2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第10章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征（含解析）

第第页§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．3．离散型随机变量分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(数学期望)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq\r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．5．均值(数学期望)与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．常用结论1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．(√)(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．(√)2．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).3．已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝________，D(X)＝________.答案21.2解析E(X)＝(1＋2)×0.4＋4×0.2＝2，D(X)＝(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.4＋(4－2)2×0.2＝1.2.4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．答案乙解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好.题型一分布列的性质例1(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的是()A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3答案ABD解析因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确；由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误；P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案D解析因为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，即a＝eq\f(5,4)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1(1)若随机变量X的分布列为X－101Paeq\f(1,3)c则P(|X|＝1)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)答案C解析由随机变量X的分布列得P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝________.答案eq\f(8,7)eq\f(3,7)解析由已知得随机变量X的分布列为X123Peq\f(k,2)eq\f(k,4)eq\f(k,8)∴eq\f(k,2)＋eq\f(k,4)＋eq\f(k,8)＝1，∴k＝eq\f(8,7).∴随机变量X的分布列为X123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(2,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(3,7).题型二离散型随机变量的分布列及数字特征命题点1求离散型随机变量的分布列及数字特征例2(1)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10～2020～3030～4040～50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是()A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34答案D解析设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达，P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立，∴P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05，P(X＝1)＝P(eq\x\to(A)B)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45，∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34.(2)已知某离散型随机变量X的分布列如表：X－1012Pabceq\f(1,3)若E(X)＝eq\f(3,4)，P(X≥1)＝eq\f(7,12)，则D(X)等于()A.eq\f(15,16)B.eq\f(9,8)C.eq\f(19,16)D.eq\f(5,4)答案C解析由题意，得a＋b＋c＋eq\f(1,3)＝1，所以a＋b＋c＝eq\f(2,3).①因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×eq\f(1,3)＝eq\f(3,4)，所以－a＋c＝eq\f(1,12).②由P(X≥1)＝c＋eq\f(1,3)＝eq\f(7,12)，得c＝eq\f(1,4)，代入①②解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,4).所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,4)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,16).均值、方差的大小比较、最值(范围)问题关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围．典例(1)设随机变量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，则当p从0增大到1时()X012Peq\f(1－p,2)eq\f(1,2)eq\f(p,2)A．D(X)增大 B．D(X)减小C．D(X)先减后增 D．D(X)先增后减答案D解析由分布列可得E(X)＝0×eq\f(1－p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)＋p，则D(X)＝eq\f(1－p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋p))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋p－1))2＋eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋p－2))2＝－p2＋p＋eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，因为0<p<1，所以D(X)先增后减．(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a,2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变量X的分布列为X0a2Peq\f(1,2)beq\f(1,6)下列结论正确的是()A．b＝eq\f(1,3)B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为eq\f(5,16)C．D(X)min＝eq\f(1,2)D．当D(X)min最小时，E(X)＝eq\f(1,3)答案ABC解析由题意eq\f(1,2)＋b＋eq\f(1,6)＝1，∴b＝eq\f(1,3)，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16)，故选项B正确；随机变量X的均值E(X)＝0×eq\f(1,2)＋a×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)(a＋1)，可知方差D(X)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)a＋1))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)a＋1))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－\f(1,3)a＋1))2×eq\f(1,6)＝eq\f(1,54)×(12a2－12a＋30)＝eq\f(1,54)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋27))，当a＝eq\f(1,2)时，D(X)min＝eq\f(1,2)，故选项C正确；当D(X)min＝eq\f(1,2)时，E(X)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＝eq\f(1,2)，故选项D错误．命题点2均值(数学期望)与方差的性质应用例3设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是()A．P(0<X<3.5)＝eq\f(2,3)B．E(3X＋2)＝7C．D(X)＝2D．D(3X＋1)＝6答案C解析因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1.P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故A不正确；因为E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正确；由D(X)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，故C正确；因为D(X)＝2，所以D(3X＋1)＝9D(X)＝18，故D不正确．思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．跟踪训练2(1)(多选)已知随机变量X的分布列为X－101Peq\f(1,3)m3m下列结论正确的有()A．m＝eq\f(1,6) B．E(X)＝eq\f(1,6)C．E(2X－1)＝eq\f(1,3) D．D(X)＝eq\f(29,36)答案ABD解析由分布列的性质得eq\f(1,3)＋4m＝1，解得m＝eq\f(1,6)，故A正确；E(X)＝－1×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，故B正确；E(2X－1)＝2E(X)－1＝－eq\f(2,3)，故C不正确；D(X)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,6)))2＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,6)))2＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)))2＝eq\f(29,36)，故D正确．(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为eq\f(1,4)，设他参加一次答题活动得分为ξ，则D(ξ)＝________.答案eq\f(15,16)解析由题意知，ξ的所有可能取值为5,4,3,2，P(ξ＝5)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(3,16)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16)，则E(ξ)＝5×eq\f(1,16)＋4×eq\f(3,16)＋3×eq\f(3,16)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(11,4)，D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(11,4)))2×eq\f(1,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(11,4)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(11,4)))2×eq\f(3,16)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(11,4)))2×eq\f(9,16)＝eq\f(15,16).