江西省南昌市2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

江西省南昌市2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、

姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效.

3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑.

一、选择题（共6小题）.

1.下列各式中，负数是（）

A.|-5|B.（-1）2021C.-（-3）D.（-1）0

2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

）笛卡尔心形线

A.赵爽弦图B.

C.科克曲线D.j

斐波那契螺旋线

3.如图，在△ABC中，DE//BC,分别交A8,AC于点。，/1.若AO=1,DB=2,则△ADE

的面积与AABC的面积的比等于（）

/\

RC.

A.—B.—C.—D.—

2489

4.如图，四边形ABCC是。。的内接四边形,的半径为3,NC=140。，则弧8。的

长为（）

'B

24

A.—TiB.—ITC.iiD.2n

33

5.如图，已知点A,B分别在反比例函数为=-2和），2=K的图象上，若点A是线段0B

XX

6.如图，在等腰RtZXABC中，/C=90°,直角边AC长与正方形MNP。的边长均为2c〃?,

CA与MN在直线/上.开始时A点与M点重合；让△4BC向右平移；直到C点与N点

重合时为止.设AABC与正方形MNPQ重叠部分（图中阴影部分）的面积为yew?,MA

的长度为XC7H,则y与x之间的函数关系大致是（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨

海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为.

8.已知a,。是方程x2-3x-2=0的两个实数根，则a?-3a-a0的值为.

9.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”

大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需

圈舍的间数.设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y

10.如图，在AABC中，。为4c边上的点，ZDBC-ZA,BC=V6,AC=3,则CO的长

为.

弦值是____________________

12.在矩形ABCO中，边A8=1,AD=2,E是边AO的中点，点尸在射线BD上运动，若

ABEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）（1）计算：-22+|丘-4|+（1•）7+2tan60°；

（2）如图，在正方形A8CO中，点E是4。的中点，点尸在上，且C£»=4OF,连

接EGBE,求证△ABES2\£）EF.

14.（6分）先化简（1+士）+至苧士4.,再从0,-2,-1,1中选择一个合适的数代

a+1a2-l

入求值.

15.（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃

圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾.

（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；

（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率.

16.(6分)如图，是。。的内接三角形，/ABC=45°,请用无刻度的直尺按要求

作图.

(1)如图1,请在图1中画出弦。，使得cn=AC.

(2)如图2,AB是。。的直径，AN是0。的切线，点B,C,N在同一条直线上，请在

图中画出△ABN的边AN上的中线BD.

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC0的对角线B0在x轴上，若正方形

A8C。的边长为4&,点8在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过C点.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)若点P是反比例函数上的一点，且△尸8。的面积恰好等于正方形A8C0的面积，

求点P的坐标.

四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)某学生会向全校2000名学生发起来了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生

会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图1和图2,请根据相关

信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为人，图1中的加值是;

(2)本次调查获取的样本数据的众数是元和中位数是元，并求出平均

数？

(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

学生揖款额条形统计图

人数，

19.（8分）图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE（点A、E固定），滑动杆P尸和底座4。

组成，AC为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE=60a〃，AC

=120cm,收纳时，当滑动端点尸向右滑至点C时，滑动杆P尸恰好与滑槽AC重合.

（1）如图3,当滑动端点P滑至AC的中点B时，求点尸到底座4。的距离；

（2）当滑动端点P从点8向左滑动到点Q,尸尸与A。的夹角是70°时，小明观察点F

处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长（参考数据：

73^1.73.sin70°^0.94,cos700弋0.34,tan70°归2.75,结果保留一位小数）.

20.（8分）某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80

元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与

降价x（元）的关系如图所示.

（1）求销量y与降价x之间的关系式；

（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？

（3）若要使得平均每天销售这种玩具的利润W最大，则每个玩具应该降价多少元？最

大的利润W为多少元？

J'冷

28

24

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.如图：AB是。。的直径，C、G是。0上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的

直线CO_L8G的延长线于点力，交8A的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.

