2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数77.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质（教师用书）教案北师大版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析本节课为人教版高中数学必修4第13章第1节“正切函数的定义”，主要内容包括正切函数的定义、正切函数的图像与性质。本节课是学生在学习了锐角三角函数、任意角三角函数的基础上进一步学习的，是三角函数知识的重要组成部分，也是高考的重点内容。

教学目标：

1.理解正切函数的定义，掌握正切函数的图像与性质。

2.能够运用正切函数解决一些实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

教学重点：正切函数的定义，正切函数的图像与性质。

教学难点：正切函数图像的理解和运用。

教学过程：

1.导入：通过复习锐角三角函数、任意角三角函数的知识，引导学生思考正切函数的定义。

2.新课讲解：讲解正切函数的定义，引导学生通过实际例子理解正切函数的概念。

3.图像与性质：讲解正切函数的图像与性质，引导学生通过图像理解正切函数的性质。

4.练习与讨论：布置一些相关练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的合作能力。

5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，布置一些拓展题目，激发学生的学习兴趣。

教学方法：采用启发式教学法、讲授法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。

教学评价：通过课堂表现、练习题和课堂讨论等方式对学生的学习情况进行评价。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过正切函数的定义和性质的学习，学生能够抽象出正切函数的基本特征，运用逻辑推理得出正切函数的图像和性质，进而运用数学知识解决实际问题。同时，通过观察正切函数的图像，学生能够培养空间想象能力，从而更好地理解和运用正切函数。三、教学难点与重点1.教学重点

（1）正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，即正切函数等于对边除以邻边。

（2）正切函数的图像与性质：正切函数的图像是一条周期性的波浪线，具有奇函数和周期性等特点。正切函数在第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负；随着角度的增大，正切值会增大或减小。

（3）正切函数的应用：解决实际问题中涉及到的角度和比例问题，如计算施工进度、航海导航等。

2.教学难点

（1）正切函数的定义：学生难以理解正切函数是对边与邻边的比值，以及如何从直角三角形中得出正切值。

（2）正切函数图像的理解：学生难以理解正切函数图像的周期性、奇偶性以及随着角度增大，正切值的变化规律。

（3）正切函数性质的推导：学生难以理解正切函数的单调性、奇偶性等性质的推导过程。

（4）正切函数在实际问题中的应用：学生难以将正切函数应用于实际问题中，如施工进度计算、航海导航等。

针对以上难点，教师在教学过程中应采用直观教具、举例说明、引导学生自主探究等多种教学方法，帮助学生突破难点，理解正切函数的定义、图像与性质，并能够运用到实际问题中。四、教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：在讲解正切函数的定义和性质时，教师通过清晰的语言和生动的例子，向学生传授知识，引导学生理解和掌握正切函数的基本概念和性质。

（2）讨论法：在讲解正切函数图像的性质时，教师组织学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的理解和发现，促进学生之间的交流和合作，培养学生的团队协作能力。

（3）实验法：在讲解正切函数的应用时，教师引导学生进行实验操作，如使用计算器绘制正切函数的图像，让学生通过实践体验正切函数的应用，提高学生的实践操作能力。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用多媒体设备展示正切函数的图像和实际应用场景，通过形象的动画和图表，帮助学生直观地理解正切函数的性质和应用，提高学生的学习兴趣和理解能力。

（2）教学软件：使用教学软件进行课堂演示和练习，提供丰富的教学资源和互动功能，帮助学生更好地掌握正切函数的知识，同时能够及时得到反馈和指导。

（3）在线学习平台：利用在线学习平台提供补充教学材料和拓展练习，鼓励学生自主学习和探究，培养学生的自主学习能力。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：教师通过在线平台或班级微信群，发布预习资料，如PPT、视频、文档等，明确预习目标和要求。

-设计预习问题：教师围绕正切函数的定义和性质，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：教师利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照预习要求，自主阅读预习资料，理解正切函数的基本概念和性质。

-思考预习问题：学生针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：教师引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解正切函数的定义和性质，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：教师通过一个实际问题或案例，引出正切函数的定义和性质，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：教师详细讲解正切函数的定义和性质，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：教师设计小组讨论、实验等活动，让学生在实践中掌握正切函数的性质。

-解答疑问：教师针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论、实验等活动，体验正切函数的应用。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：教师通过详细讲解，帮助学生理解正切函数的定义和性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握正切函数的性质。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解正切函数的定义和性质，掌握正切函数的图像和性质。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：教师根据正切函数的定义和性质，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：教师提供与正切函数相关的拓展资源，如书籍、网站、视频等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：教师及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的正切函数的知识点和解题技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、知识点梳理1.正切函数的定义

