2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第8章　§8.7　抛物线（原卷版）

第第页§8.8抛物线课标要求1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线x＝－eq\f(p,2)与x轴相交于点P，过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，α为AB与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．()(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．()(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．()2．抛物线x2＝eq\f(1,4)y的准线方程为()A．y＝－eq\f(1,16)B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,16)3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x4．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点到焦点的最短距离为1，则p的值为()A．0B．1C．2D．3题型一抛物线的定义及应用例1(1)设圆O：x2＋y2＝4与y轴交于A，B两点(A在B的上方)，过点B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为()A．x2＝8yB．x2＝16yC．y2＝8xD．y2＝16x(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．跟踪训练1(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为eq\f(11,4)，则m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)题型二抛物线的标准方程例2(1)抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为________．(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点A，B在抛物线上，且直线AB过点D(－eq\f(p,2),0)，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|＝6，则抛物线C的标准方程为________．跟踪训练2(1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为()A．x2＝6yB．x2＝12yC．x2＝18yD．x2＝36y(2)设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，点P在抛物线C上，|PF|＝eq\f(5,2)，若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，则该抛物线C的方程为________．题型三抛物线的几何性质例3(1)已知圆x2＋y2＝1与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)跟踪训练3(1)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，则|NF|＝________.课时精练一、单项选择题1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为()A．6B．4C．3D．23．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x4．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为()A．4B．6C．8D．10二、多项选择题6．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是()A．|MF|的最小值为2B．若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6C．若直线MN过点F，则x1x2＝4D．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为8三、填空题7．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝________.8．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12eq\r(3)，则∠AOB＝