（1）求证：CO是。。的切线；

（2）若ED=^DB,求证：3OF=2DF；

（3）在（2）的条件下，连接A。，若8=3,求的长.

22.如图1,正方形ABC。和正方形AEFG,连接£>G,BE.

（1）发现

当正方形AEFG绕点A旋转,如图2,

①线段DG与BE之间的数量关系是；

②直线DG与直线8E之间的位置关系是.

（2）探究

如图3,若四边形ABC。与四边形AEFG都为矩形，且AO=2AB,AG=2AE,证明：直

线DG1.BE.

（3）应用

在（2）情况下，连接GE（点E在A8上方），GE//AB,且AB=娓，AE=\,则线

段DG是多少？（直接写出结论）

DC

六、解答题（本大题12分）

23.（12分）已知抛物线G：y,=-2（x-1）2+断交x轴于点（0,0）和点人（仇，0）,

抛物线C2：以=-（x-历）2+灯交x轴于点（0,0）和点A2（左，0）,抛物线C3：力

=-/（x-b2）2+k3交》轴于点（°，0）和点43（加，0）…按此规律，得抛物线G：

12

%=_..芯“（x-bn-p+kn交x轴于点（0,0）和点A”（而°）（其中"为正整数），

我们把抛物线G，C2,C3…G称为抛物线簇.

（1）求加，历，b3的值以及抛物线＞'2的解析式；

（2）请用含"的代数式表示线段的长；

（3）是否存在某条直线经过以上抛物线簇所有的顶点，若存在请求出直线解析式，若不

存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.下列各式中，负数是（）

A.|-5|B.（-1）2021C.-（-3）D.（-1）0

【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则、零指数幕的性质分别化简

得出答案.

解：A、|-5|=5,不合题意；

B、（-1）2021=.1,符合题意；

C、-（-3）=3,不合题意；

D、（-1）°=1,不合题意；

故选：B.

【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及有理数的乘方运算、零指数哥的性质等知识,

正确掌握相关定义是解题关键.

2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

A.赵爽弦图B.笛卡尔心形线

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进

行分析即可.

解：4、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴,

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.如图，在△ABC中，DE//BC,分别交A8,AC于点。，E.若4。=1,DB=2,则

的面积与△ABC的面积的比等于（）

【分析】根据£>E〃BC,即可证得△ADESZXABC,然后根据相似三角形的面积的比等于

相似比的平方，即可求解.

解：'：AD=\,DB=2,

：.AB=AD+DB^3,

'：DE//BC,

：.△ACEs△ABC,

.S△蛆E.=（皿）2_（工）2=—.

^AABC杷39

故选：D.

n

RC

【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键.

4.如图，四边形A8C。是。0的内接四边形，。0的半径为3,ZC=140°,则弧8。的

长为（）

,----3

月飞------------JB

24

A.—ITB.—nC.ITD.2n

33

【分析】连接OB、OC,根据圆内接四边形的性质求出/A的度数，根据圆周角定理求

出/B。。的度数，利用弧长公式计算即可.

解：连接。8、OD,

,/四边形ABCD是。。的内接四边形，

；./A+/C=180°,

/.ZA=I8O°-ZC=40°,

由圆周角定理得，ZBO£>=2ZA=80°,

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质.圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接

四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键.

5.如图，已知点A,8分别在反比例函数以=-2和>2=K的图象上，若点4是线段OB

XX

的中点，则攵的值为（）

y

A.-8B.8C.-2D.-4

【分析】设A(a,b),则B(2a,2b),将点A、8分别代入所在的双曲线解析式进行

解答.

解：设A(a,b),则B(2a,2b),

9

•.•点A在反比例函数yi=的图象上，

x

.,.ab=-2；

；B点在反比例函数)，2=上的图象上，

X

k=2a*2b=4ab=-8.

故选：A.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点(x,y)的横纵坐标

的积是定值即盯=人.