-正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值，即正切函数等于对边除以邻边。

-特殊角的正切值：了解特殊角度（0°、30°、45°、60°等）的正切值。

2.正切函数的图像与性质

-正切函数的图像：正切函数的图像是一条周期性的波浪线，具有奇函数和周期性等特点。

-正切函数的性质：了解正切函数在第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负；随着角度的增大，正切值会增大或减小。

3.正切函数的应用

-解决实际问题：运用正切函数解决实际问题中涉及到的角度和比例问题，如计算施工进度、航海导航等。

-三角函数的变换：了解正切函数的诱导公式、和差公式等，掌握正切函数在不同角度下的变换。

4.正切函数的图像绘制

-绘制正切函数的图像：利用计算器或绘图软件，绘制正切函数的图像，观察和理解正切函数的周期性和奇偶性。

5.正切函数的性质推导

-推导正切函数的性质：通过数学证明和实例分析，推导出正切函数的单调性、奇偶性等性质。

6.正切函数与直角三角形的关系

-正切函数与直角三角形的关系：理解正切函数与直角三角形的联系，掌握通过直角三角形求解正切值的方法。

7.正切函数与其他三角函数的关系

-正切函数与其他三角函数的关系：了解正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，掌握三角函数之间的转换方法。

8.正切函数的极限与连续性

-正切函数的极限：探讨正切函数在角度趋近于零时的极限值。

-正切函数的连续性：研究正切函数的连续性，了解其在何时何处连续。

9.正切函数的反函数

-正切函数的反函数：学习正切函数的反函数，即正切函数的逆运算，掌握反函数的性质和应用。

10.正切函数在实际问题中的应用

-应用正切函数解决实际问题：通过实际案例，展示正切函数在工程、科学、航海等领域中的应用。七、课堂-提问评价：在讲解正切函数的定义和性质时，教师通过提问方式，了解学生对正切函数的理解程度，及时发现问题并进行解答。

-观察评价：教师在课堂上观察学生的反应和参与度，了解学生的学习状态，及时调整教学方法和节奏。

-测试评价：在讲解正切函数的图像和性质时，教师设计一些测试题目，了解学生对正切函数图像和性质的掌握情况，及时进行指导。

2.作业评价

-作业批改：教师认真批改学生的作业，检查学生的正切函数计算、图像绘制等技能掌握情况，及时发现问题并进行解答。

-作业点评：教师对学生的作业进行点评，给予学生正面的反馈和鼓励，同时指出作业中的不足之处，引导学生进行改进。

-作业反馈：教师及时反馈学生的作业情况，让学生了解自己的学习效果，鼓励学生继续努力，提高学习动力。

3.拓展评价

-拓展作业：教师布置一些拓展性的作业，如研究正切函数在实际问题中的应用，了解学生对正切函数的深入理解和应用能力。

-拓展反馈：教师对学生的拓展作业进行评价，给予学生正面的反馈和鼓励，同时指出作业中的不足之处，引导学生进行改进。

4.综合评价

-综合测试：在课程结束时，教师组织一次综合测试，全面评估学生对正切函数的掌握程度，包括正切函数的定义、图像、性质、应用等方面的内容。

-综合反馈：教师对学生的综合测试进行评价，给予学生全面的反馈和鼓励，同时指出学生在正切函数学习中的不足之处，引导学生进行改进。八、内容逻辑关系①正切函数的定义：正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。

②正切函数的图像与性质：正切函数的图像是一条周期性的波浪线，具有奇函数和周期性等特点。

③正切函数的应用：解决实际问题中涉及到的角度和比例问题。

2.词与句

①对边与邻边的比值：正切函数等于对边除以邻边。

②奇函数和周期性：正切函数在第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负；随着角度的增大，正切值会增大或减小。

③角度和比例问题：如计算施工进度、航海导航等。

3.板书设计

-正切函数的定义：对边/邻边

-正切函数的图像与性质：周期性的波浪线，奇函数，第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负，随着角度的增大，正切值会增大或减小。

-正切函数的应用：解决实际问题中的角度和比例问题，如计算施工进度、航海导航等。典型例题讲解1.例题1：求解正切函数的值

-题目：已知直角三角形，其中对边为5，邻边为4，求正切值。

-解答：根据正切函数的定义，正切值等于对边除以邻边。所以，正切值为5/4，即1.25。

2.例题2：绘制正切函数的图像

-题目：绘制正切函数y=tan(x)的图像。

-解答：使用计算器或绘图软件，输入正切函数y=tan(x)，绘制图像。观察图像，可以看到正切函数的图像是一条周期性的波浪线，具有奇函数和周期性等特点。

3.例题3：求解正切函数的反