题型三均值与方差中的决策问题例4随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80份．问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下：非常满意满意一般不满意A景点5030515B景点353078假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相互独立．(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率；(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A，B哪个旅游景点？说明理由．解(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意’的评价”为事件C，由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概率为eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为eq\f(35,80)＝eq\f(7,16)，则P(C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,16)))2＋Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))Ceq\o\al(1,2)·eq\f(7,16)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,16)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)))2＝eq\f(191,512).(2)设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对B景点的满意度评分为Y，由数表中数据得X的分布列为X4321Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,20)eq\f(3,20)Y的分布列为Y4321Peq\f(7,16)eq\f(3,8)eq\f(7,80)eq\f(1,10)则E(X)＝4×eq\f(1,2)＋3×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,20)＋1×eq\f(3,20)＝3.15，D(X)＝0.852×eq\f(1,2)＋(－0.15)2×eq\f(3,10)＋(－1.15)2×eq\f(1,20)＋(－2.15)2×eq\f(3,20)＝1.1275，E(Y)＝4×eq\f(7,16)＋3×eq\f(3,8)＋2×eq\f(7,80)＋1×eq\f(1,10)＝3.15，D(Y)＝0.852×eq\f(7,16)＋(－0.15)2×eq\f(3,8)＋(－1.15)2×eq\f(7,80)＋(－2.15)2×eq\f(1,10)＝0.9025，显然E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以选择B景点．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．课时精练一、单项选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为X123Peq\f(3,5)aeq\f(1,10)则X的均值E(X)等于()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．3答案A解析由题意得eq\f(3,5)＋a＋eq\f(1,10)＝1，解得a＝eq\f(3,10)，故E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).2．已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：甲产业收益分布列收益X/亿元－102概率0.10.30.6乙产业收益分布列收益Y/亿元012概率0.30.40.3则下列说法正确的是()A．甲产业收益的期望大，风险高B．甲产业收益的期望小，风险小C．乙产业收益的期望大，风险小D．乙产业收益的期望小，风险高答案A解析由题意可得E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，故E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，即甲产业收益的期望大，风险高．3．已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，则a为()A．1B．2C．3D．4答案B解析E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，由Y＝aX＋3得E(Y)＝aE(X)＋3，∴eq\f(7,3)＝a×(－eq\f(1,3))＋3，解得a＝2.4．现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路，有思路的题答对的概率为eq\f(4,5)，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为eq\f(1,4)，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()A.eq\f(93,10)B.eq\f(37,4)C.eq\f(39,4)D.eq\f(211,20)答案B解析记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,100)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(14,25)，P(X＝15)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(4,25)，所以E(X)＝0×eq\f(3,100)＋5×eq\f(1,4)＋10×eq\f(14,25)＋15×eq\f(4,25)＝eq\f(37,4).5．随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，其中c是常数，则D(9ξ－3)的值为()A．10B．117C．38D．35答案C解析∵P(ξ＝k)＝eq\f(c,k2＋k)，k＝1,2,3，∴eq\f(c,2)＋eq\f(c,6)＋eq\f(c,12)＝1，解得c＝eq\f(4,3)，∴E(ξ)＝1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(13,9)，∴D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(13,9)))2×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(13,9)))2×eq\f(2,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(13,9)))2×eq\f(1,9)＝eq\f(38,81)，∴D(9ξ－3)＝92D(ξ)＝81D(ξ)＝38.6．设0<a<1.随机变量X的分布列为X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)当a在(0,1)上增大时，则()A．E(X)不变B．E(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案D解析E(X)＝0×eq\f(1,3)＋a×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＝eq\f(a＋1,3)，∴当a在(0,1)上增大时，E(X)增大，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2]＝eq\f(2,9)(a2－a＋1)＝eq\f(2,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,6)，∴当a在(0,1)上增大时，D(X)先减小后增大．二、多项选择题7．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如表：X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)则下列正确的是()A．E(X)＝12 B．E(X)＝eq\f(9,4)C．m＝eq\f(1,3) D．n＝eq\f(1,3)答案BCD解析根据分布列可知m＋n＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(2,3)，①因为Y＝12X＋7，所以E(Y)＝12E(X)＋7＝34，解得E(X)＝eq\f(9,4)，又由分布列可得E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(9,4)，整理得2m＋3n＝eq\f(5,3)，②联立①②解得m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(1,3).三、填空题8．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示．ξ－202Pabeq\f(1,2)若随机变量ξ的均值E(ξ)＝eq\f(1,2)，则D(2ξ＋1)＝________.答案11解析由表中数据得E(ξ)＝－2a＋0×b＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4)，又a＋b＋eq\f(1,2)＝1，所以b＝eq\f(1,4)，所以D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,2)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(11,4)，所以D(2ξ＋1)＝22D(ξ)＝11.9．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，则工期延误天数Y的均值为________．答案3解析由题意可知P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延误天数Y的均值为3.10．已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的均值为________．答案eq\f(23,15)解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为eq\f(3,5)，则X的可能取值为1,2，则P1(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,1),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,3)，P1(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,3)，若从甲盒中随机取到的为白球且概率为eq\f(2,5)，则X的可能取值为0,1,2，则P2(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P2(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P2(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，综上，P(X＝0)＝eq\f(2,5)×P2(X＝0)＝eq\f(2,75)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×P1(X＝1)＋eq\f(2,5)×P2(X＝1)＝eq\f(31,75)，P(X＝2)＝eq\f(3,5)×P1(X＝2)＋eq\f(2,5)×P2(X＝2)＝eq\f(14,25)，故E(X)＝0×eq\f(2,75)＋1×eq\f(31,75)＋2×eq\f(14,25)＝eq\f(23,15).四、解答题11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求：(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率；(2)X的均值与方差．解(1)“所选3人中女生人数X≤1”的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的人数，所以X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以X的分布列为X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1.D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).12．某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2