2024-2025学年度北师版九上数学-第四章-图形的相似-回顾与思考【课件】

第四章图形的相似回顾与思考数学九年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01要点回顾

等于

ad＝

bc

ad＝

bc

BC

AC

2.平行线分线段成比例.（1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.（3）基本图形：3.相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①定理一：两角分别

的两个三角形相似（最常用的判定）.②定理二：两边成比例且

相等的两个三角形相似.③定理三：三边

的两个三角形相似.相等

夹角

成比例

（2）相似多边形的判定：每个角对应相等、每条边对应成比例的多边形相似.（3）相似三角形（多边形）的性质.①定理一：相似三角形

的比、

⁠的比和

的比都等于相似比.②定理二：相似三角形（多边形）的周长比等于

⁠，面积比等于

⁠.对应高

对应角平分线

对应中线

相似比

相似比的平方

4.图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做

，这个点O叫做

，k就是这两个相似多边形的相似比，每组位似对应点与位似中心共线.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列性质：①对应顶点的连线经过位似中心；②对应边平行或在同一条直线上；

③对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比.位似多边形

位似中心

数学九年级上册BS版02典例讲练要点一

成比例线段与黄金分割

（1）下面四组线段中，成比例的是（

B

）A.a＝2，b＝3，c＝4，d＝5B.a＝1，b＝2，c＝2，d＝4C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B

【点拨】根据成比例线段的定义，注意在相乘的时候，最长的和最短的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.若线段带单位，注意单位要统一.（2）已知点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是

⁠.

1.已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，d＝4cm，c＝6cm，则线段a的长度可能为（

B

）A.5cmB.2cmC.4cmD.1cm2.若乐器上一根弦AB＝80cm，两端点A，B固定在乐器板面上，期间支撑点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），则BC的长是（

C

）BC要点二

平行线分线段成比例

如图，已知直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，

B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF交于点

O，且DE＝3，EF＝6，AB＝4.（1）求AC的长；

【点拨】此题考查了平行线分线段成比例与相似三角形的性质，这两者有所区别.其中，第（2）问涉及BE，CF，但BE，

CF并不是被平行线截得的线段，考虑利用相似三角形的性质进行解答.

如图，在△ABC中，已知DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶2，BC＝25，求FC的长.解：∵DE∥BC，∴EC∶AE＝BD∶AD.

∵EF∥AB，∴

EC∶AE＝FC∶BF.

∴FC∶BF＝BD∶AD.

∵AD∶DB＝3∶2，∴BD∶AD＝2∶3.∴FC∶BF＝2∶3.∴FC∶BC＝2∶5，即FC∶25＝2∶5.∴FC＝10.要点三

相似多边形

如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求∠D1的度数以及x的值.

【点拨】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质，熟记性质是解题的关键.

如图，已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，求x，y的值以及∠

C'的度数.

要点四

相似三角形的性质与判定

（1）如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点（不与点

A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P按顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.

解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD.

∴∠ADP＋∠APD＝90°.由题意可知，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠FPB＝90°.∴∠FPB＝∠ADP＝32°.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，以及三角形相似的判定与性质，正确应用三角形相似的性质是解题的关键.（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm.点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点

Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止.经过几秒，△PCQ与△

ABC相似？解：设经过t

s，△PCQ与△ABC相似.∵∠C＝∠C，∴分为两种情况：

【点拨】本题考查相似三角形中的动点问题，解决此类问题时一定要注意三角形相似时的对应边，若对应边不确定时，要注意进行分类讨论.

1.如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任意一点，连接

AM并将线段AM绕点M按顺时针方向旋转90°得到线段NM，与

CD交于点Q.

在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP，

AQ.

（1）求证：BP＝MN；

（2）若△MCQ∽△AMQ，求证：BM＝MC.

2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm.点D从点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E从点B

出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接

DE.

设运动时间为t（s）（0＜t＜10）.解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2？

（2）在点D，E的运动过程中，是否存在时间t，使得△BDE

与△ABC相似？若存在，请求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

要点五

相似三角形的实际应用

学习了相似三角形的相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度.如图1，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使小明的头顶点E、杆顶点

A、楼顶点C在一条直线上（点F，B，D也在一条直线上）.已知小明的身高EF＝1.5m，“标杆”AB＝2.5m，BD＝23m，

FB＝2m.图1（1）求大楼CD的高度（CD垂直于地面BD）；解：（1）如图1，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J，则

四边形EFBJ和四边形EFDH都是矩形.∴BJ＝DH＝EF＝1.5m，EJ＝FB＝2m，JH＝BD＝23m.∵AB＝2.5m，∴AJ＝AB－BJ＝2.5－1.5＝1（m）.

∴CD＝CH＋DH＝12.5＋1.5＝14（m）.故大楼CD的高度为14m.（2）如图2，小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5m，则相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？图2（2）设标杆AB移动至A1B1处.如图2，过点E作ET⊥CD于点

T，交A1B1于点R.

设B1F＝xm.∵A1R∥GT，∴△EA1R∽△EGT.

∴x＝2.5.∴标杆AB应该向大楼方向移动2.5－2＝0.5（m）.【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形.属于中考常考题型.

如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，

CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高度.

要点六

图形的位似

如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）.请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标；解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作图形，C1（－3，2）.（2）如图，△A2B2C2即为所求作图形，C2（6，4）.（3）若点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变