题p：∃α∈R，sin(π－α)＝cosα；命题q：∀m＞0，双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,m2)＝1的离心率为eq\r(2).则下列结论正确的是()A．p是假命题B．是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题解析：选D依题意，对于命题p，注意到当α＝eq\f(π,4)时，sin(π－α)＝sinα＝sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)，因此命题p是真命题；对于命题q，注意到双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,m2)＝1的离心率e＝eq\f(\r(m2＋m2),\r(m2))＝eq\r(2)，因此命题q是真命题．故是假命题，p∧q是真命题，p∨q是真命题．2．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为()A．∃x∈M，f(－x)≠f(x)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x∈M，f(－x)＝f(x)解析：选A由偶函数的定义及命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”，可知“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x∈M，f(－x)≠f(x)”．3．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(m)B．∃x∈R，f(x)≥f(m)C．∀x∈R，f(x)≤f(m)D．∀x∈R，f(x)≥f(m)解析：选C∵a>0，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(b,2a)处取得最小值．∴f(m)是函数f(x)的最小值．故C为假命题．————————[课堂归纳——通法领悟]—————————————1个关系——逻辑联结词与集合的关系“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”．2类否定——含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)；：∃x∈M，(x)．(2)特称命题的否定是全称命题：特称命题p：∃x∈M，p(x)；：∀x∈M，x)．3点提醒——命题否定中的易错点(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．(3)“p∨q”的否定是“()∧()”；“p∧q”的否定是“(∨()”．易误警示(一)含有量词命题的否定中的易错点[典例](·辽宁高考改编)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0[解题指导]首先分析命题中所含有的量词，明确命题是全称命题还是特称命题，然后再对命题进行否定．[解析]题目中命题的意思是“对任意的x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0都成立”，要否定它，只要找到至少一组x1，x2，使得(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0即可，故命题“∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0”的否定是“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．[答案]C[名师点评]1.若忽视对量词的改写，易错选D；若对不等号改写不准确，易误选A.2．解决此类问题，还常出现以下错误：有的全称命题的全称量词往往可以不写，从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词．如命题“三角形的两边之和大于第三边”的否定应为“有些三角形的两边之和小于或等于第三边”而不是“三角形的两边之和小于或等于第三边”．3．为避免上述错误，对含有一个量词的命题进行否定时，应重点关注以下几点：(1)正确理解含有一个量词的命题的否定的含义，从整体上把握，明确其否定的实质．(2)明确命题的类型，是全称命题还是特称命题．(3)记住一些常用的词语的否定形式及其规律．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.[全盘巩固]1．(·福州模拟)命题“∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞0”的否定是()A．∃x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜0B．∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0C．∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＜0D．∃x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0解析：选D全称命题“∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“＞”改为“≤”，即“∃x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0”．2．下列命题为真命题的是()A．∃x∈Z,1<4x<3B．∃x∈Z,5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0解析：选D1<4x<3，eq\f(1,4)<x<eq\f(3,4)，这样的整数x不存在，故A为假命题；5x＋1＝0，x＝－eq\f(1,5)∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(7,4)>0，故D为真命题．3．已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨qC．p∨()D．()∧q解析：选C命题p中，m，n可能平行，还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以命题和命题都为真命题，故p∨()为真命题．4．已知命题p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx＝eq\f(1,2)，则为()A．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx＝eq\f(1,2)B．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2)C．∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2)D．∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx>eq\f(1,2)解析：选B依题意得，命题应为：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinx≠eq\f(1,2).5．(·烟台模拟)下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋x＋1＜0”，则：“∀x∈R，使得x2＋x＋1≥0”解析：选C根据逆否命题的构成，选项A中的说法正确；x＞1一定可得|x|＞0，但反之不成立，故选项B中的说法正确；且命题只要p、q中一个为假即为假命题，故选项C中的说法错误；特称命题的否定是全称命题，选项D中的说法正确．6．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq\f(1,2)；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q解析：选D抛物线y＝2x2，即x2＝eq\f(1,2)y的准线方程是y＝－eq\f(1,8)；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q、p∨(q)、(p)∧(q)都是假命题，p∨q是真命题．7．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．解析：全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根”．答案：存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根8．若命题“∃x∈R,2x－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为“∃x∈R,2x－3ax＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).答案：[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]9．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件；命题q：函数y＝eq\r(x－3)的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“”中为真命题的是________．解析：依题意知p假，q真，所以p∨q，为真．答案：p∨q，10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些素数是奇数；(3)s：∃x∈R，|x|>0.解：(1)非q：∃x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．(2)非r：每一个素数都不是奇数，假命题．(3)非s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．11．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：∀x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，x＋eq\f(1,x)＞c.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．解：若命题p为真，则0＜c＜1.若命题q为真，则c＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))min，又当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，2≤x＋eq\f(1,x)≤eq\f(5,2)，则必须且只需2＞c，即c＜2.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p、q必有一真一假．当p为真，q为假时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜c＜1，,c≥2，))无解；当p为假，q为真时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c≥1，,c＜2，))所以1≤c＜2.综上，c的取值范围为[1,2)．12．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题．求实数a的取值范围．解：由“p且q”为真命题，得p，q都是真命题．p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a所以命题q：a≥1或a≤－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥1或a≤－2，))得a＝1或a≤－2.故实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．[冲击名校]1．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要条件是()A．∃x∈R，f(x)＞g(x)B．有无穷多个x∈R，使得f(x)＞g(x)C．∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)解析：选D由于要恒成立，也就是对定义域内所有的x都成立，所以对于选项A来说显然不成立；而对于B，由于在区间(0,1)内也有无穷个数，因此无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于C，由C的条件∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1可以推导原结论f(x)＞g(x)恒成立是显然的，即充分性成立，但f(x)＞g(x)成立时不一定有f(x)＞g(x)＋1，比如f(x)＝x2＋0.5，g(x)＝x2，因此必要性不成立；对于D，必要性显然成立，由R中不存在x使f(x)≤g(x)，根据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x∈R都有f(x)＞g(x)，即充分性也成立，所以选D.2．(·潍坊模拟)已知f(x)＝a(x＋2a)(x－a－3)，g(x)＝2－x①∀x∈R，f(x)