2024-2025学年度北师版八上数学-第四章-一次函数-回顾与思考【课件】VIP

第四章一次函数回顾与思考数学八年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS

1.

函数的定义.一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变

量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y

是x的

，其中x是自变量.2.

函数的三种表示方式.

、

、

⁠.函数

列表法

图象法

关系式法

3.

一次函数的表达式为

⁠.当b＝0时，该一次函数的表达式为

⁠，它是正比例函数.4.

正比例函数y＝kx（k≠0）的性质.y＝

kx

＋b（k，b为常数，k

≠0）

y＝

kx

（k

≠0）

当k＞0时，图象过第

象限；当k＜0时，图象过

第

象限.注：当k＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的

任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当k＝－1时，该函数图

象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于

它的纵坐标的相反数.一、三

二、四

5.

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象.当x＝0时，图象与y轴的交点坐标为

；当y＝0

时，图象与x轴的交点坐标为

⁠.（0，b）

6.

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的性质.（1）当k＞0时，y的值随着x值的

而

；当k

＜0时，y的值随着x值的

而

⁠；（2）当k＞0且b＞0时，函数的图象过第

象限；当k＞0且b＜0时，函数的图象过第

象限；

当k＜0且b＞0时，函数的图象过第

象限；当k

＜0且b＜0时，函数的图象过第

象限.增大

增大

增大

减小

一、二、三

一、三、四

一、二、四

二、三、四

7.

确定函数的表达式.（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）中有两个未知系数，所以需要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数的表达式；（2）正比例函数y＝kx只有一个未知系数，所以只要知道

⁠就可以求出它的表达式.一个点的坐标

8.

一次函数图象的位置关系.因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的

位置关系有两种：平行和相交.设两条直线分别为y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2.当k1＝k2，b1≠b2

时，两条直线平行；当k1≠k2时，两条直线相交.9.

一元一次方程与一次函数的联系.一般地，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量

的值就是方程kx＋b＝0的解.从图象上看，一次函数y＝kx＋b

的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解.数学八年级上册BS版02典例讲练

要点一

函数的定义

（1）下列表示两个变量间的关系的图象中，y不是x的函

数的是（

D

）ABCDD【解析】A，B，C三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一

的值与它对应，不符合题意；选项D中，y轴右侧一个x值对应

两个y值，所以y不是x的函数，符合题意.故选D.

【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化

过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一

个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时

满足.

【解析】由题意，得x－2≥0且x－5≠0.解得x≥2且x≠5.故

答案为x≥2且x≠5.

x≥2且x≠5

1.

下列函数中，自变量x的取值范围为x≥3的是（

B

）

B①②③⑤

要点二

一次函数的图象和性质

已知一次函数y＝（4＋2m）x＋m－4.（1）当m为何值时，y的值随着x值的增大而减小？（2）当m为何值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴下方？（3）若m＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.解：（1）因为y的值随着x值的增大而减小，所以4＋2m＜0，解得m＜－2.所以当m＜－2时，y的值随着x值的增大而减小.（2）因为该函数的图象与y轴的交点在x轴下方，所以m－4＜0且4＋2m≠0，解得m＜4且m≠－2.所以当m＜4且m≠－2时，该函数的图象与y轴的交点在x

轴下方.

【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件k≠0.

已知关于x的一次函数y＝mx＋4m－2.（1）若这个函数的图象经过原点，求m的值；（2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围；（3）不论m取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这个定点的坐标.解：（1）因为这个函数的图象经过原点，所以当x＝0时，y＝0，即4m－2＝0，

（2）因为这个函数的图象不经过第四象限，所以m＞0且4m－2≥0，

（3）将一次函数y＝mx＋4m－2变形为m（x＋4）＝y＋2.因为不论m取何实数这个函数的图象都过定点，所以x＋4＝0，y＋2＝0，解得x＝－4，y＝－2.则不论m取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.要点三

一次函数在实际问题中的应用

小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30

min.小东骑自行车以300

m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示.请解答下列问题：（1）家与图书馆之间的路程为

m，小玲步行的速度

为

m/min；（2）求小东离家的路程y与时间x之间的函数关系式，并写出

自变量的取值范围；4

000

100

（3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4

000

m，

小玲步行的速度为（4

000－2

000）÷（30－10）＝100（m/min）.故答案为4

000，100.

（3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为m

min.由点A（10，2

000），易得OA的函数表达式为y＝200x（0≤x≤10）.由图象，得300m＋200m＝4

000，解得m＝8.所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2

400（m）.故当两人相遇时，他们离图书馆2

400

m.【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关

系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数

法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求

得所需结果.

甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图2所示.根据图象解答下列问题：图1图2（1）图2中折线EDC表示

槽中水的深度y与注水时间x之

间的关系，铁块的高度为

cm；（2）求AB的函数表达式；（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.乙

16

（2）解：设AB的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.将点（0，14），（7，0）代入，得b＝14，7k＋b＝0.所以k＝－2.所以AB的函数表达式为y＝－2x＋14（0≤x≤7）.（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断

增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，

所以折线EDC表示的是乙槽的水深y与注水时间x的关系.折线

EDC中，点D表示乙槽水深16

cm，也就是铁块的高度为16

cm.

故答案为乙，16.（3）解：设ED的函数表达式为y＝mx＋n（m≠0）.将点（0，4），（4，16）代入，得n＝4，4m＋n＝16.所以m＝3.所以ED的函数表达式为y＝3x＋4（0≤x≤4）.根据题意，得－2x＋14＝3x＋4，解得x＝2.故注水2

min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.要点四

一次函数在几何图形中的应用

如图，在平面直角坐标系中，已知直线m经过点（－1，2），交x轴于点A（－2，0），交y轴于点B，直线n与直线m

交于点P，分别与x轴、y轴交于点C，D（0，－2）.连接

BC，点P的横坐标为－4.（1）求直线m的函数表达式和点P的坐标.（2）试说明：△BOC是等腰直角三角形.（3）直线m上是否存在点E，使得S△ACE＝S△BOC？若存在，

求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线m的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.因为直线m经过点（－1，2），

A（－2，0），所以－k＋b＝2，－2k＋b＝0.所以k＝2，b＝4.所以直线m的函数表达式为y＝2x＋4.将x＝－4代入y＝2x＋4，得y＝2×（－4）＋4＝－4.所以点P的坐标为（－4，－4）.

又因为∠BOC＝90°，所以△BOC是等腰直角三角形.

【点拨】解答这类动点问题时，要注意动点所在位置，可以在

图上画出使面积相等的点的大概位置，这样有助于分析题目，

在分类讨论时不会遗漏和重复.

如图，已知一次函数y＝x－2的图象交y轴于点A，一次函数y

＝4x＋b的图象交y轴于点B，且分别与x轴，一次函数y＝x－2的图象交于点C，D，点D的坐标为（－2，－4）.（1）求△ABD的面积.（2）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三

角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E