6.如图，在等腰RtA4BC中，NC=90°,直角边AC长与正方形MNP。的边长均为2的,

CA与MN在直线/上.开始时4点与M点重合；让△ABC向右平移；直到C点与N点

重合时为止.设AABC与正方形MNP。重叠部分(图中阴影部分)的面积为)，“〃2,MA

的长度为xcm,则y与x之间的函数关系大致是()

【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与X的关系类型，根据函数的性质确定

选项.

解：当xW2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，

面积为：>=32，

是一个开口向上的二次函数；

当x>2时，

重合部分是直角梯形，

面积为：y—2--1-(x-2)2,

是一个开口向下的二次函数.

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是确定每段阴影部分与x的

关系类型，根据函数的性质确定选项.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.港珠澳大桥被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”之一，它是世界总体跨度最长的跨

海大桥，全长55000米，数字55000用科学记数法表示为5.5X1()4.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，”是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

解：数字55000用科学记数法表示为5.5X104.

故答案为：5.5X104.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及“的值.

8.已知a,0是方程/-3x-2=0的两个实数根，则a2-3a-aB的值为4.

【分析】根据根与系数的关系可得邓=-2以及方程解的定义可得a2-3a=2,然后再

对a2-3a-ap变形后代入计算即可.

解：•••明0是方程/-3x-2=0的两个实数根，

/.a2-3a-2=0,耶=-2,

.".a2-3a=2,

a2-3a-ap

=（a2-3a）-ap

=2-（-2）

=4,

故答案为4.

【点评】本题考查了二元一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义，灵活运用二元

一次方程根与系数的关系以及方程的解的定义是解答本题的关键.

9.“今有五十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”

大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，求所需

圈舍的间数.设大圈舍的间数是x间，小圈舍的间数是y间，用含x的代数式表示y=

25-3x

2-,

【分析】根据这些圈舍共容纳50只鹿，即可得出关于x,y的二元一次方程，变形后即

可得出结论.

解：依题意得：6x+4y=50,

.25~3x

..y=---------.

2

故答案为：在笋.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及函数关系式，找准等量关系，

正确列出二元一次方程是解题的关键.

10.如图，在△4BC中，。为AC边上的点，ZDBC^ZA,BC=J^，AC=3,则C£＞的长

为2.

【分析】先证明△BCOs^ACB,再根据相似三角形的对应边成比例的性质求CD的长

度.

解：在△8CD和△ACB中，

VZC=ZC（公共角），

NDBC=NA（已知），

:.XBCDsXACB,

•BC_AC

•0一而‘

VBC=V6,AC=3,

：.CD=2.

【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定定理（两个三角形中，有两个角对应相等,

则这两个三角形相似）及相似三角形的性质（相似三角形中，对应边成比例）.

11.如图，在网格图中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，则/BAC的余

弦值是运.

一5一

【分析】连接BD,则/">8=90°,由勾股定理得出AD=近,由锐角三

角函数定义即可得出答案.

解：如图所示，连接8。,

则/A£>5=90。，AD={/+]2=&,A,B12+32~Vlo

：.cosZBAC=—=^-；

AB5

故答案为：近.

5

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义

是解题的关键.

12.在矩形ABC。中，边AB=1,AD=2,E是边A。的中点，点尸在射线80上运动，若

△BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于—灰母或竽■或唱

【分析】先根据矩形的性质及中点的定义得出/BA£>=90°,AE=DE^\,依据勾股定

理即可得到8E和8。的长.再分三种情况讨论：①BP=PE；②PB=BE；③EB=EP,

即可得到。尸的长.

解：分三种情况：

①当BP=EP时，连接AP并延长交BC于点尸，如图1,

图1

AE=—AD=1=AB,

2

：.AP垂直平分BE,

：.ZBAF=45°=NAFB,

：.BF=AB=\,

,JBF//AD,

：.△A£>PS"8P,

•BPBF1

••而一=正一=彳，

DP=-^BD-^XrF+22=^/5；

图2

在RtZvlBE中，BE={]2+]2=血,

:.BP=®,

在RtZXAB。中，BD=d心d=爬，

:.DP=BD-BP=，^-品

③当8E=PE时，如图3,过E作EF_LBP于点凡则NEFD=NA=90°,NEDF=N

图3

4ABDS/\FED,

.DF_DEpnDF_1

..瓦一访’即万一7?

