2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第7章　§7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积（原卷版）

第第页§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课标要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S表＝S侧＋2S底V＝Sh锥体S表＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S表＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形，S原图形＝2eq\r(2)S直观图．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(4)锥体的体积等于底面积与高之积．()2.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱3．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行4．若一个圆锥的底面半径和高都是1，则它的母线长等于_____，它的体积等于_____．题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法正确的是()A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体命题点2直观图例2如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度为()A．1B．2C．3D．4命题点3展开图例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()A．12cmB．13cmC.eq\r(61)cmD．15cm跟踪训练1(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为()A．4eq\r(2)＋4B．4eq\r(6)＋4C．8eq\r(2)D．8(2)(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是()A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C．长方体是直平行六面体D．存在每个面都是直角三角形的四面体(3)有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________．题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．8πB．4πC．8D．4(2)如图所示，已知三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，则这个三棱台的侧面积为()A.eq\f(6＋3\r(3),2)B.eq\f(10＋3\r(3),2)C.eq\f(11＋3\r(3),2)D．3＋2eq\r(3)命题点2体积例5(1)如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为()A.eq\f(8\r(2),3)B．4eq\r(2)C.eq\f(4\r(2),3)D．2eq\r(2)(2)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝eq\r(2)，则该棱台的体积为________．跟踪训练2(1)定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm－10mm)，中雨(10mm－25mm)，大雨(25mm－50mm)，暴雨(50mm－100mm)；小明用一个圆锥形容器(如图)接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级()A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨(2)(多选)已知在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是()A．∠A1AB＝eq\f(π,6) B．高为eq\r(2)C．体积为eq\f(28\r(2),3) D．表面积为12eq\r(3)课时精练一、单项选择题1．下列说法正确的是()A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台2.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB＝8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的表面积为()A．11πB.eq\f(17π,2)C．6πD．5π3.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为()A．12eq\r(3)B．16C．24D．24eq\r(3)4.如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是()A．AB＝2B．A′D′＝2eq\r(2)C．四边形ABCD的周长为4＋2eq\r(2)＋2eq\r(3)D．四边形ABCD的面积为6eq\r(2)二、多项选择题5．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为eq\r(21)米，则()A．正四棱锥的底面边长为6米B．正四棱锥的底面边长为3米C．正四棱锥的侧面积为24eq\r(3)平方米D．正四棱锥的侧面积为12eq\r(3)平方米6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P－AC－O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面积为eq\r(3)三、填空题7.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为eq\r(3)的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积是________．8.某校高一年级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去正四棱台ABCD－EFGH后所得的几何体，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6cm，AA1＝4cm，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属2mg，不考虑损耗，所需金属膜的质量为________mg.四、解答题9.如图，矩形O′A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1.(1)求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积．10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝eq\f(1,2)