2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习5 . 2 . 2 概率的运算

5.2.2概率的运算

基础过关练

题组一对概率的运算的理解

1.(2020辽宁省实验中学期末)下列说法正确的是(

M当A,B不互斥时,可由公式P(AUS=P(A)+P⑵-计算AUB的概率

B.4〃同时发生的概率一定比4方中恰有一个发生的概率小

C.若〃(⑷+尸(4)=1,则事件A与夕是对立事件

D.事件A,8中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大

2.(多选)在一次随机试验中，事件4,&4发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下

列说法错误的是(

A.4U4与4是互斥事件,也是对立事件

B.(4U4)U4是必然事件

C.P(4U4)=0.8

D.尸(4U4)W0.5

3.给出下列命题,其中说法正确的是(

A.若A,b为两个随机事件,则P(AUm=P(A)+P出

B.若事件A,B,。两两互斥，则尸(4+尸(而+夕(。=1

C.若A,6为互斥事件,则P3+P⑶W1

D.若作用则尸储)〈尸㈤

题组二利用概率的运算求概率

4.(2020浙江金华检测)围棋盒子中有多粒黑子和白子,从中不放回地任取2粒，

其中2粒都是黑子的概率是巳,2粒都是白子的概率是蓑,则2粒恰好是同一种颜

色的概率是(

5.甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜乙

的概率是()

A.0.2B.0.3C.0.5D.0.8

6.掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率

均为g记事件力为“向上的点数是奇数”，事件方为“向上的点数不超过3”，则

6

P(4UB)=()

A.-13B.-C.-2D.-4

5539

7.已知产储)=0.5,尸(面=0.3.

⑴如果住4那么P(AUs=,P(岫=,P(川面=;

⑵如果4〃互斥，那么P{AU,P(A助=,P(A\B)=.

8.(2020山东济南历城第二中学检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，活动

规则如下:顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个小球(除编号外,完全相同)的抽

奖箱中不放回地摸出两个小球,若摸出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,

若编号之和等于6或5,则中二等奖,若编号之和等于4,则中三等奖,其余结果不

中奖.

(1)求中二等奖的概率；

⑵求不中奖的概率.

能力提升练

题组概率的运算

1.（2020吉林省实验中学期末）已知随机事件4&。中,4与方互斥,B与。对立，

且夕（4）=0.3,=0.6,则2（4+百=（）

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.9

2.掷一枚质地均匀的骰子,观察其向上的点数,事件4表示“出现小于5的偶数

点”，事件方表示“出现小于5的点”，则一次试验中，事件尔后（后表示事件夕的

对立事件）发生的概率为（）

3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付

的概率为0.15,则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

4.（2020四川成都七中期末）在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任

取2件，下列事件中概率为三的是（）

10

A.2件都是一级品

B.2件都是二级品

C.一'级品和二级品各1件

D.至少有1件二级品

5.若随机事件A,〃互斥,A,8发生的概率均不等于0,且产G4）=2-a,2（而=4年5,则

实数a的取值范围是（）

C.[-,-1D,

142j'3」

6.袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一

球，得到红球的概率是右得到黑球或黄球的概率是总得到黄球或绿球的概率也是

总则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是,,.

7.现有7名学生,其中4,4,4的数学成绩优秀,尻氏的物理成绩优秀，G,C的化

学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表

学校参加竞赛.

(1)求G被选中的概率；

(2)求4和6至多有一个被选中的概率.

8.甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数，则甲

赢;否则乙赢.

(1)若事件力表示“和为6”，求尸(心；

⑵现连玩三次,若事件〃表示“甲至少赢一次”，事件。表示“乙至少赢两次”，

试问B与。是不是互斥事件?为什么？

⑶这种游戏规则公平吗?试说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.A根据概率的性质，可知A中说法正确.对于两个不可能事件来说，同时发生

的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零,故B中说法错误.当A,夕是对立事件

时,P(4)+P㈤=1,但由P(A)+P®=1不能得到事件A与〃是对立事件,故C中说

法错误.事件A,8中至少有一个发生包括事件A发生且事件〃不发生,事件A不

发生且事件少发生,事件4夕同时发生;4夕中恰有一个发生包括事件A发生且事

件夕不发生,事件A不发生且事件8发生.当事件A,8互斥时,事件4夕同时发生

的概率为0,此时事件4〃中至少有一个发生的概率等于事件4〃中恰有一个发

生的概率，故D中说法错误.

2.ABC事件4,&4不一定两两互斥,所以夕(4U4)=#(4)+〃(4)-

产(44)W0.5,P(4U4)=尸(4)+尸(4)-尸(44)W0.8,H(4U4)所以

(4U4)U4不一定是必然事件,无法判断4U4与4是不是互斥或对立事件,所

以A、B、C中说法错误.故选ABC.

