2024-2025学年度北师版九上数学1.2矩形的性质与判定（第二课时）【课件】

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版课前预习01矩形的判定定理.（1）对角线

的平行四边形是矩形；（2）有

个角是直角的四边形是矩形.相等

三

数学九年级上册BS版课前导入02复习引入问题1

矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题2

矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等思考工人师傅在做矩形门窗或零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.对角线相等的平行四边形是矩形类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.问题1

除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.矩形是特殊的平行四边形.新课讲授问题2

上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？思考你能证明这一猜想吗？我猜想：对角线相等的四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.ABCD证一证证明：∵

AB=DC，BC=CB，AC=DB，

∴△ABC≌△DCB.

∴∠ABC=∠DCB.

∵

AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB=180°.

∴∠ABC=90°.

∴□

ABCD是矩形（矩形的定义）.已知：如图，在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且

AC=DB.

求证：□ABCD是矩形.矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在平行四边形

ABCD中，∵AC=BD，∴平行四边形

ABCD是矩形.ADCB思考数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.数学九年级上册BS版典例讲练03

如图,在▱ABCD中,添加下列条件后,不能得出四边形ABCD是矩形的是（

D

）DA.∠DAB＋∠DCB＝180°B.AB2＋BC2＝AC2C.AC＝BDD.AC⊥BD【解析】

A

.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠

DCB.

∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∴∠DAB＝90°.∴▱ABCD是矩形.选项

A

正确.

B

.

∵AB2＋BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°.∴▱

ABCD是矩形.选项

B

正确.

C

.

∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形.选项

C

正确.D.∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形.选项D错误.故选D.【点拨】矩形是特殊的平行四边形，特殊在：①四个角都为直角；②对角线相等.在平行四边形的基础上满足其中一条即为矩形.

1.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别在BC,AB,AC

上，且DE∥AC,DF∥AB.

连接AD.（1）若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是

形；矩

（2）若AD是△ABC的角平分线，则四边形AEDF是

形.（第1题图）菱

2.如图,在矩形ABCD中,点M为AD边的中点,点P为BC上一点,PE⊥MC,PF⊥MB.

当AB,BC满足条件

时，则四边形PEMF为矩形.（第2题图）

（2022·巴中）如图，在▱ABCD中，点E为BC边的中点，连接

AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG.（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证:四边形DEFG是矩形.

（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.

∴DC＝CF.

又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形.∵点E为BC的中点，CG＝CE，∴BC＝EG.

又∵AD＝BC＝EG＝2AB，且DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG.

∴▱DEFG是矩形.【点拨】矩形判定的常见思路有两种：（1）利用角证明：平行四边形＋一个内角是直角（定义）；三个角是直角；（2）利用对角线证明：平行四边形＋对角线相等.（2）若AD＝2AB，求证:四边形DEFG是矩形.

答图

如图，在△ABC中，已知点O是AC边上一点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.（1）求证：EO＝FO；（2）连接AE，AF.当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.（1）证明：∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.

∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.

∴EO＝CO，FO＝CO.

∴EO＝FO.

（2）连接AE，AF.当点O沿AC移动时，四边形AECF是否能成为一个矩形？若能，点O在什么位置？请说明理由.（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.理由如下：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.

又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形.∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.

∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.

∴▱AECF是矩形.【点拨】（2）小题也可根据互为邻补角的角平分线所成的角为直角，结合角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，易得△

ECF恒为直角三角形，在此基础上，得到平行四边形特征即可.

如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD和BC上，且AE＝FC，连接AF,CE并延长，分别交DC，BA的延长线于点H,G.（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当△

ABF满足什么条件时，四边形

AHCG是矩形？请说明理由.

（2）当△ABF满足什么条件时，四边形AHCG是矩形？请说

明理由.（2）解：当△ABF满足∠BAF＝90°时，四边形AHCG是矩形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.

∴∠DEC＝