ADF='|V5,BF=45--|V5='|V5,

,:BE=PE,EFLBP,

:.PF=BF=

:.PD=PF-DF=_V5

5-

综上所述，线段OP的长度等于

故答案为:

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定与

性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，进行分类讨论是解题的关键.

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（6分）（1）计算：-22+|万-4|+（工）7+2tan60°；

3

（2）如图，在正方形ABC。中，点E是AO的中点，点F在CZ）上，且CO=4OF,连

接E尸、BE,求证尸.

【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负整数指数幕的性质、二次根式的性质、特殊

角的三角函数值分别化简得出答案.

（2）根据相似三角形的判定方法即可求出答案.

【解答】（1）解：原式=-4+4-2«+3+2*通

=3.

（2）证明：设A3=4公

在正方形A8C。中，

AB=AD=CD=4kfZA=ZD=90°,

:,DF=k,AE=ED=2k,

.AE二尹二1

**AB'ED

・・・/\ABE^/\DEF.

【点评】本题考查了实数的运算，相似三角形的判定以及正方形的性质，解题的关键是

熟悉相似三角形的判定方法.

14.（6分）先化简（1+士）+三华3•，再从0,-2,-1,1中选择一个合适的数代

a+1a2-l

入求值.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的〃的

值代入计算即可.

原式=（篝+）+借襦

解:

_a+2.(a+1)Q-l)

a+l(a+2)2

_a-l

a+2‘

Va#:±1且ci丰-2,

.*.a=0,

则原式=2=

22

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则.

15.（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃

圾、有害垃圾、其它垃圾.其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾.

（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；

（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；

（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案.

解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A,B,C,D,

•••垃圾要按A，B,C、O类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，

甲拿的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：4：

ABCDABCDABCDABCD

由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种

结果，

所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为¥•=?.

164

【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键.

16.(6分)如图，△ABC是。。的内接三角形，ZABC=45a,请用无刻度的直尺按要求

作图.

(1)如图1,请在图1中画出弦CZ),使得CD=AC.

(2)如图2,AB是的直径，AN是。。的切线，点8,C,N在同一条直线上，请在

图中画出△A8N的边AN上的中线BD

【分析】(1)利用直尺即可作图；

(2)复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基

本作图方法.

(1)如图1：连接A0并延长交圆于点。，连接CO,则CO=AC.C£>即为所求作的图

形.

(2)如图:连接AC、ON交于点P,连接BP交AN于点£>,则BD就是边AN上的中线.8。

即为所求作的图形.

【点评】本题考查了复杂作图、线段的垂直平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几

何图形的性质，再逐步操作.

17.(6分)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的对角线8。在x轴上，若正方形

ABC。的边长为4&,点8在x轴负半轴上，反比例函数的图象经过C点.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)若点P是反比例函数上的一点，且△P8。的面积恰好等于正方形A8C。的面积，

求点P的坐标.

【分析】(1)连接AC,交x轴于点。，由四边形ABC。为正方形，得到对角线互相平

分且垂直，四条边相等，根据正方形的边长，利用勾股定理求出CD,0。的长，确定出

C坐标，代入反比例解析式求出％的值，即可确定出解析式；

(2)分两种情况考虑：若B在第一象限的反比例函数图象上，连接P归，P\O,根据△

的面积恰好等于正方形ABC。的面积，利用三角形面积公式求出Pi的纵坐标，代

入反比例解析式即可确定出P的坐标；若P2在第三象限反比例图象上，连接022,BP2,

同理确定出P2坐标即可.

解：(1)连接AC,交x轴于点。，

•••四边形A8C。为正方形，

：.AD=DC=0D^BD,且AC_L0B,

,/正方形ABC0的边长为4&,

：.DC=0D=-^^-=4,

V2

：.C(-4,-4),

把C坐标代入反比例函数解析式得：k=16,

则反比例函数解析式为y=~

X

(2)•.•正方形ABC。的边长为4&,

正方形ABC0的面积为32,

分两种情况考虑：

若Pl在第一象限的反比例函数图象上，连接P\0,

•••5v18。=/80由"=5正方形ABCO=32,而OB=^CO=8,

.♦.98义|源=32,

•'•ypi—8,

把y=8代入反比例函数解析式得：x=2,

此时尸1坐标为(2,8)；

若P2在第三象限反比例图象上，连接。尸2,BP2,

同理得到y/>2=-8,

把y=-8代入反比例函数解析式得：x=-2,

此时P2（-2,-8）,

综上所述，点P的坐标为（2,8）或（-2,-8）.

P：

【点评】此题属于反比例函数综合题，主要考查了坐标与图形性质，正方形的性质，待

定系数法确定反比例函数解析式以及勾股定理的综合运用，熟练掌握待定系数法是解本

题的关键.

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.（8分）某学生会向全校2000名学生发起来了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生

会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了统计图1和图2,请根据相关

信息，解答下列问题：

（1）本次接受随机抽样调杳的学生人数为50人,图1中的1值是32；

（2）本次调查获取的样本数据的众数是10元和中位数是15元,并求出平均数？

（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

学生捐款额条形统计图

人数，

20

20

【分析】（1）由5元的人数及其所占百分比可得总人数，用10元人数除以总人数可得

m的值；

（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.

解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为：4+8%=50（人），

V—X100%=32%,

50

/.m=32,

故答案为：50、32；

（2）10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数据的众数是10元,

因为共有50人，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则本次调查获取的样本数

据的中位数是耳叵=15（元），

本次调查获取的样本数据的平均数是：—X（4X5+16X10+12X15+10X20+8X30）=

50

16（元），

故答案为：10,15；

（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为2000X32%=640（人）.

【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和特点，理解统计图中数量关系是解

决问题的关键，两个统计图联系起来寻找数量关系是常用的方法，体会样本估计总体的

统计方法.

19.（8分）图1是一款折叠式跑步机，由支杆AE（点A、E固定），滑动杆P尸和底座AO

组成，AC为滑槽，图2是其侧面简化示意图，忽略跑步机的厚度，已知AE=60a”，AC

=120c»i,收纳时，当滑动端点P向右滑至点C时，滑动杆PF恰好与滑槽AC重合.

（1）如图3,当滑动端点尸滑至AC的中点B时，求点尸到底座4。的距离；

（2）当滑动端点P从点8向左滑动到点Q,PF与的夹角是70°时，小明观察点F

处的仪表盘视角为最佳，求此时滑动端点P继续向左滑动的距离BQ的长（参考数据：

73^1.73,sin70°弋0.94,cos70°%0.34,tan70°弋2.75,结果保留一位小数）.

（2）过点E作垂足为根据直角三角形的三角函数解答即可.

解：（1）如图1,

图1

连接A尸，由题意可知AB=AE=BE=EF=60,

.♦.△ABF是直角三角形，且NE4B=90°,

M=VFB2-AB2=V1202-602=60V3^1O3.8(cm),

过点E作EML4B,垂足为M,

设BQ=x,则M2=-1-A2=y（60-x），

在RtZ\EMQ中，cosZMQE=^r，

QE

.•.cos700=f（60-x）,

-60

即蛇工-034,

120

解得：X^\9.2（£7"）,

...此时滑动的距离约为19.2cm.

【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内

容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

20.（8分）某地摊上的一种玩具，已知其进价为50元/个，试销阶段发现将售价定为80

元/个时，每天可销售20个，后来为了扩大销售量，适当降低了售价，销售量y（个）与

降价x（元）的关系如图所示.

（1）求销量y与降价x之间的关系式；

（2）该玩具每个降价多少元，可以恰好获得750元的利润？

(3)若要使得平均每天销售这种玩具的利润卬最大，则每个玩具应该降价多少元？最

大的利润W为多少元？

【分析】(1)设销量y与降价X之间的关系式丫=齿+匕，将点(2,24)、(4,28)代

入上式，即可求解；

(2)由题意得：(80-X-50)(2x+20)=750,即可求解；

(3)由题意得：W=(80-X-50)(2x+20)=-2(x-10)2+800,即可求解.

