2024-2025学年度北师版八上数学-专题1-勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用【课件】

第二章实数专题1勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

◎问题综述勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理，是数

与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理，

它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及

其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有

关几何度量运算和代数学习的基础.因而勾股定理及其逆定理具

有学科的基础性和广泛的应用性.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

求线段的长度

如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E.

延长DE，交BC的延长线于点F，连接AF.（1）求

AD

的长；

【点拨】利用勾股定理表示出直角三角形三边的数量关系求线段的长度，是一种十分重要的方法.需要注意的是，应用勾股定理时，必须把要求的线段放到直角三角形中，如果没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形来解决问题，切忌乱用勾股定理.在求得相应的线段后，可进一步求其他线段的长度、图形的周长和面积.

（2）求AF的长.

如图，在△ABC中，已知AD，BE分别为边BC，AC的中线，分别交BC，AC于点D，E.

（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，试说明：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长.解：（1）因为AD，BE分别为边BC，AC的中线，CD＝4，

CE＝3，所以BC＝8，AC＝6.因为AB＝10，所以AB2＝AC2＋BC2.所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.

类型二

求角的度数

如图，已知点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，

CE，将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°到△CBE'的位置，

且AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE'C的度数.

【点拨】勾股定理常用来求直角三角形的边长，而勾股定理的逆定理常用来判定直角三角形，同时说明一个角为90°，所以常通过勾股定理的逆定理及其他条件（如两边相等）来求角的度数.

如图，已知点P是等边三角形ABC内的一点，且AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数.

答图类型三

证明线段的平方关系

如图，已知∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝

AF，点D，E为边BC上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，

BF.试说明：

BE2＋

CD2＝

DE2.

【点拨】因为勾股定理是以线段（边）的平方关系式实现的，所以遇到需要证明线段的平方关系式时，就应自然地联想到利用勾股定理来证明.一般地，结论中的线段并非同一个直角三角形的三边时，常需通过全等三角形进行等量代换.

在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D，在AD上取一点

F，使得DF＝DB，连接BF并延长，交AC于点E.

（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，试说明：BF2＋EF2＝AE2.图1

图2

（2）如图，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF，CH.

在Rt△BDF中，因为DF＝DB，所以∠DBF＝∠DFB＝45°.

又因为∠AFE＝∠DFB，所以∠DBF＝∠AFE.

在△CHB和△AEF中，

（2）如图2，若AF＝BC，试说明：BF2＋EF2＝AE2.类型四

图形折叠问题

如图，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，将其沿MN

折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A的对应点为点A'，且B'C＝4.求：（1）

CN

的长；（2）

AM

的长；（3）

MN

的长.解：（1）由题意，得B'N＝BN，CN＝8－BN.

在Rt△B'CN中，由勾股定理，得B'N2＝B'C2＋CN2，即B'N2＝42＋（8－B'N）2.解得B'N＝5.所以CN＝8－BN＝8－B'N＝8－5＝3.（2）如图，连接MB，MB'.由折叠的性质，得MB＝MB'.设AM＝x，则有AB2＋AM2＝BM2＝B'M2＝MD2＋DB'2，即82＋x2＝（8－x）2＋（8－4）2，解得

x

＝1.所以

AM

＝1.

【点拨】（1）折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生变化，也就是说对应边和对应角相等；（2）折叠的图形是直角三角形，并且都涉及到求线段的长度时，利用勾股定理；（3）在解决具体问题时,首先弄清楚折叠和轴对称能够提供的隐含且可利用的条件，同时为了方便，常常设要求的线段为x，然后根据条件用含x

的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解.

1.

如图，折叠长方形纸片ABCD，使顶点B和点D重合，折痕为EF.

若AB＝3

cm，BC＝5

cm，则重叠部分（△DEF）的面积为