3.C当4方为两个互斥事件时,才有P(4U而=夕(4+P出,故A中说法不正确；当

事件A,瓦。两两互斥,且4U4U△。时，才有P(A)+P⑦+夕(。=1,故B中说法不

正确；当A,〃为互斥事件时,尸(⑷+P(〃)=PG4U4)W1,故C中说法正确；由概率的

性质可知,若AQB,则P(A)W尸㈤，故D中说法不正确.

4.C设事件会“从中取出的2粒都是黑子”，事件庐“从中取出的2粒都是白

子”，事件小“从中取出的2粒恰好是同一种颜色"，则eiU瓦且事件4与事

件B互斥,所以尸(。=尸(冷+产(而=衿|=1故取出的2粒恰好是同一种颜色的概

73535

率为二

35

5.B设“甲不输”为事件4“甲胜乙”为事件夕，“甲、乙下成平局”为事件C

则事件A是事件方与事件。的和,显然B,C互斥,所以P(A)=PSP(O,而

2(2)=0.8,A6)=0.5,所以P(m=P(A)-P(O=0.3,所以甲胜乙的概率是0.3,故选B.

6.C记事件A,="出现，点(7=1,2,3,4,5,6)”,则A=4cAU4,B=

4U4UA,4G庐AUA,

所以/a)=M，p⑦笔,44,

626263

所以/(力u3=P(A)+p⑦-P(AS=-.

3

7.答案(l)0.5;0.3;0.2(2)0.8;0;0.5

解析(1)如果底4那么AUB=A,ADB=B,

所以/aU/=尸(冷=0.5,尸(施=P(U=0.3,

〃(川与=P(A)-P(屈)=0.2.

(2)如果A,B互斥,那么AQB=0,则

KAUB)=P(A)+P(B=0.5+0.3=0.8,P(岫=0,尸(川面=P(A)-P(A助=0.5.

8.解析从五个小球中不放回地摸出两个小球,不同的结果有

(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10个.

记两个小球的编号之和为X.

(1)记“中二等奖”为事件4由题意可知，事件/包括两个互斥事件:尸5和尸6.

当尸5时，取法有2种，即(1,4),(2,3),故尸(尸5)=。=1;

105

当尸6时，取法有1种，即(2,4)，故尸(尸6)匚,

10

所以〃力)=〃(产5)+P(产6)三+之二.

51010

(2)记“不中奖”为事件氏则“中奖”为事件瓦由题意可知，事件互包括三个互

斥事件：中一等奖(下7),中二等奖(事件A),中三等奖(尸4).

当户7时，取法有1种,即(3,4),故尸(尸7)二;

当下4时，取法有(0,4),(1,3),共2种，故P(产4)

105

由(1)可知,月(力)=。.

10

所以P®=Pg)+尸(产4)+产储)卡彳勒

所以不中奖的概率夕（③=1-1=|.

能力提升练

1.C因为夕（。=0.6,事件夕与。对立，

所以2（6）=0.4,

又尸（4）=0.3,力与5互斥,

所以P（A+力=尸储）+P（由=0.3+0.4=0.7.故选C.

2.C由题意知,万表示“出现大于或等于5的点”，事件4与事件万互斥，由概率

加法公式可得P（A+B）=P（4+P®）

663

3.B设事件4为“不用现金支付”，事件方为“既用现金支付也用非现金支

付”，事件。为“只用现金支付”，则产（力）=1-尸（0-尸（。=1-0.15-0.45=0.4.故选

B.

4.D设4,44分别表示3件一级品,凡氏分别表示2件二级品.任取2件,则样

本空间

。=｛（4,4）,（4,4）,（4,4）,（4,4）,（4,无），（4,施，（4,㈤，（4,4），（4,氏），（4

，/｝，共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.

记事件］表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则以⑷匚.

记事件〃表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则尸（而=2.

10

记事件。表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则

事件4氏C两两互斥，所以P困+P（O=P5OW，而加C表示“至少有1件二

级品”.故选D.

’0<P⑷<1,

5.D由题意得,{0<P(B)<1,

、P(/)+P(8)Wl,

0<2-a<1,

即。<4a-5<1,

3CL—3W1,

1<a<2,

—<5唧*V

W，

所以1实数a的取值范围是(|g.

6.答案

464

解析设事件48c〃分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄

球”“得到绿球”，则事件A,B,&〃两两互斥，根据题意,得

(1

P(/)=§,

5

JP(B)+P(C)=针

.L乙

5

P(C)+P(D)F

[PQ4)+P(B)+P(C)+P(0)=1,

解得严(而=；,p(o等⑦

464

7.解析用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，则

对应的样本空间

。={(4,B\,G),(4,B\,G),(4,尻G),(