解：(1)设销量y与降价x之间的关系式

将点(2,24)、(4,28)代入上式得解得(k=2,

[28=4k+blb=20

故销量y与降价x之间的关系式y=2x+20；

(2)由题意得：(80-X-50)(2x+20)=750,

解得x=5或15(元)，

故该玩具每个降价5元或15元，可以恰好获得750元的利润;

(3)由题意得：W=(80-x-50)(2x+20)=-2(x-10)2+800,

；-2<0,

故当x=10(元)时，W的最大值为800(元).

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函

数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选

择得到最大利润.

五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.如图：A8是。。的直径，C、G是。。上两点，且点C是劣弧AG的中点，过点C的

直线COLBG的延长线于点，交54的延长线于点E,连接BC,交。。于点F.

(1)求证：8是。。的切线；

(2)若ED=y[^pB,求证：3OF=2DF；

(3)在(2)的条件下，连接A。，若CO=3,求AD的长.

【分析】(1)如图1,连接。c,AC,CG,由圆周角定理得到NA8C=NCBG,根据同

圆的半径相等得到OC=OB,于是得至U/OCB=/OBC,等量代换得到/OCB=/CBG,

根据平行线的判定得到OC//BG,即可得到结论；

(2)如图1,根据三角函数的定义得到/£=30°,求得NEBD=NCOE=60°,得到

OC=^OE,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；

(3)如图2,过A作AHLOE于〃，解直角三角形即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图1,连接OC,AC,CG,

：AC=CG,

・AC=CG，

・・/ABC=/CBG,

：OC=OB,

・.NOCB=/OBC,

\ZOCB=ZCBG,

\OC//BG,

：CD.LBG,

\OC_LCDf

・・C。是OO的切线；

(2)解：如图1,VCD1BG,

\ZBDE=90°,

：ED=^]opB,

理=返

\tan£=

DE3

•.ZE=30°,

\ZEBD=ZCOE=60°,

\OC=-OE,

2

\OC=OA=AE,

：OC//BD,

：.4E0CS/\EBD,

♦：OC〃BD,

：.4COFs丛BDF,

.OF_QC_2

一加而而，

：.3OF=2DF；

(3)解：如图2,过A作AHLOE于"，

VZE=30°

；・NEBD=60°,

工NCBD=L/EBD=30。,

2

•：CD=3,

:.BD=3M，DE=9,BE=6M，

：.AE=—BE=2^

3

・・・A”=遍，

:.EH=3,

：.DH=9-3=6,

在中，AO={AH2+DH2=V^.

J,

D

图2

D

图1

【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数,勾股定理相似三角形的判定和

性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

22.如图1,正方形ABCO和正方形AEFG,连接。G,BE.

（1）发现

当正方形AEFG绕点A旋转，如图2,

①线段DG与8E之间的数量关系是DG=BE；

②直线DG与直线BE之间的位置关系是DGLBE.

（2）探究

如图3,若四边形ABCD与四边形4E/G都为矩形，且40=248,AG=2AE,证明：直

线DGA.BE.

（3）应用

在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE〃AB,且AB=JE，AE=l,则线

段OG是多少？（直接写出结论）

等角的余角相等即可得出结论：

（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出得出再

利用等角的余角相等即可得出结论；

（3）先求出BE,进而得出BE=AB,即可得出四边形48EG是平行四边形，进而得出/

AEB=90°,求出BE,借助（2）得出的相似，即可得出结论.

解：（1）①：四边形ABC。和四边形AEFG是正方形，

：.AE=AG,AB=AD,ZBAD^ZEAG=90°,

：.ZBAE=ZDAG,

'AB=AD

在△ABE和△ZMG中，＜/BAE=/DAG，

AE=AG

.♦.△ABE丝△D4G（SAS）,

；.B