2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第6章　§6.2　等差数列（原卷版）

第第页§6.2等差数列课标要求1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)．(2)等差数列{an}的单调性当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．等差数列前n项和的常用性质(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数．(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．常用结论1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.()(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列．()(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()2．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于()A．－2B．4C．6D．83．若一个等差数列的首项为eq\f(1,25)，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A．d>eq\f(8,75)B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25)D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于()A．6B．12C．18D．24题型一等差数列基本量的运算例1(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于()A．25B．22C．20D．15跟踪训练1(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2(2)《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺题型二等差数列的判定与证明例2已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．跟踪训练2记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．题型三等差数列的性质命题点1项的性质例3(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝S21，则S23等于()A．1B．2C．3D．4(2)(多选)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，S6＝S7，S7>S8，则下列说法正确的有()A．公差d<0B．S12>0C．S9>S5D．使Sn<0的最小正整数n为14命题点2和的性质例4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝63，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．71C．99D．117(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)，则eq\f(a6,b6)等于()A.eq\f(20,17)B.eq\f(20,11)C.eq\f(17,22)D.eq\f(17,12)延伸探究在本例(2)中，将eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋7,2n)改为eq\f(an,bn)＝eq\f(3n＋7,2n)，则eq\f(S7,T7)＝________.跟踪训练3(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，a2＋a3＋a4＋a5＝20，则Sn的最大值为()A．60B．50C.eq\f(121,4)D．30(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S12)等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,9)课时精练一、单项选择题1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n等于()A．6B．7C．8D．92．已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于()A．7B．14C．21D．7(n－1)3．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15 B．S16C．S15或S16 D．S174．公差不为0的等差数列{an}满足aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,4)＝aeq\o\al(2,5)＋aeq\o\al(2,6)，Sn为数列{an}的前n项和，则下列各选项正确的是()A．a4＝0 B．a5＝0C．S8＝0 D．S9＝05．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S3n－S2n>S2n－Sn”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a1>0，S4＝S12，则()A．公差d<0B．a7＋a9<0C．Sn的最大值为S8D．满足Sn<0的n的最小值为16三、填空题7．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项和等于前8项和．若a8＋ak＝0，则k的值为________．8．设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．9．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________.四、解答题10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常数