2024-2025学年度北师版九上数学-总复习-期末复习课（四）（第四章　图形的相似）【课件】

总复习期末复习课期末复习课（四）（第四章图形的相似）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理

等于

ad＝

bc

ad＝

bc

2.平行线分线段成比例.基本图形：（“日”型，“A”型，“X”型）图1图2图3

3.相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①判定一：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定）.②判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.③判定三：三边成比例的两个三角形相似.④相似多边形的判定：每个角对应相等，每条边对应成比例的多边形相似.（2）相似三角形（多边形）的性质.①相似三角形对应

的比、对应

⁠的比和对应

的比都等于相似比.②相似三角形（多边形）的周长比等于

，面积比等于

⁠.高

角平分线

中线

相似比

相似比的平方

4.相似三角形的几种常见模型.模型图形“平行线”型

“斜交”型（∠1＝∠2）

“垂直”型

5.图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形做

⁠.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列性质：①对应顶点的连线经过

；②对应边平行或在同一条直线上；③对应顶点到位似中心的距离之比等于

⁠

⁠.位似多边形

位似中心

相

似比

数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

成比例问题

如图，AD是△ABC的中线，点E是AD上的一点，且3AE

＝

AD，CE的延长线交AB于点F.

若AF＝12cm，则AB

＝

⁠cm.60

【解析】如图，过点D作FC的平行线DG，与AB交于点G.∵AD是△ABC的中线，根据平行线等分线段定理（或中位线性质），得

BG＝FG.

根据平行线分线段成比例定理，得AF∶AG

＝

AE∶AD.

∵AF＝12cm，3AE＝AD，∴

AG＝36cm.∴FG

＝36－12＝24（cm）.∴

BG＝FG＝24cm.∴

AB＝AG＋BG＝36＋24＝60（cm）.故答案为60.

【点拨】遇到线段比值问题时，首先考虑构造平行线，构造出“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根据平行线分线段成比例求出线段的长.同时，一些特殊位置点，例如中点，是中考填空题常考内容.我们要学会联想中点在解决几何问题中的两个重要内容：分线段长（中位线）和面积.

1.如图，已知直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，

AB＝3，BC＝2，则DE∶DF＝

⁠.（第1题图）3∶5

2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点P在BC边上的高

AD上，且2AP＝PD，BP的延长线交AC于点E.

若S△ABC＝10，则S△ABE＝

，S△DEC＝

⁠.（第2题图）2

4

类型二

相似三角形的判定与性质

如图，在△ABC中，AC＝12，AB＝15，BC＝18，点D是

BC边上一点，AC2＝BC·CD，连接AD，点E，F分别是BC，

AB上的点（点F不与点A，B重合），∠CFE＝∠B，CF与

AD相交于点G.

（1）求AD，BD的长；（2）求证：△BEF∽△AFG.

（2）证明：由（1）可知，AD＝BD＝10.∴∠

B＝∠BAD.

∵∠

BEF＋∠B＝∠AFG＋∠CFE，∠

B＝∠CFE，∴∠

BEF＝∠AFG.

∴△BEF∽△AFG.

【点拨】在几何解答题中，若题目中出现乘积式，则应该想到的是相似三角形的性质；若又含有平方，则考虑存在共边，即子母型相似，再从图形入手.

2.如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边

FG在边BC上，另两个顶点E，H分别在边AB，AC上.（1）求△ABC的BC边上的高；

答图（2）求正方形EFGH的边长.

类型三

相似三角形的实际应用

如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2m的标杆CD和EF，两标杆相隔8m，并且建筑物

AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2m到点

G处，在点G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4m到点H处，在点H处测得建筑物顶端A

和标杆顶端E在同一条直线上.求建筑物AB的高度.

【点拨】构造相似三角形，利用其性质解决问题.

如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1m高的直杆MN，量得其影长MF为0.5m.量得电线杆

AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m.你能利用小明测量的数据计算出电线杆AB的高吗？解：如答图，过点C作CG⊥AB于点G，则GC＝BD＝3m，GB＝CD＝2m.∵∠NMF＝∠AGC＝90°，NF∥AC，∴∠NFM＝∠ACG.

∴△NMF∽△AGC.

∴AG＝6m.∴AB＝AG＋GB＝6＋2＝8（m）.答图故电线杆AB的高为8m.答图类型四

图形的位似

如图，

在△ABC中，

已知A，B两个顶点在x轴的上方，点

C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△

ABC的位似图形△A'B'C，使它与△ABC的相似比为2∶1.设点

B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是

⁠.－2a＋3

【解析】设点B'的横坐标为x，则点B，C间的水平距离为a－1，

点

B'，C间的水平距离为－x＋1.∵△A'B'C与△ABC的相似比为2∶1，∴2（a－1）＝－x＋1.解得x＝－2a＋3.故答案为－2a＋3.【点拨】在位似变换与坐标问题中，关键在于熟练运用数形结

合法，会在数与图之间转换.如此题中，将相似比为2∶1转化为

B'C＝2BC，又转化为点B'，C的水平距离为点B，C水平距离

的2倍，最后转化为坐标之间的关系（等式）.

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点.（1）在给定网格中，以点O为位似中心，将△ABC放大，得到△

A'B'C'，使A'C'＝3AC.

请画出△A'B'C'；（1）

解：如图，△A'B'C'即为所求.（2）B'C'的长度为

，△A'B'C'的面积为

⁠.

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类型五

相似三角形中的等积式

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，

AF⊥CD于点F.

求证：（1）△ABE∽△ADF；（2）CD·EF＝AC·AE.

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠

B＝∠D.

∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠

AEB＝∠AFD＝90°.∴△ABE∽△ADF.

【点拨】证明等积式时，先将等积式化为比例式，再根据比例式“横看”或“竖看”找到要证明的两个相似三角形.有时根据比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等线段替换或等比替换，这需要多次尝试.

如图，在▱ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，点E是

DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD，EC交于点F.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴

OA＝OC.

又∵EA＝EC，∴

EO⊥AC，即BD⊥AC.

∴▱ABCD是菱形.（2）若∠AEC＝2∠BAC，求证：CE·CF＝AF·AD.

类型六

相似三角形中的动点问题

如图，已知正方形ABCD的边长是1，点P是CD的中点，点

Q是线段BC上一动点.当BQ的长度为多少时，以点A，